Factoriza x² − 2xy + y² − 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar una agrupación que produzca un cuadrado. Con cuatro términos, el instinto es repartirlos $2+2$, pero aquí los tres primeros van juntos, porque $x^2-2xy+y^2$ tiene el patrón clásico de cuadrado perfecto: dos cuadrados y un término central igual a $-2$ por el producto de sus raíces.

2. 2

   Contraer los tres primeros términos.

   $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

   de modo que la expresión pasa a ser

   $(x-y)^2-9$

   Lo que parecía un problema de dos variables es ahora uno de una sola variable en la cantidad $x-y$.

3. 3

   Reconocer la diferencia de cuadrados. Como $9=3^2$, esto es $A^2-B^2$ con $A=x-y$ y $B=3$, y

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

4. 4

   Sustituir y escribir los factores.

   $(x-y)^2-3^2=\bigl((x-y)-3\bigr)\bigl((x-y)+3\bigr)=(x-y-3)(x-y+3)$

5. 5

   Confirmar que la factorización está completa. Ambos factores son lineales en $x$ e $y$, así que ya nada se separa más. Nótese que la expresión se anula exactamente sobre las dos rectas paralelas $x-y=3$ y $x-y=-3$: una lectura geométrica de la respuesta.

6. 6

   Verificar numéricamente. Comparar la expresión original con el producto en $60$ pares aleatorios $(x,y)$ tomados de $[-6,6]$ da coincidencia hasta la precisión de máquina en todos los puntos ✓. Comprobación puntual en $x=5,y=1$: el original $=25-10+1-9=7$, y $(5-1-3)(5-1+3)=(1)(7)=7$ ✓.