Resuelve 3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea el modelo de dos cuadráticas con el 3 principal en un solo factor. Como $3$ es primo, cualquier factorización sobre los enteros tiene que verse así:

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+ax+b\right)\left(x^{2}+cx+d\right)$

   con $bd=63$. Al desarrollar salen las cuatro condiciones de igualación

   $3c+a=24,\quad 3d+ac+b=82,\quad ad+bc=136,\quad bd=63$

2. 2

   Recorre las parejas de divisores de 63. Probando $b=7,\ d=9$ y resolviendo la primera y la tercera condición sale $a=12,\ c=4$; la segunda condición dice entonces $27+48+7=82$ ✓ y la tercera $108+28=136$ ✓. Las cuatro se cumplen simultáneamente, así que

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+12x+7\right)\left(x^{2}+4x+9\right)$

3. 3

   Desarrolla siempre de vuelta una factorización supuesta antes de usarla. Esto no es papeleo opcional: una conjetura de aspecto plausible como $3\left(x^{2}+6x+3\right)\left(x^{2}+6x+7\right)$ se desarrolla como $3x^{4}+36x^{3}+138x^{2}+180x+63$, que solo coincide en el primer y el último coeficiente y por lo tanto está mal. Comprobar los dos coeficientes centrales es justo lo que la delata.

4. 4

   Resuelve la primera cuadrática. Para $3x^{2}+12x+7=0$:

   $x=\frac{-12\pm\sqrt{144-84}}{6}=\frac{-12\pm\sqrt{60}}{6}=\frac{-12\pm 2\sqrt{15}}{6}=\frac{-6\pm\sqrt{15}}{3}$

   Numéricamente $x\approx-0.70901$ y $x\approx-3.29099$; las dos son reales, ya que el discriminante $60$ es positivo.

5. 5

   Resuelve la segunda cuadrática. Para $x^{2}+4x+9=0$ el discriminante es $16-36=-20<0$, de modo que

   $x=\frac{-4\pm\sqrt{-20}}{2}=-2\pm i\sqrt5$

6. 6

   Reúne las cuatro raíces y verifica numéricamente.

   $x=\frac{-6+\sqrt{15}}{3},\ \frac{-6-\sqrt{15}}{3},\ -2+i\sqrt5,\ -2-i\sqrt5$

   Un buscador numérico de raíces aplicado a la cuártica original devuelve $-0.70901$, $-3.29099$ y $-2\pm 2.23607i$, que coinciden exactamente ✓ ($\sqrt5=2.23607$).