Resolver la desigualdad (2x + 1)(3x - 1)² dividido entre (x³ por (√2 - 1)) es menor o igual que 0.

Step-by-step solution

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   Ocuparse primero del factor constante. $\sqrt2\approx 1.4142>1$, así que $\sqrt2-1>0$. Dividir entre una constante positiva no cambia el sentido de una desigualdad, de modo que simplemente se puede descartar:

   $\frac{(2x+1)(3x-1)^{2}}{x^{3}}\le 0.$

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   Clasificar cada factor según cómo afecta al signo. Los valores críticos son $x=-\tfrac12$, $x=0$ y $x=\tfrac13$.

   • $(2x+1)$ cambia de signo en $-\tfrac12$;
   • $(3x-1)^{2}$ tiene exponente par, así que es $\ge 0$ en todas partes y nunca invierte el signo — solo se anula en $\tfrac13$;
   • $x^{3}$ tiene exponente impar, así que invierte el signo en $0$, exactamente igual que $x$;
   • $x=0$ queda excluido del dominio.
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   Reducir al signo de un cociente más simple. Lejos de $x=\tfrac13$ el factor $(3x-1)^2$ es estrictamente positivo, así que en el resto de la recta la desigualdad tiene el mismo comportamiento de signo que

   $\frac{2x+1}{x}\le 0.$

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   Construir la tabla de signos en los intervalos que cortan -1/2 y 0.

   $x<-\tfrac12:\ \tfrac{(-)}{(-)}=+\quad;\quad -\tfrac12<x<0:\ \tfrac{(+)}{(-)}=-\quad;\quad x>0:\ \tfrac{(+)}{(+)}=+.$

   Así que el cociente es negativo exactamente en $\left(-\tfrac12,0\right)$.

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   Agregar los casos de igualdad. La desigualdad no es estricta, así que hay que incluir todo punto donde la expresión valga cero y esté definida: $x=-\tfrac12$ (de $2x+1=0$) y $x=\tfrac13$ (de $(3x-1)^2=0$). El punto $x=0$ sigue excluido porque allí se anula el denominador.

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   Escribir el conjunto solución.

   $x\in\left[-\tfrac12,\,0\right)\cup\left\{\tfrac13\right\}.$

   El punto aislado $\tfrac13$ es el detalle que conviene recordar: un factor con exponente par no aporta ningún cambio de signo, pero en una desigualdad no estricta sí aporta su propia raíz como solución solitaria. Las comprobaciones puntuales lo confirman — en $x=\tfrac13$ la expresión vale $0$, y en $x=0.4$ es positiva.