Resuelve la inecuación ax² + (1 − a)x − 1 < 0, donde a es un parámetro real. Discute todos los casos.

Step-by-step solution

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   Factoriza primero: es mucho más limpio que la fórmula general. Prueba $(x-1)(ax+1)$ y desarrolla:

   $(x-1)(ax+1)=ax^2+x-ax-1=ax^2+(1-a)x-1\ \checkmark$

   así que la inecuación es

   $(x-1)(ax+1)<0$

   Las raíces son, por tanto, $x=1$ —fija, independiente de $a$— y $x=-\tfrac1a$ cuando $a\neq0$.

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   Trata primero el caso degenerado a = 0. Con $a=0$ el término en $x^2$ desaparece y la inecuación es lineal:

   $x-1<0\quad\Longrightarrow\quad x<1$

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   Caso a > 0: parábola hacia arriba y raíces en orden fijo. Como $a>0$, se tiene $-\tfrac1a<0<1$, así que la raíz móvil queda siempre a la izquierda de $1$. Una parábola hacia arriba es negativa entre sus raíces:

   $-\frac1a<x<1$

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   Date cuenta de que a < 0 hay que subdividirlo: aquí es donde se equivoca la mayoría de las soluciones. Para $a<0$, $-\tfrac1a$ es positivo, y cómo se compara con $1$ depende del tamaño de $a$:

   $-1<a<0\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a>1,\qquad a=-1\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a=1,\qquad a<-1\ \Longrightarrow\ 0<-\tfrac1a<1$

   Por ejemplo, $a=-\tfrac12$ da $-\tfrac1a=2>1$, pero $a=-3$ da $-\tfrac1a=\tfrac13<1$. Afirmar que $-\tfrac1a>1$ para todo $a$ negativo es sencillamente falso.

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   Caso −1 < a < 0. La parábola abre hacia abajo y las raíces quedan ordenadas como $1<-\tfrac1a$. Una parábola hacia abajo es negativa fuera de sus raíces:

   $x<1\qquad\text{o}\qquad x>-\frac1a$

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   Caso a < −1, y la frontera a = −1. Para $a<-1$ las raíces intercambian el orden y queda $-\tfrac1a<1$, así que "fuera de las raíces" se lee ahora

   $x<-\frac1a\qquad\text{o}\qquad x>1$

   Justo en $a=-1$ las dos raíces se funden: $ax^2+(1-a)x-1=-x^2+2x-1=-(x-1)^2$, que es negativo para todo $x$ salvo en $x=1$, donde vale cero. Así que la solución allí es $x\neq1$, es decir, $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

7. 7

   Verifica numéricamente toda la tabla de casos. Probando $49$ valores de $a$ desde $-6$ hasta $6$ en pasos de $\tfrac14$, y $8001$ valores racionales exactos de $x$ en $[-8,8]$ para cada uno, la descripción de cinco casos de arriba coincide con el signo real de $ax^2+(1-a)x-1$ en absolutamente todos los puntos: cero discrepancias ✓. La versión de tres casos falla de inmediato, por ejemplo en $a=-3$, $x=0.34$, donde predice negativo mientras que el valor es $+0.0132$.