Desarrolla y simplifica el cuadrado de (1 + x + x² + x³) y después resta x al cubo.

Step-by-step solution

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   Obtén el cuadrado contando parejas de índices en lugar de multiplicar 16 términos. En $(1+x+x^2+x^3)^2$ el coeficiente de $x^k$ cuenta las parejas ordenadas $(i,j)$ con $i+j=k$ y $0\le i,j\le 3$. Contando: $k=0$ tiene $1$ pareja, $k=1$ tiene $2$, $k=2$ tiene $3$, $k=3$ tiene $4$ (a saber, $0{+}3,1{+}2,2{+}1,3{+}0$), $k=4$ tiene $3$, $k=5$ tiene $2$, $k=6$ tiene $1$.

2. 2

   Escribe el cuadrado.

   $(1+x+x^2+x^3)^2=1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5+x^6$

   Los coeficientes se leen igual hacia delante y hacia atrás, lo que era de esperar: elevar al cuadrado un polinomio palindrómico siempre da otro palindrómico.

3. 3

   Verifica el cuadrado en $x=1$. La base se convierte en $1+1+1+1=4$, así que el cuadrado tiene que ser $16$; y $1+2+3+4+3+2+1=16$. Cualquier error de conteo en el paso 1 saldría a la luz aquí. (Para el registro, $1+x+x^2+x^3=\frac{x^4-1}{x-1}$ cuando $x\neq 1$, así que el cuadrado también es igual a $\frac{(x^4-1)^2}{(x-1)^2}$.)

4. 4

   Resta $x^3$. Solo se ve afectado un coeficiente: el del cubo baja de $4$ a $3$:

   $1+2x+3x^2+(4-1)x^3+3x^4+2x^5+x^6$

5. 5

   Escribe el resultado y verifícalo en $x=2$. En orden descendente,

   $x^6+2x^5+3x^4+3x^3+3x^2+2x+1$

   En $x=2$ la expresión original vale $(1+2+4+8)^2-8=15^2-8=217$, y el desarrollo da $64+64+48+24+12+4+1=217$. Las dos concuerdan, así que el desarrollo es correcto.