Factoriza y simplifica la expresión algebraica (x + 7)^(1/3) − (x + 7)^(4/3).

Step-by-step solution

1. 1

   Elige el factor común por el exponente menor. Los dos términos son potencias de la misma base $x+7$, así que el máximo común divisor es esa base elevada al exponente más pequeño, ya que $\tfrac13<\tfrac43$. Sacar $(x+7)^{1/3}$ deja trabajo con números enteros.

2. 2

   Divide cada término entre el factor común. Usando $\frac{u^{m}}{u^{n}}=u^{m-n}$: el primer término da $(x+7)^{1/3-1/3}=1$, y el segundo da $(x+7)^{4/3-1/3}=(x+7)^{1}=x+7$. Por lo tanto $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=(x+7)^{1/3}\bigl[1-(x+7)\bigr].$

3. 3

   Simplifica el corchete. $1-(x+7)=1-x-7=-x-6=-(x+6).$

4. 4

   Escribe el resultado ordenado. Pasando el signo al frente, $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=-(x+6)(x+7)^{1/3}.$

5. 5

   Comprueba con un valor. En $x=1$ la expresión original vale $8^{1/3}-8^{4/3}=2-16=-14$, y la forma factorizada da $-(7)\cdot 8^{1/3}=-7\cdot 2=-14$, así que las dos coinciden.