Resolver la ecuación x³ − 3x² + 3x − 1 = 0.

Step-by-step solution

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   Leer los coeficientes como una fila binomial. Los valores absolutos $1,\ 3,\ 3,\ 1$ son la fila 3 del triángulo de Pascal y los signos se van alternando. Ese es exactamente el patrón de

   $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

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   Identificar a y b. Tomando $a = x$ y $b = 1$ se reproduce cada término: $x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3$. Por lo tanto

   $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$

   Detectar esto ahorra toda la rutina de raíces racionales y división.

3. 3

   Resolver la ecuación ya reducida. Un cubo es cero solo cuando su base es cero:

   $(x-1)^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1$

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   Describir la multiplicidad. La raíz $x = 1$ tiene multiplicidad $3$, así que hay una sola solución distinta aunque una cúbica tenga tres raíces contadas con multiplicidad. Se cumplen a la vez $f(1) = 0$ y $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 3 = 0$, y además $f''(1) = 6 - 6 = 0$: que las tres cantidades se anulen es la firma algebraica de una raíz triple.

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   Verificar y observar la gráfica. $1 - 3 + 3 - 1 = 0$. Como la multiplicidad es impar, la curva cruza el eje $x$ en $x = 1$ en vez de limitarse a tocarlo, pero lo hace con pendiente nula, lo que produce ahí la característica inflexión plana.