Resolver (515 − 0.27x)(368 − 0.27x)(98 − 0.18x) − (515 − 0.27x)·98² − (98 − 0.18x)·270² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Abreviar los tres factores lineales. Se toma

   $A=515-0.27x,\qquad B=368-0.27x,\qquad C=98-0.18x,$

   de modo que, usando $98^{2}=9604$ y $270^{2}=72900$, la ecuación es

   $ABC-9604A-72900C=0.$

   Nombrar los factores mantiene la contabilidad manejable y deja a la vista el factor común $A$.

2. 2

   Desarrollar $BC$ y agrupar.

   $BC=(368-0.27x)(98-0.18x)=36064-92.7x+0.0486x^{2},$

   así que $BC-9604=26460-92.7x+0.0486x^{2}$ y la ecuación se convierte en

   $(515-0.27x)\bigl(0.0486x^{2}-92.7x+26460\bigr)-72900(98-0.18x)=0.$

3. 3

   Desarrollar del todo con fracciones exactas. Trabajar con $0.27=\tfrac{27}{100}$, $0.18=\tfrac{18}{100}$ en lugar de decimales evita la deriva; el resultado es

   $-0.013122x^{3}+50.058x^{2}-41762.7x+6482700=0,$

   Multiplicar la original por $-\tfrac{500000}{6561}$ da la cúbica mónica $x^{3}-\tfrac{103000}{27}x^{2}+\tfrac{2320150000}{729}x-\tfrac{120050000000}{243}=0$.

4. 4

   Hallar la única raíz exacta. Probando valores que dejan redondo alguno de los paréntesis, $x=\tfrac{24500}{27}$ hace que $0.27x=245$ exactamente y, al sustituirlo en la cúbica con fracciones exactas, se obtiene $0$. Así que $\left(x-\tfrac{24500}{27}\right)$ es un factor y $x=\tfrac{24500}{27}=907.\overline{407}$ es raíz.

5. 5

   Dividir y resolver la cuadrática. La división sintética deja $x^{2}-\tfrac{78500}{27}x+\tfrac{4900000}{9}=0$, es decir

   $27x^{2}-78500x+14700000=0,$

   con discriminante $78500^{2}-4(27)(14700000)=4574650000$. Como $4574650000=10^{4}\cdot 457465$ y $457465=5\cdot 91493$ es libre de cuadrados, las raíces siguen siendo irracionales:

   $x=\frac{39250\pm 50\sqrt{457465}}{27}.$

6. 6

   Enunciar las tres raíces y verificar. Numéricamente $x\approx 201.1822413$, $x=907.4074074$ y $x\approx 2706.2251661$. Al sustituir cada una en la forma original de producto se obtiene $0$, $-9\times10^{-10}$ y $0$ respectivamente: el residuo diminuto es ruido de coma flotante sobre un valor del orden de $10^{6}$. Un desarrollo descuidado que produjera $-41777.7x+6479700$ en su lugar está mal: esa cúbica no tiene raíz en $24500/27$.