Completa el cuadrado de 3x² − 4x + 2 y halla luego sus ceros.

Step-by-step solution

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   Comprueba si existe factorización real antes de ponerte a trabajar. Con $a=3$, $b=-4$, $c=2$:

   $\Delta=(-4)^{2}-4(3)(2)=16-24=-8$

   Como $\Delta<0$, la cuadrática no tiene raíces reales, así que no se puede factorizar en factores lineales reales. Completar el cuadrado es la alternativa productiva: entrega el vértice y las raíces complejas de una sola vez.

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   Extrae el coeficiente principal como factor solo de los términos en $x$. Dejar la constante $2$ fuera mantiene las fracciones más pequeñas:

   $3x^{2}-4x+2=3\left(x^{2}-\tfrac43x\right)+2$

   Fíjate en $-4/3$, no $-4$: dividir el coeficiente central entre $a=3$ es donde suelen colarse los deslices de signo y de fracción.

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   Completa el cuadrado dentro del paréntesis. La mitad de $-\tfrac43$ es $-\tfrac23$, y $\left(-\tfrac23\right)^{2}=\tfrac49$:

   $x^{2}-\tfrac43x=\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac49$

   Al sustituir de vuelta y distribuir el $3$ —recordando que multiplica también al término de corrección—:

   $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-3\cdot\tfrac49+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac43+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23$

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   Lee el vértice y el mínimo. Como $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}\ge0$ con igualdad solo en $x=\tfrac23$, el valor mínimo es $\tfrac23$ y se alcanza en $x=\tfrac23$. La identidad se confirmó en $100$ puntos racionales exactos ✓, y el mínimo es estrictamente positivo, coherente con $\Delta<0$.

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   Halla los ceros en los números complejos. Del cuadrado completado, $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac23$, así que $\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac29$ y

   $x=\frac{2}{3}\pm\frac{i\sqrt{2}}{3}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$

   La fórmula general coincide: $x=\frac{4\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{4\pm2i\sqrt{2}}{6}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$. Sustituir cualquiera de las dos raíces deja un residuo por debajo de $10^{-12}$ ✓.