En notación por comprensión, ¿el conjunto de todos los x con 2 ≤ x ≤ 5, x = 10 es lo mismo que el intervalo de 2 a 5 junto con el punto aislado 10?

Step-by-step solution

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   Enunciar el convenio sobre la coma. En la notación por comprensión, todo lo que va después de la barra es una lista de condiciones que el elemento debe cumplir simultáneamente. La coma se lee como «y»:

   $\{x \mid P(x),\ Q(x)\} = \{x \mid P(x) \ \text{y} \ Q(x)\}$

   Este es un convenio fijo, no una elección de estilo, igual que funcionan las comas en $\{(x,y) \mid x > 0,\ y > 0\}$, el primer cuadrante abierto.

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   Aplicar el convenio al conjunto dado. Leer la coma como «y» convierte la descripción en

   $2 \le x \le 5 \quad \text{y} \quad x = 10$

   Ningún número cumple ambas: $x = 10$ obliga a $x = 10$, pero $10 > 5$, así que falla la condición del intervalo.

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   Concluir que el conjunto es vacío. Las dos condiciones son contradictorias, por lo tanto

   $\{x \mid 2 \le x \le 5,\ x = 10\} = \varnothing$

   Así que no es el conjunto buscado: es el conjunto vacío, la respuesta más equivocada posible y no un error por poco.

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   Escribir correctamente el conjunto buscado. Para una unión hay que usar «o», que es una sola condición construida con una disyunción:

   $\{x \mid 2 \le x \le 5 \ \text{o} \ x = 10\}$

   De manera equivalente, se toma la unión de dos conjuntos descritos por separado:

   $\{x \mid 2 \le x \le 5\} \cup \{10\} = [2,5] \cup \{10\}$

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   Revisar la pertenencia con valores de prueba. En el conjunto corregido: $x = 3$ cumple la primera cláusula, así que $3$ pertenece; $x = 10$ cumple la segunda, así que $10$ pertenece; $x = 7$ no cumple ninguna, así que $7$ no pertenece. Ese es exactamente el patrón de pertenencia de $[2,5] \cup \{10\}$, de modo que las dos descripciones coinciden.

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   Recordar la regla de emparejamiento. La coma (y la intersección $\cap$) van juntas y achican un conjunto; la palabra «o» (y la unión $\cup$) van juntas y lo agrandan. Siempre que una descripción sea una lista de piezas separadas, hace falta «o» o un $\cup$, nunca una coma.