Resolver logaritmo en base 2 de x, más logaritmo en base 3 de x, igual a 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Pon los dos logaritmos en la misma base. Los logaritmos de bases distintas no se pueden sumar directamente, pero el cambio de base lo arregla:

   $\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2},\qquad \log_3 x=\frac{\ln x}{\ln 3}$

   (Serviría cualquier base común; los logaritmos naturales dejan la notación más corta.)

2. 2

   Sustituye $t=\ln x$ para que aflore una ecuación lineal.

   $\frac{t}{\ln 2}+\frac{t}{\ln 3}=5$

   La incógnita aparece solo a través de $t$, y solo en primera potencia: escrita así, la ecuación es lineal, no logarítmica.

3. 3

   Saca $t$ como factor común y suma las fracciones.

   $t\left(\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}\right)=5\quad\Rightarrow\quad t\cdot\frac{\ln 3+\ln 2}{\ln 2\,\ln 3}=5\quad\Rightarrow\quad t=\frac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 2+\ln 3}$

   Observa que $\ln 2+\ln 3=\ln 6$, así que, de forma equivalente, $t=\dfrac{5\ln 2\,\ln 3}{\ln 6}$.

4. 4

   Evalúa $t$. Con $\ln 2=0.6931472$ y $\ln 3=1.0986123$:

   $\ln 2\,\ln 3=0.7615000,\qquad \ln 6=1.7917595,\qquad t=\frac{3.8075001}{1.7917595}=2.1250062$

5. 5

   Exponencia para recuperar $x$.

   $x=e^{t}=e^{2.1250062}=8.3729497$

   Como $x>1$ y los dos logaritmos son positivos, el resultado es coherente; y tiene que superar a $2^{5/2}\approx 5.66$, porque $\log_2x$ por sí solo necesitaría llegar ahí si $\log_3 x$ fuera cero.

6. 6

   Verifica y descarta el valor 6.06. $\log_2 8.3729497=3.0657$ y $\log_3 8.3729497=1.9343$, que suman $5.0000$ ✓. En cambio, $x=6.06$ da $2.5993+1.6400=4.2393$, casi $0.76$ por debajo de $5$, así que no es solución.