Completa el signo de desigualdad correcto entre 4a − 3 y 4b − 3, según la relación que hay entre a y b.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica las dos operaciones que se aplican a a y a b. Cada expresión se construye multiplicando por $4$ y restando después $3$. Hay que contrastar las dos operaciones con las reglas del orden.

2. 2

   Multiplicar por un número positivo conserva el orden. Como $4 > 0$,

   $a < b \;\Longrightarrow\; 4a < 4b$

   Solo un multiplicador negativo invertiría aquí el signo.

3. 3

   Restar una constante conserva el orden. Quitar $3$ en los dos miembros desplaza ambos valores por igual:

   $4a < 4b \;\Longrightarrow\; 4a - 3 < 4b - 3$

4. 4

   Enuncia los tres casos.

   $a < b \;\Longrightarrow\; 4a-3 < 4b-3, \qquad a > b \;\Longrightarrow\; 4a-3 > 4b-3, \qquad a = b \;\Longrightarrow\; 4a-3 = 4b-3$

   El sentido siempre coincide con el original: la aplicación $t \mapsto 4t - 3$ es estrictamente creciente.

5. 5

   Verifica con números. Con $a = 1$ y $b = 4$: $4 - 3 = 1$ y $16 - 3 = 13$, y $1 < 13$. Con $a = -2$ y $b = -5$ (de modo que $a > b$): $-11 > -23$. Los dos casos conservan el sentido original.

6. 6

   Contrasta con un coeficiente negativo. Para $3 - 2a$ frente a $3 - 2b$ el multiplicador es $-2$, así que el orden se invierte: $a < b$ daría $3-2a > 3-2b$. Comparar los dos problemas aísla exactamente qué paso provoca el cambio de sentido.