Calcula el determinante de la matriz 3x3 con filas (9,2,2), (27,7,7) y (18,5,4).

Step-by-step solution

1. 1

   Busca primero un atajo. Las dos primeras filas tienen iguales sus entradas segunda y tercera ($2,2$ y $7,7$), lo que sugiere que restar la columna $3$ de la columna $2$ creará ceros. Pero con solo tres filas el desarrollo directo por cofactores a lo largo de la primera fila ya es corto, así que lo usamos y guardamos esa estructura de reserva como comprobación.

2. 2

   Escribe el desarrollo por cofactores con los signos alternados. A lo largo de la primera fila los signos son $+,-,+$:

   $\det=9\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}$

3. 3

   Evalúa los tres menores 2×2.

   $\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}=28-35=-7,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}=108-126=-18,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}=135-126=9$

4. 4

   Combina.

   $\det=9(-7)-2(-18)+2(9)=-63+36+18=-9$

   $\boxed{-9}$

5. 5

   Comprueba con el atajo de columnas. Reemplazar $C_2$ por $C_2-C_3$ (lo cual deja el determinante sin cambios) da

   $\begin{vmatrix}9&0&2\\27&0&7\\18&1&4\end{vmatrix}$

   Al desarrollar por la nueva segunda columna, solo sobrevive la entrada $1$ en la posición $(3,2)$, con signo $(-1)^{3+2}=-1$:

   $\det=-1\begin{vmatrix}9&2\\27&7\end{vmatrix}=-(63-54)=-9$

   Los dos métodos coinciden.