Resuelve x^3 - 0.016875x^2 + 0.000094921875x - 1.77975547e-7 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba si los tres primeros términos forman un cubo perfecto. Para $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$, el coeficiente de $x^2$ da $3a=0.016875$, así que $a=0.005625$. Verifica el coeficiente de $x$: $3a^2=3(0.005625)^2=3(0.000031640625)=0.000094921875$, coincidencia exacta. No es casualidad: la ecuación se construyó a partir de un cubo desplazado.

2. 2

   Reescribe la ecuación como un cubo puro más una constante. Como $a^3=(0.005625)^3=1.77978515625\times10^{-7}$,

   $x^3-0.016875x^2+0.000094921875x=(x-0.005625)^3+a^3$

   de modo que la ecuación se convierte en

   $(x-0.005625)^3=1.77975547\times10^{-7}-1.77978515625\times10^{-7}=-2.968625\times10^{-12}$

3. 3

   Toma la raíz cúbica real. Un número real tiene exactamente una raíz cúbica real, así que

   $x-0.005625=-\sqrt[3]{2.968625\times10^{-12}}=-1.4372041\times10^{-4}$

   $x=0.005625-0.00014372=0.00548128$

   El signo negativo sobrevive porque el lado derecho es negativo.

4. 4

   Ten en cuenta las otras dos raíces. Las raíces restantes provienen de las raíces cúbicas complejas de la unidad, $x=a+r\,e^{\pm 2\pi i/3}$ con $r=-1.4372041\times10^{-4}$:

   $x\approx 0.00569686\pm 0.00012447\,i$

   Así que la cúbica tiene una raíz real y un par conjugado; no tiene una raíz real repetida, afirmación que falla la prueba del discriminante, ya que $(x-a)^3=c$ tiene una raíz triple solo cuando $c=0$.

5. 5

   Verifica la raíz real por sustitución directa. Con $x=0.005481279590$: $x^3=1.6468\times10^{-7}$, $-0.016875x^2=-5.0700\times10^{-7}$, $+0.000094921875x=5.2029\times10^{-7}$, $-1.77975547\times10^{-7}$. La suma da $-1.3\times10^{-20}$, es decir, cero con la precisión de la máquina ✓. Sustituir en cambio el valor $0.0056808311$ que se cita con frecuencia deja un residuo del orden de $10^{-12}$, así que ese valor no es raíz.