En el sistema y = 2x^2 - 21x + 64 e y = 3x + a, donde a es una constante, las gráficas se cortan exactamente en un punto (x, y). ¿Cuál es el valor de x?

Step-by-step solution

1. 1

   Convertir la condición de corte en una sola ecuación. Un punto está en ambas gráficas cuando las dos expresiones de $y$ coinciden, así que se igualan:

   $2x^2-21x+64=3x+a$

   Cada punto de corte corresponde a una solución de esta ecuación, y viceversa.

2. 2

   Pasar todo a un miembro. Al agrupar términos queda una ecuación cuadrática en forma estándar:

   $2x^2-21x-3x+64-a=0$

   $2x^2-24x+(64-a)=0$

   La constante desconocida $a$ solo aparece en el término independiente: esa observación es la que acorta el problema.

3. 3

   Traducir 'exactamente un punto de corte' a 'exactamente una raíz'. Una ecuación cuadrática tiene exactamente una solución real justo cuando su discriminante se anula:

   $\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4(2)(64-a)=0$

   Geométricamente, esto dice que la recta es tangente a la parábola en lugar de cortarla dos veces o no tocarla.

4. 4

   Usar el atajo: la raíz doble está en el vértice de la parábola. Cuando $\Delta=0$ las dos raíces coinciden en su promedio, $x=-\dfrac{b}{2a}$. Aquí $b=-24$ y el coeficiente principal es $2$, de modo que

   $x=\frac{24}{2\cdot 2}=6$

   Observa que $a$ nunca intervino en este cálculo: solo desplaza el término independiente, lo cual no mueve el eje de simetría. Por eso el enunciado puede pedir $x$ sin dar el valor de $a$.

5. 5

   Hallar $a$ si se quiere ver la tangencia de forma explícita. Resolviendo $\Delta=0$:

   $576-8(64-a)=0\;\Longrightarrow\;576-512+8a=0\;\Longrightarrow\;a=-8$

   La cuadrática queda $2x^2-24x+72=2(x-6)^2=0$, lo que confirma la raíz doble $x=6$.

6. 6

   Comprobar el único punto de corte. Con $x=6$ la parábola da $2(36)-21(6)+64=72-126+64=10$, y la recta da $3(6)-8=10$. Ambas curvas pasan por $(6,10)$ y, como el discriminante es cero, no se encuentran en ningún otro punto:

   $\boxed{x=6}$