Desarrollar el producto de x² + 8x + 16 por x² − 4x + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer que cada trinomio es un cuadrado perfecto. Se comprueba el patrón $a^2\pm 2ab+b^2$:

   $x^2+8x+16=(x+4)^2,\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2$

   Los coeficientes centrales lo confirman: $2\cdot 4=8$ y $2\cdot 2=4$. Con esto ya se pueden evitar nueve productos término a término.

2. 2

   Fusionar los dos cuadrados en uno. Como $u^2v^2=(uv)^2$,

   $(x+4)^2(x-2)^2=\bigl[(x+4)(x-2)\bigr]^2$

   Todo el truco está aquí: primero se multiplican los factores lineales y después se eleva al cuadrado una sola vez.

3. 3

   Multiplicar los dos binomios.

   $(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8$

   así que el problema se reduce a elevar al cuadrado el trinomio $x^2+2x-8$.

4. 4

   Elevar al cuadrado el trinomio con la identidad de tres términos. Usando $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ con $a=x^2$, $b=2x$, $c=-8$:

   $a^2=x^4,\ b^2=4x^2,\ c^2=64,\ 2ab=4x^3,\ 2ac=-16x^2,\ 2bc=-32x$

5. 5

   Agrupar términos semejantes. Las dos contribuciones en $x^2$ se combinan:

   $x^4+4x^3+(4-16)x^2-32x+64=x^4+4x^3-12x^2-32x+64$

6. 6

   Comprobar en $x=1$ y $x=-4$. En $x=1$ la expresión original vale $(1+8+16)(1-4+4)=25\cdot 1=25$, y el desarrollo da $1+4-12-32+64=25$. En $x=-4$ la original vale $0$ (porque $(x+4)^2$ se anula), y el desarrollo da $256-256-192+128+64=0$. Ambas coinciden.