卡在這題？用 AI 解開它

Algebra questions asked by real students

Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

dim W₁ < dim W₂ 時，W₂ 中必有非零向量與 W₁ 全正交

答案是這種向量必定存在。把 W₂ 透過 x ↦ ⟨x, ·⟩ 送進 W₁ 的對偶空間，像的維度至多為 dim W₁，再用秩—零度定理，核 W₂ ∩ W₁⊥ 的維度至少是 dim W₂ − dim W₁ ≥ 1。

|x| = 5 − 10 為什麼無實數解：絕對值不可能是負數

答案是完全無解。右邊化簡後變成 |x| = −5，而絕對值是到 0 的距離，距離永遠不會是負數，所以解集是空集合。

解 |2x + 5| = 0：只有一個解 x = −5/2 的特例

唯一的解是 x = −5/2。當絕對值等於零時不必分成兩種情況，因為到零的距離為零的數只有零本身。

解 |3x − 5| = 5：分兩種情況得 x = 0 與 x = 10/3

解是 x = 0 與 x = 10/3。因為 |A| = 5 迫使 A = 5 或 A = −5，這一個絕對值方程式就變成兩個普通的一次方程式。

解 |3x + 4| = 2：拆成兩個一次方程式得 x = −2/3 與 −2

兩個解是 x = −2/3 與 x = −2。絕對值等於正數時會產生兩種情況：3x+4 = 2 與 3x+4 = −2，每一個都一步就解得出來。

解 |4x + 3| = 2：得到兩個分數根 x = −1/4 與 −5/4

解是 x = −1/4 與 x = −5/4。把 |4x + 3| = 2 拆成 4x + 3 = 2 與 4x + 3 = −2 兩種情況，再分別解這兩個一次方程式。

解 |5 − x| = 5：變數帶負號，兩解為 x = 0 與 x = 10

解是 x = 0 與 x = 10。把方程式拆成 5 − x = 5 與 5 − x = −5；x 前面的負係數，正是讓第二種情況得到 x = 10 的原因。

解 |−x| = 3.4：用 |−x| = |x| 得到 x = ±3.4

解是 x = 3.4 與 x = −3.4。絕對值裡的負號完全不影響結果，因為一個數和它的相反數，離零的距離是一樣的。

解 |(2x − 3)/7| = ½·|(x + 3)/4|：兩解為 x = 5 與 3/23

解是 x = 5 與 x = 3/23。先把正的常數移到絕對值外面，交叉相乘成 8|2x − 3| = 7|x + 3|，再兩邊平方得到 23x² − 118x + 15 = 0。

解 |x| + |x − 1| = 3：以斷點分段，得 x = −1 與 x = 2

解是 x = −1 與 x = 2。以 x = 0 與 x = 1 為斷點分成三段；中間那一段化簡後變成 1 = 3，因此不提供任何解。

解 |x² − 13| = 3：拆成兩個二次方程式，得四個解

共有四個解：x = ±4 與 x = ±√10。絕對值裡包著二次式時會拆成 x² − 13 = 3 與 x² − 13 = −3，每一支各給出兩個根。

解絕對值不等式 |2x − 1| ≤ 3：答案是 −1 ≤ x ≤ 2

答案是 −1 ≤ x ≤ 2。小於等於型的絕對值會化成一條封閉的連鎖不等式 −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3，三邊加 1 再除以 2 就解出來了。

解絕對值不等式 |2x + 5| < 13：答案是 −9 < x < 4

答案是 −9 < x < 4。小於型的絕對值會化成一條連鎖不等式 −13 < 2x + 5 < 13，三邊減 5 再除以 2 即可解出。

解 7|w − 6| ≥ 2：先孤立絕對值，得 w ≤ 40/7 或 w ≥ 44/7

答案是 w ≤ 40/7 或 w ≥ 44/7。先兩邊除以 7，接著大於等於型的絕對值會拆成向外的兩條射線，而不是一個區間。

解 7|w − 6| ≥ 21：答案 w ≤ 3 或 w ≥ 9，兩端點都算

解是 w ≤ 3 或 w ≥ 9。兩邊除以 7 得到 |w − 6| ≥ 3，再讀成：w 與 6 至少相距 3 個單位，左右兩個方向都算。

解 |a − 1| < |2a|：安心兩邊平方，得 a < −1 或 a > 1/3

解是 a < −1 或 a > 1/3。兩邊都是絕對值時平方是可逆的，問題因此變成二次不等式 3a² + 2a − 1 > 0。

解 −2|3m| + 3 < −51：先翻不等號再拆，得 m < −9 或 m > 9

解是 m < −9 或 m > 9。先孤立 |3m|，除以 −2 時要翻轉不等號得到 |3m| > 27，再把這個向外型的不等式拆成兩個分支。

解 −2|3m| + 3 < 51：每一個實數都是解

解是全體實數。除以 −2 之後不等式變成 |3m| > −24，而絕對值永遠不為負，所以這個不等式恆成立。

解 |x² − 5x + 6| + |x − 4| ≥ −x² + 5x + 7：分四段討論

答案是 x ≤ (11 − √97)/4 或 x ≥ 5，數值上約為 x ≤ 0.288 或 x ≥ 5。以 2、3、4 為斷點分成四段，只有最外面兩段有解。

解 |2x − 3| ≤ x − 1：右邊帶變數，答案是 4/3 ≤ x ≤ 2

解是 4/3 ≤ x ≤ 2。右邊含變數時必須先強制它非負，再解夾擠式 −(x−1) ≤ 2x−3 ≤ x−1。

解 |x−1|/(x²−4) ≥ 0：解集中夾著一個孤立點 x = 1

解是 x < −2、x = 1 或 x > 2。分子永遠不為負，所以正負由分母決定，而 x = 1 讓整個分式恰好等於 0。

解不等式 (|x−2|−x)/(x²−4) ≤ 0：符號表解法

(|x−2|−x)/(x²−4) ≤ 0 的解是 (−2, 1] ∪ (2, +∞)。在 x = 2 拆開絕對值、列出符號表，看懂為什麼 x = 1 要算進去、±2 卻一定得排除。

計算 1/√2 + 1/√2：有理化之後答案是 √2

答案是 √2，約 1.414214。同類項相加得 2/√2，再乘上 √2/√2 有理化，分子的 2 剛好被約掉，只剩下 √2。

計算 2 倍 4 的五次方根加 5 倍 4 的五次方根：答案 7 倍

總和是 7 倍的 4 的五次方根。因為兩項的根號指標與被開方數本來就相同，只要把係數 2 與 5 加起來即可。

計算 5√50 + 3√32：先化簡再相加，答案是 37√2

總和等於 37 倍的根號 2。先把 √50 化成 5√2、√32 化成 4√2，再把化出來的係數 25 與 12 相加。

三個二次多項式加減：結果 7x² − 7x + 9，次數為 2

結果是 7x² − 7x + 9，次數為 2。先把減號分配到第三個括號的每一項，再分別合併 x²、x 與常數項。

兩個三次多項式相加：和為 −x³ + 8x² − 15x − 4，次數 3

和是 −x³ + 8x² − 15x − 4，次數為 3。把相同次方的係數相加即可；三次項並沒有互相消掉，所以次數仍然是 3。

計算 (−x² + 9) + (−3x² − 11x + 4)：和是 −4x² − 11x + 13

和是 −4x² − 11x + 13。看清楚怎麼按次數把同類項對齊、為什麼落單的 −11x 原樣抄下來，以及如何用 x = 1 檢驗結果。

f(x) = 5x + 2 與 g(x) = x − 6 相加：(f + g)(x) = 6x − 4

(f + g)(x) = 6x − 4，定義域是全體實數。把兩條規則疊起來，x 項 5x + x = 6x、常數 2 − 6 = −4，最後再寫出定義域。

f(x) = 2 − x² 與 g(x) = x² + 4x − 60 相加：得 4x − 58

(f + g)(x) = 4x − 58，定義域是全體實數。兩個 x² 項剛好互為相反數而抵銷，所以兩個二次函數相加卻得到一次函數。

化簡 √(3+√5) + √(3−√5)：整體平方之後得到 √10

總和等於 √10。整體平方得到 6 + 2√(9−5) = 10，而兩個根式都是正的，所以總和取正根 √10，不是 −√10。

計算 (x² − 2yz + z²) + (3yz − z² + 5x²)：答案是 6x² + yz

答案是 6x² + yz。因為兩組是相加而不是相減，括號可以直接拿掉，而兩個 z² 項剛好完全抵銷。

計算 x/(x − 8) + (x − 8)/x：答案 2(x² − 8x + 32)/(x(x − 8))

和是 2(x² − 8x + 32) / (x(x − 8))。以 x(x − 8) 為公分母通分後，分子是 x² + (x − 8)²，展開整理即得 2(x² − 8x + 32)。

計算 (x+5)/(2x−2) + 3x/(x²+x−2)：公分母取 2(x−1)(x+2)

和是 (x²+13x+10)/(2(x−1)(x+2))。先把 2x−2 分解成 2(x−1)、x²+x−2 分解成 (x+2)(x−1)，看出最簡公分母，再把兩個分子各自擴分上去。

全票兒童票 9 : 4 多賣 20 張後變 8 : 3：原本 108 與 48 張

原本賣出全票 108 張、兒童票 48 張，之後全票增為 128 張。把票數寫成 9k 與 4k 只留一個未知數，由 3(9k + 20) = 8(4k) 得 k = 12。

年齡問題：現在 8 倍、8 年後 3 倍，Boss 現在 25 又 3/5 歲

Boss 現在 25 又 3/5 歲。設另一人的年齡為 x，列出 8x + 8 = 3(x + 8)，解得 5x = 16，再乘回去就得到 Boss 的年齡。

年齡問題：現在 8 倍、8 年後 3 倍，哥哥 128/5 = 25.6 歲

答案是哥哥 128/5 = 25.6 歲、弟弟 16/5 = 3.2 歲。把弟弟的年齡設為 x，得到 8x + 8 = 3(x + 8)，於是 5x = 16。

年齡問題：父親現在是我的 4 倍、12 年前是 10 倍，我 18 歲

小孩 18 歲、父親 72 歲。方程式 4x − 12 = 10(x − 12) 解得 x = 18；十二年前兩人是 6 歲與 60 歲，比值恰好是 10。

年齡問題：現在 5 倍、5 年後 3 倍，哥哥現在 25 歲

哥哥 25 歲、弟弟 5 歲。列出 5a + 5 = 3(a + 5) 得 2a = 10；兩人同樣長 5 歲，這正是比值會下降的原因。

年齡問題：媽媽現在是我的 3 倍、10 年前是 5 倍，我 20 歲

我 20 歲、媽媽 60 歲。兩人年齡各減 10 得 3x − 10 = 5(x − 10)，解得 x = 20；十年前是 10 歲與 50 歲，比值為 5。

年齡和 46、四年前一人是另一人兩倍：88/3 與 50/3 歲

兩人年齡是 88/3 與 50/3 歲，約 29.33 與 16.67 歲。兩個條件給出兩條方程式，用代入法可以化簡成 3D − 4 = 46。

周長 48 公尺、長比寬多 4 公尺的長方形：面積 140 平方公尺

面積是 140 平方公尺。設寬為 x，則長為 x + 4；解 2(2x + 4) = 48 得 x = 10，所以兩邊長是 10 公尺與 14 公尺。

周長 52 公尺、長比寬多 6 公尺的長方形：面積 160 平方公尺

面積是 160 平方公尺。設寬為 x，長寫成 x + 6，解 2(x + (x+6)) = 52 得 x = 10，再把 10 乘上 16。

等差數列 u1 = 1/3、u8 = 26 求公差：d = 11/3

由 u8 = u1 + 7d 得 7d = 26 − 1/3 = 77/3，所以 d = 11/3。代回去 u8 = 1/3 + 7(11/3) = 78/3 = 26，確認這個分數沒錯。

等差數列 u4 = 10、u4 + u6 = 26 求公差：d = 3

因為 u4 = 10，第二式給出 u6 = 16。由 u6 − u4 = 2d 得 2d = 6、d = 3，再算出 u1 = 1 就能重建整個數列。

等差數列已知 u2 = 3、u4 = 7，第十五項 u15 = 29

由 u4 − u2 = 2d 得 d = 2、u1 = 1。於是 u15 = 1 + 14(2) = 29，第十五項是 29，而不是很誘人的 31。

等差數列首項 3、公差 2：第五項 u5 = 11

用一般項公式 un = u1 + (n − 1)d，代入 u1 = 3 與 d = 2 得 u5 = 3 + 4(2) = 11。列出 3、5、7、9、11 也確認第五項是 11。

手機資費算式 30 + 0.05t + 0.10x 與五組用量的月費

月費是 30 + 0.05t + 0.10x 美元，t 是通話分鐘、x 是發出的簡訊則數。代入五組用量分別得到 40、38.80、41.25、43.50 與 42.50 美元。

解連鎖不等式 (x+1)(x+2) ≥ (x+3)(x+4) ≥ (x+5)(x+6)

答案是 x ≤ −9/2，也就是區間 (−∞, −9/2]。把連鎖不等式拆成兩個，看每個 x² 項如何相消，最後取兩組解的交集。

計算 log 1576 / log 2.44：換底之後等於 8.2541

log 1576 / log 2.44 就是以 2.44 為底 1576 的對數，值為 8.2541。共同的底會消掉，把 2.44 取 8.2541 次方回推得到 1575.99，確認這個指數。

檢驗三個含 S 的小數算式是否相等：只有後兩式相等

答案是只有後兩式相等。第一式化簡成 0.015S − 0.955，第二、三式都化成 0.0138462S − 0.789231，兩者只在 S = 431/3 時才相等。

60 枚硬幣總值 450：5 元與 10 元各 30 枚

5 元硬幣 30 枚、10 元硬幣 30 枚。把第二種的枚數寫成 60 − x，兩個條件就併成一條方程式 5x + 10(60 − x) = 450。

80 枚硬幣總值 650：5 元 30 枚、10 元 50 枚

5 元硬幣 30 枚、10 元硬幣 50 枚。單一方程式 5x + 10(80 − x) = 650 同時把枚數條件與金額條件都寫進去了。

把 (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 收成完全平方：4(x + 1)²

這個式子等於 (2x + 2)² = 4(x + 1)²。與其硬展開，不如認出 A² + 2A + 1 的形態（取 A = 2x + 1），再把括號裡的 2 提出來。

合併同類項 4x + 2x − 5x：答案是 x，不是 1x 也不是 0

答案是 x，不是 1x 也不是 0。把係數相加得 4 + 2 − 5 = 1，而係數為 1 時習慣上不寫在變數前面。

合併同類項 6xy² − 3xy² − 12xy²：答案是 −9xy²

答案是 −9xy²。三項的變數部分都是 xy²，所以只有係數要合併：6 − 3 − 12 等於 −9，而 xy² 原樣帶著走。

合併同類項 9x − 14x + 6x：一步一步做，答案是 x

答案是 x。三項的變數都相同，所以只有係數要相加：9 − 14 + 6 = 1，而係數為 1 時從來不寫出來。

化簡 3x² + 2x − x² + 5x − 7：合併同類項得 2x² + 7x − 7

化簡結果是 2x² + 7x − 7。依次數分組：3x² − x² = 2x²，接著 2x + 5x = 7x，而常數 −7 沒有可以配對的同類項，單獨保留。

合併同類項化簡五次多項式：結果為 −x⁵ − 15x⁴ − 6x + 1

化簡結果是 −x⁵ − 15x⁴ − 6x + 1。只有兩個 x³ 項是同類項，而它們的係數相加為 0，整個三次項因此完全消失。

合併同類項解 −20 + 7x + 17 − 15x + 3x − 9 = 0：x = −12/5

答案是 x = −12/5 = −2.4。三個含 x 的項合併成 −5x，三個常數合併成 −12，再兩邊同除以 −5 就得到分數形式的解。

合併同類項 −12xy、9xy 與 −3xy：結果為 −6xy

−12xy + 9xy − 3xy = −6xy。三項的變數部分都是 xy，所以只需把係數相加：−12 + 9 − 3 = −6，xy 原封不動保留。

解 31192041.56x + 31719594.84x + 24088814.72x = 99464.37：x ≈ 0.0011432627

答案是 x ≈ 0.0011432627。三項都是同類項，係數相加得 87,000,451.12，再做一次除法就解完了。

比較 3 − 2a 與 3 − 2b：負係數讓不等號反向

若 a < b 則 3 − 2a > 3 − 2b，反過來也成立。兩邊同減 3 不影響方向，但同除以 −2 會讓不等號反向。

比較 4a − 3 與 4b − 3：正的乘數會保持不等號方向

若 a < b 則 4a − 3 < 4b − 3。乘以正數 4 與兩邊同減 3 都會保持不等式方向，所以方向從頭到尾不變。

比較 a³ + b³ 與 a²b + ab²（a、b 為正數）

a³ + b³ 永遠大於等於 a²b + ab²，且只有在 a = b 時相等，因為兩者的差可以因式分解成 (a + b)(a − b)²，是非負因式的乘積。

函數 G 與 H 的初始值都是 −1：Kelly 判斷錯誤

Kelly 錯了：兩個函數的初始值都是 −1。函數 H 的斜率為 1/2 且通過 (8, 3)，往回推到 x = 0 時 y 下降 4，正好落在 −1，與 G 完全相同。

3x² − 4x + 2 配方為 3(x − 2/3)² + 2/3：最小值 2/3、零點為複數

答案是 3(x − 2/3)² + 2/3，最小值為 2/3。判別式等於 −8，所以零點是共軛複數對 (2 ± i√2)/3，不是實數。

x² − 2x + 3 配方為 (x − 1)² + 2：最小值是 2

答案是 (x − 1)² + 2，所以最小值為 2，發生在 x = 1。判別式等於 −8，這正是它在實數範圍內永遠無法分解的原因。

解 −0.2 = 4.3957x² + 1.7334x + 0.0496：無實數解

答案：沒有實數解；x = −0.19717 ± 0.13382i。把 −0.2 移到左邊得 4.3957x² + 1.7334x + 0.2496 = 0，判別式為 −1.38399132。

合成函數：(g∘f)(x) = 128x² − 456x + 403、(h∘f)(2) = 11

(g∘f)(x) = 128x² − 456x + 403，(h∘f)(2) = 11，(f∘h)(x) = 16x³ + 36x − 15。做法是把內層函數代入外層函數中變數出現的每一處。

解 1 < x + 4 ≤ 2：三個部分同減 4 得 −3 < x ≤ −2

解是 −3 < x ≤ −2，也就是 (−3, −2]。把複合不等式的三個部分同時減 4，一步就能把 x 孤立出來，過程中不會有任何變號。

解 10 < 60(1 + x)/7 < 11：三部分同時運算得 1/6 < x < 17/60

解是 1/6 < x < 17/60。乘以 7、除以 60、再減 1 全都是正數運算，所以兩個不等號自始至終都指向同一個方向。

解 11 < 60(1+x)/7 < 12：去分母後得 17/60 < x < 2/5

答案是 17/60 < x < 2/5。三個部分同乘 7、同除以 60，再同減 1；因為兩個乘數都是正的，每一步都保持不等號方向。

解 16 < 3y − 8 ≤ 40：三部分同時運算得 8 < y ≤ 16

解是 8 < y ≤ 16。三個部分同加 8，再同除以 3；因為 3 是正數，不等號的方向與嚴格／非嚴格的身分都不會改變。

解 5x − 4 > 3 ≥ 1 − x：拆成兩式後得 x > 7/5

解是 x > 7/5。變數同時出現在兩側，所以必須把連鎖不等式拆成兩個不等式，再取兩個解集合的交集。

解 7 < 60(1+x)/7 < 8：解區間全為負數 −11/60 < x < −1/15

答案是 −11/60 < x < −1/15。兩個界限都是負的，因為 60/7 本身已經約等於 8.57，1 + x 必須被壓到 1 以下才進得了範圍。

為什麼 8 < 60(1+x)/7 < 7 根本無解

無解。這個式子同時要求一個數大於 8 又小於 7，而代數運算也如實地產生了上下界顛倒的結果。

解 8 < 60(1+x)/7 < 9：解區間橫跨 0，為 −1/15 < x < 1/20

答案是 −1/15 < x < 1/20。這個區間橫跨 0，因為 60/7 約等於 8.57，在 x = 0 時就已經落在目標範圍裡了。

含兩處矛盾的連鎖不等式：完全無解

無解。把 4018 − 2734 化簡成 1284 之後，這條連鎖式同時要求 3818 ≤ 499x − 20y < 1284 與 1284 ≤ 33x − 78y < −2534，兩者都不可能成立。

解複合不等式 −4 ≤ 3x − 1 ≤ 8：答案為 −1 ≤ x ≤ 3

答案是 −1 ≤ x ≤ 3。三個部分一起處理：先同加 1 得到 −3 ≤ 3x ≤ 9，再同除以正數 3，全程都不需要變號。

解 1/6 < (2x − 13)/12 ≤ 2/3：去分母後得 15/2 < x ≤ 21/2

答案：15/2 < x ≤ 21/2，也就是 (7.5, 10.5]。三個部分同乘 12 得 2 < 2x − 13 ≤ 8，再加 13、除以 2；嚴格端與閉端都原樣保留。

由 5log x − 4log(x²+1) + 5log(x−1) = log A 求出 A = x⁵(x−1)⁵/(x²+1)⁴

A = x⁵(x − 1)⁵ / (x² + 1)⁴。次方律把每個係數搬進指數裡，而負係數則讓對應的因式落到分母去。

數出 (x²−16)/(1+4x−5x²) ≥ 0 的整數解：共 7 個

答案：7 個整數（−4、−3、−2、−1、2、3、4）。先把分子分母都因式分解，注意分母的拋物線開口向下，再依臨界點 −4、−1/5、1、4 讀出正負表。

特徵多項式為 x³(x−1)⁴ 的複矩陣共有 15 個相似類

共有 15 個相似類。在複數上 Jordan 形是完全不變量，所以個數等於 p(3)·p(4) = 3·5 = 15，也就是兩個重數各自整數分割的所有配對。

解立方根方程式 ∛(5 − 3x) = 4：x = −59/3

答案：x = −59/3，約為 −19.667。兩邊同時立方得 5 − 3x = 64；立方根不像平方根，不需要定義域條件，也不會產生增根。

解方程式 (2x + 2)^(1/3) = −4：立方根方程式

實數解是 x = −33。兩邊同時立方消掉 1/3 次方，解出 2x + 2 = −64，並理解為什麼奇次方根不會產生增根。

解 1.5708x³ − 0.01446x² + 1.35803e−5·x + 1.0159e−12 = 0：三個實根

三個實根是 x ≈ −7.4802e−8、0.00106167 與 0.00814390。先把 x 乘上 10³ 換尺度，條件極差的小數就變成一條好處理的三次式。

解 20.2x³ − 80.8x² + 60.6 = 0：三根為 1 與 (3 ± √21)/2

答案：x = 1 以及 x = (3 ± √21)/2，約為 3.7913 與 −0.7913。關鍵一步是看出 214221 = 101² × 21，平方根因此能完全化簡成精確值。

用卡丹公式解 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0：實根 s ≈ −3.086409

一個實根 s ≈ −3.086409，另有一對共軛複根 −6.706796 ± 1.902385i。沒有有理根，所以先化成 y³ − 3y/4 − 49/4 再套卡丹公式。

解 2x³ + 33x² + 180x − 300 = 0：恰有一個實根 x ≈ 1.3210837

答案：x = 1.3210837，是唯一的實根。判別式 −42,120,000 為負，所以卡丹公式給出一個實根與兩個複根；有理根則完全不存在。

解 3.68x³ + 92.3x² − 500 = 0：三個實根 −24.8617、−2.4502、2.2304

答案：x = −24.8617、−2.4502 與 2.2304。用根與係數關係檢查最快：三根之和必須是 −92.3/3.68 = −25.0815，三根之積必須是 500/3.68 = 135.87。

用三角解法解 49 − 112x + 21x² − x³ = 0：三根 0.4797、8.4956、12.0248

三個實根是 x ≈ 0.4797、8.4956 與 12.0248。沒有有理根，所以先把三次式化成 y³ − 35y + 49，再用不可約情形的餘弦公式。

解不等式 (x−1)(x+2)(x−3) < 0 並寫成區間

解集合是 (−∞, −2) ∪ (1, 3)。先找出三個零點，把數線切成四段，再用符號表逐段判斷乘積的正負。

解 (x³+1)(x²−2) < x(x³+1)：解集合為 (−∞, −1) 聯集 (−1, 2)

解集合是 (−∞, −1) 聯集 (−1, 2)。把 x³ + 1 提出來得到 (x+1)²(x²−x+1)(x−2) < 0，只有 x − 2 可能為負，而 x = −1 必須挖掉。

解 (x−2)(x+1)(x−4) < 0：四段正負表給出 (−∞,−1) 聯集 (2,4)

答案：(−∞, −1) 聯集 (2, 4)。三個單根把數線切成四段，正負號交替出現，而嚴格不等號會把三個根全部排除在外。

由零點與首項係數寫出三次多項式

答案是 f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900。看每個零點如何變成一個一次因式，以及首項係數如何決定整體的倍率。

解一條「平移完全立方加微小偏移」的三次方程式：唯一實根 x ≈ 0.00548128

唯一的實根是 x ≈ 0.00548128。看出 0.016875 = 3(0.005625) 且 9.4921875e−5 = 3(0.005625)²，整條三次式就塌縮成一個平移過的完全立方。

把 x³ + 12x² + 48x + 72 = 0 看成 (x+4)³ + 8 = 0：x = −6

答案：x = −6。這條三次式差一點就是 (x+4)³，後者的常數項是 64；多出來的 8 讓它成為 (x+4)³ = −8，所以 x + 4 必須等於實立方根 −2。

解缺一次項的 x³ − 14x² + 23 = 0：三根 −1.228936、1.348310、13.880626

三個根是 x = −1.228936、1.348310 與 13.880626。缺少 x 項使得兩兩乘積之和恰為零，這是檢驗任何數值答案時最銳利的一把尺。

解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.074296 = 0：三根為 −0.0126509、0.0239023、245.6997486

三個根是 x = −0.012650903、0.023902272 與 245.699748632。在零附近捨去 x³ 求出兩個小根，再用根之和 245.711 得到那個大根。

解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.093547 = 0：三根為 −0.0146815、0.0259332、245.6997483

三個根是 x = −0.014681475、0.025933162 與 245.699748313。在零附近捨去 x³ 求出兩個小根，再用根之和 245.711 得到那個大根。

解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.115212 = 0：三根為 −0.0167473、0.0279994、245.6997480

三個根是 x = −0.016747308、0.027999354 與 245.699747954。在零附近捨去 x³ 求出兩個小根，再用根之和 245.711 得到那個大根。

解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.138128 = 0：三根為 −0.0187425、0.0299950、245.6997476

三個根是 x = −0.018742545、0.029994971 與 245.699747574。在零附近捨去 x³ 求出兩個小根，再用根之和 245.711 得到那個大根。

看出 (x − 1)³ − 1 來解 x³ − 3x² + 3x − 2 = 0：唯一實根 x = 2

唯一的實數解是 x = 2。這條三次式其實就是 (x − 1)³ − 1，所以方程式化成 (x − 1)³ = 1，取實立方根便得 x − 1 = 1。

數值解 x³ − 59x² − 420x + 10800 = 0：三根 −15.219737、11.273122、62.946615

三個根是 x = −15.219737、11.273122 與 62.946615。10800 的因數沒有一個能讓多項式歸零，所以只能逐段框住變號，再用牛頓法逼近。

以 y³ − y = 1 解 x³ − 6x² + 11x − 6 = 1：唯一實根 x ≈ 3.3247180

唯一的實數解是 x = 2 + ρ ≈ 3.3247180，其中 ρ 是塑膠數。先把左邊分解成 (x−1)(x−2)(x−3)，再代 y = x − 2，解 y³ − y − 1 = 0。

用卡丹公式解 x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0：實根 x ≈ −28.392868

唯一的實根是 x ≈ −28.392868，另有一對共軛複根 −5.803566 ± 6.062907i。消去二次項後得到 y³ − 400y/3 + 38000/27，判別式為正。

機車比腳踏車快 40 km/h：腳踏車騎完 30 公里花 1.5 小時

腳踏車花 1.5 小時，時速 20 公里。列出 30/v − 30/(v + 40) = 1，去分母後得 v² + 40v − 1200 = 0，唯一的正根是 20。

由五個函數值求四次多項式的根之和

根之和為 10。先減掉線性規律 4x − 3，把差式分解成 a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)，再用根與係數關係，常數 a 會自己消掉。

看出「完全平方加 1」來解八次方程式：沒有實數解

這個方程式沒有實數解。多項式恰好等於 (x⁴ − x³ + x² − x + 1)² + 1，而實數的平方永遠不會等於 −1，所以它的值從不低於 1（實際最小值約 1.4537）。

由 a² + (φx)² = c² 求 a：答案為 a = (√5 − 1)c/4

答案是 a = (√5 − 1)c/4。看似麻煩的根式 √(6 − 2√5) 可以脫巢成 √5 − 1，因為 6 − 2√5 正好是這個差的完全平方。

把 √(11 − √120) 脫巢化簡成 √6 − √5

這個巢狀根式等於 √6 − √5 ≈ 0.2134。先把 11 − √120 寫成 11 − 2√30，再找出 m + n = 11 且 mn = 30，就得到完全平方 (√6 − √5)²。

畫出 x + y ≤ 6 且 x ≥ 2 的區域：頂點 (2,4) 的無界楔形

解是一個無界區域，頂點在 (2,4)，左側以 x = 2 為界、上方以 y = 6 − x 為界。把每個不等式都解成 y 的形式，重疊的部分就很容易畫出來。

3×3 行列式 [[9,2,2],[28,8,8],[18,5,4]] = −16

行列式是 −16。沿第一列展開：9(32−40) − 2(112−144) + 2(140−144) = −72 + 64 − 8 = −16。把中間那一列由 27,7,7 改成 28,8,8，值就從 −9 變成 −16。

3×3 行列式 [[9,2,2],[27,7,7],[18,5,4]] = −9：餘因子展開

行列式是 −9。沿第一列展開：9(28−35) − 2(108−126) + 2(135−126) = −63 + 36 + 18 = −9。

4×4 行列式 [[18,5,7,8],[18,3,4,4],[9,1,1,1],[9,2,3,4]] = 9

行列式是 9。先減去第三列的倍數，把第一行清成只剩一個 9，再沿該行展開，剩下的 3×3 行列式算出來等於 1。

4×4 行列式 [[19,5,7,8],[18,4,4,4],[9,1,2,1],[9,2,3,4]] = −46

行列式是 −46。做兩輪列運算把第一行化到只剩左上角一個 1，剩下一個 3×3 行列式，算出來是 −46。

化簡 (2x + 1)² − (2x − 1)²：平方差公式直接得 8x

答案是 8x。不必把兩個平方都展開，直接套 A² − B² = (A − B)(A + B)，取 A = 2x + 1、B = 2x − 1，二次項根本不會出現，最後再用展開法核對。

用平方差公式展開 4(x + 3)(x − 3)：答案 4x² − 36

4(x + 3)(x − 3) = 4(x² − 9) = 4x² − 36。兩個括號是一對共軛式，用 a² − b² 一步就併掉，不必逐項相乘；反過來讀，這也就是 4x² − 36 的因式分解。

兩個立方型分式的平方差：化為 −16a(a²+2)(a²+8)/(a²−4)²

整個式子化為 −16a(a²+2)(a²+8)/(a²−4)²，其中 a ≠ ±2。關鍵是先認出分子是 a³+8 與 a³−8 的二次因式，把每個平方併成單一分式再相減，最後完全因式分解。

分解 x²/9 − ((2x/3 − m)/4)²：答案 (2x + 3m)(2x − m)/48

答案是 (2x + 3m)(2x − m)/48。兩項本來就都是完全平方，取 a = x/3、b = (2x/3 − m)/4 = x/6 − m/4，直接套 a² − b² = (a − b)(a + b) 就好，不必先展開製造一堆分數。

化簡 (x + 2y)² − (x − 2y)²：用 A² − B² 得 8xy

答案是 8xy。按平方差公式分解，兩個因式分別是 4y 與 2x，所有平方項在你動手展開之前就已經抵消掉了；文末再用展開與代數值兩種方式核對。

兩個完全立方展開式之差：分解成 (c − e)(y − b)(A² + AB + B²)

每一塊 20 項的式子都是一個完全立方，所以整體是 A³ − B³，而 A − B = (c − e)(y − b)。認出立方結構，就把 40 項壓縮成三個因式，還能直接讀出 c = e 或 y = b 時式子為零。

化簡 (9a²−4)/(2−3a) − (6a²−5a−6)/(3−2a)：答案恆為 0

答案是 0。兩個分式約分後都等於 −(3a + 2)，因為分母寫成顛倒的次序，恰好提供一個因數 −1，相減之後恆等於零；a = 2/3 與 a = 3/2 要排除。

f(x) = 5x² − 3x + 9 的差商化簡：10x + 5h − 3

差商化簡後是 10x + 5h − 3。展開 f(x+h) 之後所有不含 h 的項都抵消，分子提得出 h，正好和分母約掉；令 h→0 就得到導數 10x − 3。

f(x) = 7/(3x − 1) 的差商：通分後得 −21/((3x+3h−1)(3x−1))

結果是 −21/((3x+3h−1)(3x−1))。先把括號裡的兩個分式通分，分子就塌縮成 −21h，分母的 h 隨即約掉；令 h→0 得到導數 −21/(3x−1)²。

f(x) = x² − 5x + 2 的差商化簡

差商化簡後是 2x + h − 5。一步步看如何展開 f(x + h)、減掉 f(x)、把分子提出 h 再約掉，最後用導數驗證答案。

把 f(x) = −x² + 7x + 2 的差商寫成 Ax + Bh + C：A = −2、B = −1、C = 7

差商化簡成 −2x − h + 7，所以 A = −2、B = −1、C = 7。所有不含 h 的項都成對抵消，分母的 h 才約得掉；令 h→0 即得導數 −2x + 7。

√(5x + 1) 的差商：分子有理化得 5/(√(5x+5h+1) + √(5x+1))

結果是 5/(√(5x+5h+1) + √(5x+1))。乘上共軛式後，兩個根號之差變成 5h，分母的 h 就約掉了；令 h→0 得到導數 5/(2√(5x+1))。

由 (m²+n²+1)(m²+n²+3) = 8 求 OP：答案 OP = 1

OP = 1。用整體代換 t = m² + n²，條件變成 t² + 4t − 5 = 0，兩根為 1 與 −5；平方和不可能是負數，所以只有 t = 1 存活，P 落在單位圓上。

(2m² + 3m − 4) ÷ (m + 5)：商 2m − 7，餘數 31

答案是 2m − 7 + 31/(m + 5)。先按降冪重排成 2m² + 3m − 4，再用根 −5 做綜合除法；把 m = −5 代回分子，可驗證餘數確實是 31。

2x³+x²−4x−2 除以 2x+1：商 x² − 2，餘式為 0

答案是商 x² − 2、餘式 0。長除法兩步就除盡；用分組分解也能確認，因為 2x³+x²−4x−2 恰好等於 x²(2x+1) − 2(2x+1)。

2x² − 1 除以 2x + 1：商 x − 1/2，餘式 −1/2

商是 x − 1/2，餘式是 −1/2。先把缺掉的 0x 項補上，再兩次做最高次項相除；除式的最高次項係數不是 1，商裡出現分數是正常的。

(2x² + 2x + 1) ÷ (2x + 3)：商 x − 1/2，餘式 5/2

商是 x − 1/2，餘式是 5/2。兩輪最高次項相除就做得完；除式的最高次項係數不是 1，商裡出現分數很正常，最後用除法原理回驗。

化簡 (2x²+7x+3)/(x+3)：分子分解後約分得 2x + 1

答案是 2x + 1，且 x ≠ −3。用 6 與 1 拆開中間項，分組分解成 (2x+1)(x+3)，再約掉共同的二項式因式；x = −3 處留下一個可移除的不連續點。

(3p² + 4p − 2) ÷ (p − 1)：商 3p + 7，餘數 5

結果是 3p + 7 + 5/(p − 1)。先把分子按降冪排好，再用綜合除法除以根 1；餘數 5 恰好等於分子在 p = 1 的值。

(3x² − 5) ÷ (x + 1)：商 3x − 3，餘數 −2

商是 3x − 3，餘數是 −2。做除法之前先補上缺掉的 0x 項，算完再用餘數定理在 x = −1 代入核對。

(3x⁴ − 4x² + 8x − 1) ÷ (x − 2)：商 3x³ + 6x² + 8x + 24，餘數 47

商是 3x³ + 6x² + 8x + 24，餘數 47。關鍵是缺掉的 x³ 項必須先補成 0x³ 再除，最後可用餘數定理算 f(2) = 47 快速核對。

(4a²−b²)/(b+2a) 除以 (b−2a)²：化簡得 1/(2a−b)

把 4a² − b² 用平方差分解成 (2a−b)(2a+b)，其中 (2a+b) 與 (b+2a) 約掉，剩下 (2a−b)/(b−2a)²，再利用平方不受變號影響即得 1/(2a−b)。

(4p² − 5p + 4) ÷ (p − 2)：商 4p + 3，餘數 10

答案是 4p + 3 + 10/(p − 2)。先把分子按降冪排成 4p² − 5p + 4，用根 2 做綜合除法，再把 p = 2 代入分子驗證餘數確實是 10。

分式除法 (9−a²)/(a²−8a+15) ÷ (2a²−10a)/(a²−10a+25)：得 −(a+3)/(2a)

化簡結果是 −(a+3)/(2a)，且 a ≠ 0、3、5。關鍵在於把 9 − a² 分解成 −(a−3)(a+3) 而不丟掉負號，再把除法改成乘以倒數逐個約分。

用綜合除法算 2x⁴ − x³ − 5x² + 2x + 2 除以 x − 1：餘數 0

商是 2x³ + x² − 4x − 2，餘數為 0，所以 x = 1 是一個根。綜合除法最底下那一列直接給出商的各項係數，接著還能分解成 (x−1)(2x+1)(x²−2)。

四個二次式全分解後的分式除法：化簡成 (a−1)/(a−2)

四個二次式分別分解成 (a−6)(a+3)、(2a+1)(a−6)、(a+3)(a−2) 與 (2a+1)(a−1)。除號改乘號後約掉三對相同因式，只剩 (a−1)/(a−2)，且 a ≠ 6、−1/2、−3、2。

(20x²y² + 16x²y − 12xy²) 除以單項式 4xy：商 5xy + 4x − 3y

商是 5xy + 4x − 3y。把一個分式拆成三個分式，係數相除、指數相減，最後用「除式 × 商」乘回去，確認結果就是原來的被除式。

用綜合除法算 (f³ + 64) ÷ (f + 4)：商 f² − 4f + 16，餘數 0

答案是 f² − 4f + 16，餘數為 0。先把缺掉的 f² 項與 f 項寫成 0，用 −4 做綜合除法；認出這其實是立方和公式，就知道餘數必然為零。

用綜合除法算 (j³ − 64) ÷ (j − 4)：商 j² + 4j + 16，餘數 0

答案是 j² + 4j + 16，餘數為 0。係數按 1、0、0、−64 排開，根取 +4；這正是立方差公式，所以商的三項符號全是正的。

x³ 除以 x + 1：結果是 x² − x + 1 − 1/(x + 1)

結果是 x² − x + 1 − 1/(x + 1)。把分子補成 x³ + 0x² + 0x + 0 再做長除法，得商 x² − x + 1、餘數 −1，與餘數定理算出的 f(−1) 完全一致。

長除法算 (x³ − 3x² + 5x − 3) ÷ (x − 1)：商 x² − 2x + 3

商是 x² − 2x + 3，餘數為 0，所以 x − 1 是它的一個因式。完整走三輪「除、乘、減」，並用因式定理事先預測整除，最後乘回去複核。

(x³ + 6x² + 11x + 6) ÷ (x² + 4x + 3)：商是 x + 2

商是 x + 2，餘式為 0。三次除以二次，商必為一次式，只要兩輪；重點是每輪都用 x² 去除最高次項而不是用 x，最後再用因式分解交叉驗證。

(x⁴ + 5x³ − 3x − 15) ÷ (x³ − 3)：商是 x + 5

商是 x + 5，餘式為 0。先比次數確定商是一次式，再做長除法；也可以直接分組分解成 (x + 5)(x³ − 3)，最後用 x = 2 代入雙重驗算。

(x² − 12x + 5) ÷ (3x + 9)：商 x/3 − 5，餘數 50

商是 x/3 − 5，餘數是 50。除式以 3x 打頭而被除式以 x² 打頭，所以商裡必然出現分數係數；不可以先把 3 提到括號外，否則「餘數」的意思就變了。

x⁵ + 20x³ − x − 8 除以 x² − 2x + 7：商 x³ + 2x² + 17x + 20

商是 x³ + 2x² + 17x + 20，餘式為 −80x − 148。先把兩個多項式按降冪排好、給缺項補零，再做四輪「除、乘、減」即可。

(y² − 81) 除以一個分式：化簡得 (y − 9)(y² + 9)/(y − 5)

結果是 (y − 9)(y² + 9)/(y − 5)，且 y ≠ −9、5。先把除法改寫成乘以倒數，再把平方差與二次三項式都分解，最後約掉上下共有的 (y + 9)。

除法表裡缺的那一格 A 是多少：答案 A = 5

答案是 A = 5。用 x + 1 去除 2x³ − x² + 2x + 5，商是 2x² − 3x + 5，所以標著 A 的第三項（常數項）就是 5，餘數為 0。

f(x) = 1/√(x + 2) 的定義域：開區間 (−2, ∞)

定義域是開區間 (−2, ∞)。根號內的式子要非負，分母又不能為零，兩個條件疊在一起，把 x + 2 逼成嚴格大於 0，所以 −2 這一端要用小括號。

2/(x² − 12x + 35) 的定義域：挖掉 5 與 7 的三段區間

定義域是除去 5 與 7 之外的全體實數，寫成三段區間。把分母分解成 (x − 5)(x − 7)，就能一眼看出是哪兩個值讓它變成零。

(2x+1)/(x⁴ − 5x² + 4) 的定義域：挖掉 ±1、±2 的五段區間

定義域要挖掉 x = ±1 與 ±2 這四個點，剩下五個開區間。分母是雙二次式，令 u = x² 分解成 (x²−1)(x²−4)，一次就能找齊所有零點。

f(x) = 6/(x−15) + 6/(x+12) 的定義域：三段開區間

定義域是 (−∞, −12) ∪ (−12, 15) ∪ (15, ∞)。兩個分母各貢獻一個排除值，把數線切成三段開區間；限制要從原式讀，不能等通分之後才看。

求 f(x) = 1 / (8/(x − 5) − 2) 的定義域

f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) 的定義域是 (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞)。繁分式藏了兩個限制：內層分母與外層分母，兩個都要排除。

(2x + 9)/(x³ + 3x² − x − 3) 的定義域：分組分解後得四段區間

定義域是 (−∞, −3) ∪ (−3, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞)。分母用分組分解得到 (x − 1)(x + 1)(x + 3)，三個根都要挖掉；分子在這些點都不為零，所以它們是真正的鉛直漸近線。

兩個多項式函數之差 f − g 的定義域：全體實數 (−∞, ∞)

定義域是 (−∞, ∞)。f(x) = 2 − x² 與 g(x) = x² + 4x − 60 都是多項式，對每個實數都有定義，取交集之後它們的差自然也處處有定義。

√(x − 4) + √(x + 15) 的定義域：[4, ∞)

定義域是 [4, ∞)。兩個根號內的式子都必須非負，分別給出 x ≥ 4 與 x ≥ −15；取交集之後只留下比較嚴格的那一個條件，左端點要用中括號。

f(x) = √(x + 10) 的定義域：[−10, ∞)

定義域是 [−10, ∞)。根號下必須非負，由 x + 10 ≥ 0 解得 x ≥ −10；因為 √0 = 0 有意義，所以 −10 本身也包含在內，左端要用中括號。

f(x) = x² − 2x + 9 的定義域：全體實數 (−∞, ∞)

定義域是 (−∞, ∞)。多項式既沒有分母，也沒有偶次方根和對數，任何實數都能代進去；判別式為負只限制值域 [8, ∞)，跟定義域無關。

f(x) = √(4x − 12) 的定義域：[3, ∞)

定義域是 [3, ∞)。根號要求被開方數非負，由 4x − 12 ≥ 0 解得 x ≥ 3；左端點要取到，因為 √0 = 0 是有定義的。

x / ∛(x² − 36) 的定義域：立方根可以取負數，只排除 ±6

定義域是 (−∞, −6) ∪ (−6, 6) ∪ (6, ∞)。立方根對任何實數都有定義，所以只需排除讓根號內為零、也就是讓分母為零的那兩個點。

解 −1 < x² − x − 1 < 1：解集為 (−1, 0) ∪ (1, 2)

解集是 (−1, 0) ∪ (1, 2)。中間是二次式而非單調的一次式，不能三邊同時加減，必須拆成兩個二次不等式各自求解再取交集，中間會被挖掉 [0, 1] 這一段。

若 a − 2b + 4c = 0 且有兩相等實根，則 a = b

正確結論是 a = b。把 b² = 4ac 與 2b = a + 4c 併起來，得到 (a − 4c)² = 0，於是 a = 4c；再代回去得 b = 4c，所以 a = b，選 (A)。

解 (5x + 7)² = (5x − 6)²：唯一的根是 x = −0.1

唯一的根是 x = −0.1。兩數平方相等表示 5x + 7 = ±(5x − 6)；取正號得到 7 = −6 不成立，取負號得到 10x = −1，正好是兩括號互為相反數的情形。

求過 (10, −5) 與 (1, −8) 的直線：y = x/3 − 25/3

直線是 y = x/3 − 25/3。斜率的分子分母都是負數，相除得到正的 1/3；截距是分數，要保留精確值，寫成 −8.33 就驗不乾淨了。

求過 (−6, 1) 與 (−3, 7) 的直線：y = 2x + 13

直線是 y = 2x + 13。橫座標是負數時，減去負數等於加，水平變化量是 3 而不是 −9；斜率 2 相當陡，所以截距比兩點的縱座標都高出不少。

解 (x+1)² + (x−1)² = (x+1)² + (1−x)²：任何實數都是解

任何實數都是它的解。因為 1 − x 與 x − 1 互為相反數，平方之後完全相等，所以等號兩邊根本就是同一個式子，這是一個恆等式。

x² 項互相抵消的分數方程式：解出 x = 11

解是 x = 11。兩邊展開後，x² 項都是 (1/2)x²，正好抵消，剩下的是一元一次方程式；表面上是二次，其實骨子裡是一次。

解 (7/20)x + (x−2)/15 + x²/12 = (x+3)²/12 − (2x+3)/20：x = 44

解是 x = 44。把 (x+3)² 展開後兩邊都出現 x²/12，直接抵消；看似二次方程式，實際只剩一個分母含 12 與 20 的一元一次方程式。

2 + 8(x − 2)³ 在 x = 6 的值是 514：括號、次方、乘法、加法

答案是 514。先把括號內化簡成 4，立方得 64，再乘以 8 得到 512，最後才加上括號外面的 2。若先算 8 乘 4 再立方會變成 32768。

8x³ + 12x³ + 6x + 1 在 x = 1/2 的值為 13/2：先合併同類項

答案是 13/2。先把兩個立方項合併成 20x³ + 6x + 1，就只需要算一次 (1/2)³：20 乘 1/8 得 5/2，再加 3 與 1 就是 13/2。

(2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x 在 x = 1 的值為 18：兩種算法

答案是 18。前兩項套平方差公式化成 (4x + 2)(4) = 16x + 8，整個式子其實是一次式 10x + 8，代入 x = 1 就得到 18。

(2x+5)² − 4(x+3)(x−3) 在 x = 1/20 的值為 62：先展開再代入

答案是 62。先展開會發現二次項全部抵消，整個式子等於 20x + 61，代入 x = 1/20 只要算 20 乘 1/20 再加 61，完全不必去平方分數。

8x³ + 12x³ + 6x + 1 在 x = 1/2 的值為 13/2：合併同類項再代入

合併 8x³ 與 12x³ 得 20x³ + 6x + 1，在 x = 1/2 時等於 5/2 + 3 + 1 = 13/2。若中間項寫成 12x²，式子會變成完全立方 (2x + 1)³，答案就是 8。

已知 3x − 2y = 20，9x² − 12xy + 4y² 的值為 400：整體代入

答案是 400。9x² 與 4y² 都是完全平方，而 12xy 恰好是兩者平方根乘積的兩倍，所以整個式子收成 (3x − 2y)² = 20² = 400。

x : y = 2 : 3 時 (3x²−2xy+5y²)/(5x²−3xy+3y²) 的值為 45/29

令 x = 2k、y = 3k。分子分母每一項的次數都是 2，k² 會完全約掉：分子成為 45k²、分母成為 29k²，比值就是 45/29。

−28.9 ln(x) + 64.449 在 x = 90.1 的值約為 −65.63：中途別四捨五入

答案約為 −65.63。ln(90.1) 要保留到六位小數 4.500920；若改用 4.5017 這種粗糙值，答案會偏成 −65.65，誤差約 0.02。

三段分段函數在 x = 4 的值：f(4) = 9，先判斷落在哪一段

答案是 f(4) = 9。先判斷 x = 4 落在哪一段：它滿足 3 ≤ x ≤ 10，所以要用中間那條規則 x² − 7，得到 16 − 7 = 9。

分段函數 g 在 x = −1、7、0 的值，以及 g(−2) 沒有定義

g(−1) = −6、g(7) = 38、g(0) = −4，而 g(−2) 沒有定義。第一段要求 −2 < x，是嚴格不等式，把端點 −2 本身排除在外。

m = 3、n = 2 時 m − m²n/(3n) 的值為 0：n 會被約掉

答案是 0。代入得 3 − 18/6 = 3 − 3；先把 n 約掉會看出式子其實是 m − m²/3，在 m = 3 時本來就是零，與 n 無關。

i 從 2 到 5 的 (i² − 1) 總和為 50：展開四項相加

答案是 50。把 sigma 記號展開成 3 + 8 + 15 + 24，或用平方和公式再扣掉項數，兩種算法都得到 50。

x = 8、y = 4 時 x² − 5(x − y) 的值為 44：逐步計算

答案是 44。先代入，接著清掉括號與次方，最後才做乘法與減法：64 − 5(4) = 64 − 20 = 44。

x² − 6x + 3 在 x = 7 的值為 10：代入後由左至右計算

答案是 10。代入 x = 7 得 49 − 42 + 3：先平方再乘，6x 視為一次減法，最後的加減由左至右做。

已知 x − 4y = 5，x² − 8xy + 16y² 的值為 25：完全平方

答案是 25。這個式子就是完全平方 (x − 4y)²，所以可以把整個條件整體代入，完全不必分別求出 x 與 y。

已知 x = 2 且 y = x 乘 x，代入求得 y = 4

答案是 y = 4。整題的方法就是代入：把 x 的值代進第二個式子，得到 2 乘 2 等於 4，而不是 2 加 2。

z = 2 + i、u = 3 − 2i 時 z² − 3u³ + 2v 為 29 + (142 − √3)i

答案是 29 + (142 − √3)i。把 3 − 2i 立方得 −9 − 46i，再乘上 −3 翻成 27 + 138i，主導了實部與虛部的總和。

證明任意 m×n 矩陣 A 都存在 n×m 矩陣 B 使 ABA = A

利用秩標準形 PAQ = D，其中 D 是帶 r 階單位分塊的矩陣。取 B = QD⁻P，其中 D⁻ 是 n×m 的同型分塊矩陣，對每個 A 都有 ABA = A。

展開 (1 − 2x)(5 − 3x) + (4 − x)² 得 7x² − 21x + 21

答案是 7x² − 21x + 21。乘積用分配律展開，平方用 (a − b)² 公式展開，再把兩個結果逐項相加。

展開 (1 + x + x² + x³)² − x³：用配對計數求出係數

結果是 x⁶ + 2x⁵ + 3x⁴ + 3x³ + 3x² + 2x + 1。平方後係數呈回文 1、2、3、4、3、2、1，減掉 x³ 讓中間的 4 降成 3。

(10x³+3x+8)(4x³−8x−9) 展開為 40x⁶ − 68x⁴ − 58x³ − 24x² − 91x − 72

乘積是 40x⁶ − 68x⁴ − 58x³ − 24x² − 91x − 72。把左邊三項各自分配到三項式上，再把九個乘積按次數合併。

(2x − √(2x) − 1)(2x + √(2x) − 1) 化簡為 4x² − 6x + 1

乘積化簡成 4x² − 6x + 1。把 (2x − 1) 當成一整塊、√(2x) 當成另一塊，整個乘積就變成 (2x − 1)² − 2x。

用完全平方公式展開 (4x² − 3)² 得 16x⁴ − 24x² + 9

(4x² − 3)² 展開為 16x⁴ − 24x² + 9。套 (a − b)² = a² − 2ab + b² 並取 a = 4x²、b = 3，比逐項相乘快得多。

展開 5(x−3)(x²+4x+1) = 5x³+5x²−55x−15：選項全都不對

展開式是 5x³ + 5x² − 55x − 15。先把兩個括號相乘得 x³ + x² − 11x − 3，再乘上 5 —— 常見的錯誤選項就是漏掉最後這一步。

展開 (515 − 0.27x) × 98² 得 4946060 − 2593.08x

(515 − 0.27x) × 98² = 4946060 − 2593.08x。先把 98 平方得 9604，再分配：515 × 9604 = 4946060，0.27 × 9604 = 2593.08。

展開 (5x² + 6x)(9x² − 8) 得 45x⁴ + 54x³ − 40x² − 48x

乘積是 45x⁴ + 54x³ − 40x² − 48x。左邊兩項各乘右邊兩項，四項的次數全不相同，所以沒有同類項可以合併。

七項多項式乘 5y²：展開後共七項，最高次項是 −25y⁶

展開結果是 5x²y³ − 10xy² − 25y⁶ − 10y⁵ + 25y⁴ + 30y³ − 25y²。不含 x 的項只有 y 的次方改變，每一項都升高兩次。

展開 (7x + 7)(x² + 4x − 7) 得 7x³ + 35x² − 21x − 49

乘積是 7x³ + 35x² − 21x − 49。先把 7x 分配到三項式上，再分配 7，然後合併兩個 x² 項與兩個 x 項。

(7x²+7x−5)(5x²−4x+2) 展開為 35x⁴ + 7x³ − 39x² + 34x − 10

乘積是 35x⁴ + 7x³ − 39x² + 34x − 10。把左邊三項逐一分配到三項式上，再把九個乘積按 x 的次方合併。

展開 (98 − 0.18x) × 270² 得 7144200 − 13122x

(98 − 0.18x) × 270² = 7144200 − 13122x。270 平方得 72900，接著 98 × 72900 = 7144200、0.18 × 72900 = 13122，係數剛好是整數。

七項二元多項式乘 8xy：展開後共七項，首項是 −48x⁴y

展開結果是 −48x⁴y − 8x³y³ − 48x²y² + 32x²y − 40xy⁴ − 56xy² + 64xy。把 8xy 乘進七項裡，x 與 y 的指數各自相加。

巢狀 Horner 式展開：分子含 a₁x²、−2a₁xy 與 (a₁+a₂)y²

分子展開為 a₁x² − 2a₁xy + (a₁+a₂)y² + b₁x + (b₂−b₁)y。原式寫成 Horner 巢狀形式，一層一層拆開最安全。

展開 (515−0.27x)(368−0.27x)(98−0.18x)：三次式係數逐一算出

三次式是 −0.013122x³ + 50.058x² − 57477.78x + 18572960。先乘開兩個括號，再把第三個分配進去，逐一追蹤小數係數。

展開化簡 (1 + √2)(√2 − 4) 得 −2 − 3√2

結果是 −2 − 3√2。√2 乘 √2 收成 2，剩下的兩個根號項合併成單一個 −3√2。

展開化簡 √6 乘 (2 − √7) 得 2√6 − √42

結果是 2√6 − √42。把根號分配進括號，再把兩個根號併成一個：√6 乘 √7 等於 √42，而 42 沒有平方因數。

用差的平方公式展開 (m − 2)² 得 m² − 4m + 4

答案是 m² − 4m + 4。中間項是 m 與 2 乘積的兩倍且帶負號；最後一項為正，因為平方永遠不是負數。

展開 −6(7 − 3x³) + 2x(x² − 3) 得標準式 20x³ − 6x − 42

標準式是 20x³ − 6x − 42。逐一分配，注意 −6 乘 −3x³ 的負負得正，再把兩個三次項合併起來。

展開 (1/3)(x − 2)² − 3 得標準式 x²/3 − 4x/3 − 5/3

標準式是 x²/3 − 4x/3 − 5/3。先把括號平方，再分配 1/3，最後把 4/3 與 −3 通分成 −5/3。

展開 (1/3)(x − 5)(x + 1) 得標準式 x²/3 − 4x/3 − 5/3

答案是 x²/3 − 4x/3 − 5/3。先把兩個括號相乘得 x² − 4x − 5，再把 1/3 分配到三項上，而不是只乘首項。

展開 (p − 1)(q − 1) + 1 得 pq − p − q + 2

答案是 pq − p − q + 2。乘開得 pq − p − q + 1，括號外多出來的 1 讓常數項變成 2，而不是被抵消掉。

(√2 + √3 + √5)² = 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15

套 (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)：三個平方項給出 2+3+5 = 10，三個交叉項給出 2√6 + 2√10 + 2√15。

用二項式定理展開 (x − 2/√x)⁴：五項且指數每次降 3/2

答案是 x⁴ − 8x^(5/2) + 24x − 32/√x + 16/x²。因為指數是分數，每一項降的是 3/2 而不是 1，這正是最容易出錯的地方。

化簡 (x + 1)⁴ − (x + 3)⁴ − 272 得 −8x³ − 48x² − 104x − 352

結果是 −8x³ − 48x² − 104x − 352，也就是 −8(x³ + 6x² + 13x + 44)。兩個二項式的偶次方相同，所以四次項互相抵消。

用分配律展開 (x + 2)(x − 3) 得 x² − x − 6

乘積是 x² − x − 6。外項 −3x 與內項 +2x 合併成 −x，兩個常數因為異號相乘得到 −6。

用 FOIL 展開 (x + 2)(x + 5) 得 x² + 7x + 10

乘積是 x² + 7x + 10。FOIL 給出 x²、5x、2x 與 10，兩個中間項合成 7x，因為 2 與 5 的和是 7、積是 10。

(x²+8x+16)(x²−4x+4) 展開為 x⁴ + 4x³ − 12x² − 32x + 64

乘積是 x⁴ + 4x³ − 12x² − 32x + 64。兩個因式都是完全平方，所以乘積可以收成 (x² + 2x − 8)²，只需平方一次。

解 9^(x−1/2) − 4/3^(1−x) = −1：兩根為 x = 0 與 x = 1

答案是 x = 0 與 x = 1。把 9 寫成 3 的平方、把分數移到分子上，再令 t = 3^(x−1)，方程式就變成二次式 3t² − 4t + 1 = 0。

解 1/(2^x+21) ≤ 3/(2^(x+2)−1)：解集為 −2 < x ≤ 6

解是 −2 < x ≤ 6。令 t = 2^x，把兩邊通分成一個分式，讀出正負號表，再把 t 的界線換回 x。

解指數不等式 (2/5)^x < √((4/25)^((3x+2)/x))

解是 ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, ∞)。先化成同底，因為底數 2/5 小於 1 所以不等號要反轉，最後用符號表判斷 (x²−3x−2)/x 的正負。

解 (10^x − 25·2^x − 2·5^x + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0：解為 2 ≤ x < 4

解是 2 ≤ x < 4。分子用分組分解成 (2^x − 2)(5^x − 25)，分母因式分解之後畫出四個區間的正負號表。

解 14^x 型分式不等式：0 < x ≤ log₇2 或 log₂7 ≤ x < 4

解是 0 < x ≤ log₇2 或 log₂7 ≤ x < 4。把 14^x 寫成 2^x·7^x 後分組成 (7^x − 2)(2^x − 7)，分母 −x² + 4x 分解後看正負號表。

解三個分式的指數不等式：x = 0 或 1 < x < log₂3

解是 x = 0 或 1 < x < log₂3。令 t = 2^x，三個分式合併成 2(t−1)²/((t−2)(t−3))，分子是完全平方，一眼就決定了整題。

由 12(x + 1) = 7(y − 1) 得 x = (7y − 19)/12，x = 2 時 y = 43/7

展開後得 12x + 12 = 7y − 7，所以 x = (7y − 19)/12。把 x = 2 代回原式得 36 = 7y − 7，於是 y = 43/7。

把 (1/16)x⁶ + x³ + 4 分解成 (1/16)(x³ + 8)² 的完全平方

答案是 (1/16)(x³ + 8)²。令 u = x³ 之後變成完全平方的二次式，而 x³ + 8 還能再分解成 (x + 2)(x² − 2x + 4)。

拆中項把 10x² − 3x − 4 分解成 (2x + 1)(5x − 4)

因式分解是 (2x + 1)(5x − 4)。因為 10 乘 (−4) 等於 −40 且 5 + (−8) = −3，把 −3x 拆成 5x − 8x 再分組，就能提出共同的 2x + 1。

用立方差公式把 125x³ − 64 分解成 (5x − 4)(25x² + 20x + 16)

因式分解是 (5x − 4)(25x² + 20x + 16)。先把兩項寫成 (5x)³ 與 4³，再套 a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。

分解 12x + 18：先提最大公因數 6，得 6(2x + 3)

答案是 6(2x + 3)。12 與 18 的最大公因數是 6，不是 2 也不是 3；兩項同除以 6 之後，括號裡的 2x + 3 已經沒有公因數，因式分解才算做完。

12x² − 176x + 480 在整數上分不開：判別式 496 不是完全平方

提出最大公因數 4 之後剩 3x² − 44x + 120，判別式 496 不是完全平方數，所以整數範圍到此為止；真正的根是 (22 ± 2√31)/3，而不是常被抄錯的 6 與 20/3。

分解 18abc² − 12a²b²c：提出 6abc 得 6abc(3c − 2ab)

18abc² − 12a²b²c = 6abc(3c − 2ab)。最大公因式是 18 與 12 的最大公因數 6，再配上每個共同變數的最低次方，也就是 a、b、c 各一次。

21x³−49x²−18x+42 用分組分解得 (3x−7)(7x²−6)

答案是 (3x − 7)(7x² − 6)。用有理根定理硬找會卡住，因為唯一的有理根是分數 7/3；把四項兩兩分組，一下子就把因式湊出來了。

分解 2x³ − x² − 5x − 2 為三個一次因式的乘積

答案是 (x − 2)(2x + 1)(x + 1)。這題分組會失敗，改用有理根定理找到 x = 2，再用綜合除法除掉，剩下 2x² + 3x + 1 就好分了。

分解 2x − 9xy：只有 x 是公因式，答案 x(2 − 9y)

答案是 x(2 − 9y)。兩項唯一共有的是 x，因為 2 和 9 沒有公因數，而變數 y 只出現在第二項裡，所以提不出來。

分解 2x² − 10x − 12：先提 2，得 2(x − 6)(x + 1)

分解結果是 2(x − 6)(x + 1)。三個係數都是偶數，先提出 2 之後剩下首項係數為 1 的 x² − 5x − 6，用 −6 與 1 這組數就分好了。

用 AC 法分解 2x² − 3x − 2，答案 (x − 2)(2x + 1)

分解結果是 (x − 2)(2x + 1)。2 乘 −2 得 −4，把 −3x 拆成 −4x + x，四項兩兩分組後再提出共同的二項式就完成了。

分解 2x² − 3x − 20：AC 乘積 −40，答案 (2x + 5)(x − 4)

分解結果是 (2x + 5)(x − 4)。AC 乘積是 −40，而 5 與 −8 的和剛好是 −3，用它把中間項拆開後就能直接分組。

2x² − 4x + 1 能分解嗎？整數上不行，實數上可以

答案：整數上分不開，實數上可以，2x² − 4x + 1 = (√2(x − 1) − 1)(√2(x − 1) + 1)。判別式 8 大於零但不是完全平方數，這就是分水嶺。

分解 2x² − x − 6xy + 3y：兩兩分組得 (2x − 1)(x − 3y)

分解結果是 (2x − 1)(x − 3y)。前兩項提成 x(2x − 1)、後兩項提成 −3y(2x − 1)，兩組跑出同一個括號，接著整個提出來就好。

分解 2x² + 4x：公因式是 2x，答案 2x(x + 2)

答案是 2x(x + 2)。最大公因式要把數字部分 2 和變數部分 x 一起帶走，所以留在括號裡的是 x + 2，對應的根是 0 與 −2。

分解 32x²y² − 24x：提出 8x，得 8x(4xy² − 3)

分解結果是 8x(4xy² − 3)。32 與 24 的最大公因數是 8，而 x 只共有一次方；第二項完全沒有 y，所以 y 一個也提不出來。

分解 3x³ + 7x² − 4 成三個一次因式

分解結果是 (x + 1)(x + 2)(3x − 2)。代入 x = −1 得零，除掉之後剩下的二次式 3x² + 4x − 4 再用 AC 法配 6 與 −2 拆開即可。

分解 3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4：按 x 整理成兩個一次式

分解結果是 (3x − 5y + 1)(x − 3y + 4)。先把二次部分拆成 (3x − 5y)(x − 3y)，再湊出兩個常數，讓 x 與 y 的係數剛好是 13 與 −23。

解 3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0：拆成兩個二次式

它分解成 (3x² + 12x + 7)(x² + 4x + 9)，實根是 (−6 ± √15)/3，另兩個是共軛複根 −2 ± i√5。猜出來的分解一定要展開回去核對。

分解 4AB² − 4A²B − B³ 得 −B(2A − B)²

答案是 −B(2A − B)²。提出 B 之後，括號裡是一個完全平方式的相反數，所以負號必須跟著一起提到外面來。

分解 4m² − 4m − 5：整數上分不開，改用公式解

分解結果是 4(m − (1 + √6)/2)(m − (1 − √6)/2)。AC 乘積 −20 找不到和為 −4 的整數對，所以只能靠一元二次方程式的公式解求根。

分解 4m²n − 8mn² − 2mn：提出 2mn 得 2mn(2m − 4n − 1)

答案是 2mn(2m − 4n − 1)。最後一項本身就等於公因式，所以它不會消失，而是在括號裡留下一個 −1，這正是最常出錯的地方。

用平方差分解 4x² − 9 得 (2x − 3)(2x + 3)，根為 ±3/2

答案是 (2x − 3)(2x + 3)。兩項都是完全平方，4x² 是 (2x)²、9 是 3²，所以 4x² − 9 = 0 的根是 x = 3/2 與 −3/2。

令 u = 2x + y 分解 4x²+4xy+y²−4x−2y−3

分解結果是 (2x + y − 3)(2x + y + 1)。前三項湊成 (2x + y)²，接著兩項是 −2(2x + y)，所以整個式子其實是 u = 2x + y 的二次式。

分解 4x²y + 12xy + 9y 得 y(2x + 3)²

答案是 y(2x + 3)²。先把共同的 y 提出來，剩下的正好是完全平方式，因為 12x 恰好等於 2 乘 2x 乘 3。

在實數上完全分解 5x⁴ − 80 得 5(x − 2)(x + 2)(x² + 4)

5x⁴ − 80 分解成 5(x − 2)(x + 2)(x² + 4)。先提出 5，再用兩次平方差公式，最後停在無法再分的平方和 x² + 4。

把 a 當第二個變數，分解 6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12

分解結果是 (3x − 2a + 3)(2x − a − 4)。先把 6x² − 7ax + 2a² 拆成 (3x − 2a)(2x − a)，再挑出 pq = −12 且能湊出 −6x 與 +5a 的兩個常數。

分解 6x(x − y)² + 3(y − x)(y − x)² 得 3(x − y)²(x + y)

分解結果是 3(x − y)²(x + y)。先把第二項合併成 3(y − x)³，再用 (y − x)³ = −(x − y)³ 把兩項的底統一，最後提出 3(x − y)²。

分解 75a⁶ − 147b¹⁶：先提 3 再用平方差

分解結果是 3(5a³ − 7b⁸)(5a³ + 7b⁸)。先提出最大公因數 3，之後 25a⁶ 與 49b¹⁶ 才是完全平方 (5a³)² 與 (7b⁸)²，平方差公式才用得上。

分解 7x² − 7x − 140：先提 7，答案 7(x − 5)(x + 4)

7x² − 7x − 140 分解成 7(x − 5)(x + 4)。先把公因數 7 提出來，剩下的三項式 x² − x − 20 再拆成兩個一次因式即可。

用平方差分解 81x² − 121y² 得 (9x − 11y)(9x + 11y)

81x² − 121y² 分解成 (9x − 11y)(9x + 11y)。先把兩項改寫成 (9x)² 與 (11y)²，再直接套用 a² − b² = (a − b)(a + b)。

完全分解 9x³ − 9x：提 9x 再用平方差得 9x(x − 1)(x + 1)

完整的分解是 9x(x − 1)(x + 1)。最大公因式是 9x 而不是只有 9，提完之後剩下的 x² − 1 還是平方差，必須再分一次。

分解 9x² + 6x + 1：它是 3x + 1 的平方

分解結果是 (3x + 1)²。頭尾兩項都是平方，而中間項 6x 恰好是 3x 與 1 乘積的兩倍，這一項才是判定完全平方式的關鍵。

把 A² + AB + B² 展開整理成 (a²+ab+b²)(x²+xy+y²)

整個式子收斂成 (a² + ab + b²)(x² + xy + y²)。把 A²、AB、B² 展開後，依 x²、xy、y² 分組，三組的係數都是同一個 a² + ab + b²。

分解輪換和 (b − c)(b + c)⁴ + (c − a)(c + a)⁴ + (a − b)(a + b)⁴

這個輪換和分解成 −(a − b)(b − c)(c − a)[3(a² + b² + c²) + 5(ab + bc + ca)]，比整個展開成五次式漂亮得多。

分解 (a+x)^(m+1)(b+x)^(n−1) − (a+x)^m(b+x)^n 得 (a−b)(a+x)^m(b+x)^(n−1)

答案是 (a − b)(a + x)^m (b + x)^(n − 1)。每個底數取較低的次方提出來，括號裡相減後 x 剛好抵消，只剩下常數差 a − b。

用索菲熱爾曼恆等式分解 a⁴ + 4b⁴

答案是 (a² − 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²)。加上再減掉 4a²b² 可以湊出一個完全平方，把原本的「和」變成平方差。

分解 a⁴ + a³ + a² + a + 1：有理數上不可分，實數上可分

它等於 (a⁵ − 1)/(a − 1)，在有理數上不可分解；但在實數上分得開，會拆成兩個係數含黃金比例的二次式。

分解 (1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴：提出 1/12 x²y²

分解結果是 (1/12)x²y²(6x² + 4xy + 3y²)。分數形式的公因式是 1 除以 2、3、4 的最小公倍數，一次把三個分母都清乾淨。

分解 (a+b)²(ab−1)+1 得兩個對稱的二次式

答案是 (a² + ab − 1)(ab + b² − 1)。先展開，再看出 ab + b² − 1 是它的因式，就得到對稱的一對 (a(a+b) − 1)(b(a+b) − 1)。

分解 (x−1)(x−2)(x+3)(x+6) − 5x²：配對括號得 (x²+6x−6)(x²−6)

答案是 (x² + 6x − 6)(x² − 6)。把四個括號配成常數項都是 −6 的兩對，再令 y = x² + x − 6，就變成一個簡單的二次式。

分解 (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x²：先湊平方再用平方差

分解結果是 (y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x)。把前三項湊成 (y′ − 2x²)²，整個式子就變成兩個平方的差。

解 8x⁴ − 6x³ + 30x² − 18x + 18 = 0：四個根全是虛根

它分解成 2(4x² − 3x + 3)(x² + 3)，所以根是 (3 ± i√39)/8 與 ±i√3。兩個二次式的判別式都是負的，因此沒有實數解。

完全分解 3x⁵+9x⁴+4x³−9x²−15x−10，一步一步來

答案是 (x + 2)(3x² − 5)(x² + x + 1)。先找到根 x = −2 並用綜合除法除掉，再把剩下的四次式 3x⁴ + 3x³ − 2x² − 5x − 5 拆成兩個二次式。

把 a⁶ + b⁶ 看成立方和來分解

答案是 (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)。把 a⁶ 改寫成 (a²)³，立方和公式就用得上了，即使指數 6 是偶數也一樣。

分解 a² − 4x² + 12x − 9：分組湊平方後用平方差

分解結果是 (a − 2x + 3)(a + 2x − 3)。把三個含 x 的項分成一組，會露出一個完全平方，整個式子就成了平方差。

分解 a² + 4a + 4：它是 a + 2 的平方

分解結果是 (a + 2)²。常數 4 是 2 的平方，而中間項 4a 等於 2 乘 a 乘 2，完全符合和的平方公式。

在複數範圍分解 a² + b² 得 (a + bi)(a − bi)

平方和在實數上分不開，但在複數上它變成 (a + bi)(a − bi)，因為交叉項互相抵消，而 i 的平方等於 −1。

利用對稱性分解 (x²−6x+1)(x²+x+1) + 12x² 得 (x−1)²(x²−3x+1)

答案是 (x − 1)²(x² − 3x + 1)。展開後是倒序四次式 x⁴ − 5x³ + 8x² − 5x + 1，可以拆成 (x² + ax + 1)(x² + bx + 1)，其中 a = −2、b = −3。

分解 x² − 3x + 2 並解方程式：兩根為 1 與 2

分解結果是 (x − 1)(x − 2)，根是 x = 1 與 x = 2。常數項為正而一次項為負，逼得兩個數必須同時是負的。

用和與積分解 x² − 4x + 3 並解方程式：根為 1 與 3

兩根是 x = 1 與 x = 3。找兩個數相乘為 +3、相加為 −4，得到 (x − 1)(x − 3)，再對每個因式套用乘積為零的性質即可。

分組分解 4x²y³+4x³y²+a²x+a²y+12x+12y 得 (x+y)(4x²y²+a²+12)

分解結果是 (x + y)(4x²y² + a² + 12)。把六項配成三組，每一組裡都藏著同一個二項式 x + y，最後把它整個提到前面。

重新分組分解 f² − 16g² + 24gh − 9h² 得 (f−4g+3h)(f+4g−3h)

分解結果是 (f − 4g + 3h)(f + 4g − 3h)。後三項恰好是 −(4g − 3h)²，所以整個式子就是平方差 f² − (4g − 3h)²。

分解 −x⁴y + 6x³y − 5x²y 得 −x²y(x−1)(x−5)

完整的分解是 −x²y(x − 1)(x − 5)。先提出公因式 x²y，再把 −x² + 6x − 5 的負號提出來，最後才分解剩下的三項式。

完全分解 −3x⁶ + 12x¹²，不要只做一半

完整的分解是 3x⁶(2x³ − 1)(2x³ + 1)。提出 3x⁶ 之後剩下 4x⁶ − 1，它仍然是平方差，必須再拆一次才算做完。

用平方差分解 (9/16)c² − 1 得 (3c/4 − 1)(3c/4 + 1)

答案是 (3c/4 − 1)(3c/4 + 1)。分數 9/16 是完全平方，因為 9 和 16 都是平方數，所以它的平方根是分數 3/4。

用平方差分解 1/49 − c¹⁰n⁶ 得 (1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³)

分解結果是 (1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³)。兩項都是完全平方：1/49 是 (1/7)²，而 c¹⁰n⁶ 把指數折半就是 (c⁵n³)²。

立方和與立方差因式分解：27x³+y³、x³+512

27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²)、x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²)、x³+512=(x+8)(x²−8x+64)。學會看出兩個完全立方項並直接寫出因式。

用有理根定理分解 x³ − 7x + 6 得 (x−1)(x−2)(x+3)

答案是 (x − 1)(x − 2)(x + 3)。代入 6 的因數找到根 x = 1，除掉 x − 1 之後，再分解剩下的二次式 x² + x − 6 就完成了。

因式分解 x³ + 3x² − 4：答案是 (x − 1)(x + 2)²

答案為 (x − 1)(x + 2)²。代入 x = 1 得 0，可知 x − 1 是因式；綜合除法後商式為 x² + 4x + 4，恰是完全平方 (x + 2)²，所以 −2 是二重根。

因式分解 x³ + 3x² − 4x − 12：得 (x + 3)(x − 2)(x + 2)

答案是 (x + 3)(x − 2)(x + 2)。四項兩兩分組後都留下共同的 x + 3，再把剩下的 x² − 4 當平方差拆成 (x − 2)(x + 2)，三個實根為 −3、2、−2。

因式分解 x³ + 3x² + 7x + 5：得 (x + 1)(x² + 2x + 5)

答案是 (x + 1)(x² + 2x + 5)。有理根候選中只有 x = −1 成立，剩下的二次式判別式為 −16，在實數範圍不能再分解，三根為 −1 與 −1 ± 2i。

因式分解 x³ + 4x² − 5：有理數範圍得 (x − 1)(x² + 5x + 5)

在有理數範圍答案是 (x − 1)(x² + 5x + 5)。二次因式的判別式為 5，是正數卻不是完全平方，所以要到實數範圍才能再用 (−5 ± √5)/2 拆開。

因式分解 x³ + x² − 4x − 4：得 (x + 1)(x − 2)(x + 2)

答案是 (x + 1)(x − 2)(x + 2)。兩兩分組後兩組都留下 x + 1，剩下的 x² − 4 再用平方差拆開，三個根分別是 −1、2 與 −2。

因式分解 x³ + x² − x − 1：得重複因式 (x + 1)²(x − 1)

完整分解是 (x + 1)²(x − 1)。分組先得到 (x + 1)(x² − 1)，第二個括號本身還是平方差，一定要再拆，才會出現 x = −1 這個二重根。

因式分解 x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1：得 (x + 1)(x² + x + 1)(x² − x + 1)

答案是 (x + 1)(x² + x + 1)(x² − x + 1)。這六項是等比級數，總和等於 (x⁶ − 1)/(x − 1)，把 x⁶ − 1 拆兩次再約掉 x − 1 就結束了。

因式分解 x⁵ + y⁵：得 (x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)

答案是 (x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)。次方和只有在指數為奇數時才分得開，長因式的正負號要交錯出現，這樣中間項才會全部相消。

因式分解 x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1：是完全平方 (x² + x + 1)²

這個四次式等於 (x² + x + 1)²。係數 1、2、3、2、1 左右對稱，正是 1、1、1 平方後的結果；因為 x² + x + 1 恆正，所以它完全沒有實根。

因式分解 x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴：等於 (x² + xy + y²)²

分解結果是 (x² + xy + y²)²。係數 1、2、3、2、1 左右對稱，正是「三項式平方」而非「二項式平方」的招牌特徵，內層因式在實數範圍不可再分。

因式分解 x⁴ + x³ + 2x² − x + 3：拆成 (x² + 2x + 3)(x² − x + 1)

答案是 (x² + 2x + 3)(x² − x + 1)。這個四次式沒有有理根，所以改用待定係數法，設成兩個首一二次式相乘，再由常數項 bd = 3 收斂搜尋範圍。

因式分解 x⁴ + x² − 2ax + 1 − a²：得 (x² − x + 1 − a)(x² + x + 1 + a)

答案是 (x² − x + 1 − a)(x² + x + 1 + a)。先湊出 (x² + 1)²，整個式子就變成 (x² + 1)² − (x + a)²，是最單純的平方差，再拆開即可。

因式分解 (x + 1)⁴ + (x − 1)⁴ − 82：得 2(x − 2)(x + 2)(x² + 10)

答案是 2(x − 2)(x + 2)(x² + 10)。兩個四次方相加後奇次項全部相消，只剩 2x⁴ + 12x² − 80，它是以 x² 為變數的二次式，代換後就好分解。

因式分解 (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ − 82：令 y = x + 2 得 2x(x + 4)(x² + 4x + 14)

答案是 2x(x + 4)(x² + 4x + 14)。兩個底數的中點是 x + 2，令 y = x + 2 後奇次項全消，剩下的雙二次式再用 y² 代換就能拆開。

因式分解 (x + 6) 的 −1/5 次方減 −6/5 次方：化簡為 (x + 5)/(x + 6)^(6/5)

化簡後是 (x + 5)/(x + 6) 的 6/5 次方。指數是負數時，比較小的那個是 −6/5，所以要提出來當公因式的就是這個次方。

因式分解 (x + 7)^(1/3) − (x + 7)^(4/3)：化簡為 −(x + 6)(x + 7)^(1/3)

化簡後是 −(x + 6)(x + 7) 的三分之一次方。提出較低的次方 (x + 7)^(1/3)，括號裡剩下 1 − (x + 7)，整理後是 −x − 6。

因式分解 x² − 100x + 48²：先算出 48² 得 (x − 64)(x − 36)

答案是 (x − 64)(x − 36)，不是 (x − 48)²。先把 48² 算成 2304，再找出乘積 2304、和為 −100 的一對負數 −64 與 −36。

因式分解 x² − 2ax + x + a² − a − 2：得 (x − a − 1)(x − a + 2)

答案是 (x − a − 1)(x − a + 2)。代換 u = x − a 之後，整個式子塌縮成 u² + u − 2，馬上就能拆成 (u − 1)(u + 2)，參數也隨之消失。

因式分解 x² − 2xy + y² − 9：兩步得 (x − y − 3)(x − y + 3)

答案是 (x − y − 3)(x − y + 3)。前三項先併成 (x − y)²，剩下的部分就是它與 3² 的平方差，直接套公式即可拆開。

因式分解 x² − 4x：提出公因式得 x(x − 4)

答案是 x(x − 4)。兩項都含有 x，所以最大公因式就是 x；提出來之後剩下 x − 4，兩個根分別是 x = 0 與 x = 4。

因式分解 x² − 4x − y² − 6y − 5：得 (x − y − 5)(x + y + 1)

分解結果是 (x − y − 5)(x + y + 1)。對 x 與 y 分別配方，式子會變成 (x − 2)² − (y + 3)²，再套平方差公式 A² − B² = (A − B)(A + B) 即可。

因式分解 x² − 7x + 12：找兩數得 (x − 3)(x − 4)

答案是 (x − 3)(x − 4)。常數項為正而一次項為負，代表兩個數同為負：−3 與 −4 相乘得 12、相加得 −7，兩根是 3 與 4。

在複數範圍分解 x² − x + 1：判別式 −3，得共軛根 (1 ± i√3)/2

判別式是 −3，所以在實數範圍無法分解。在複數範圍它拆成 (x − (1 + i√3)/2)(x − (1 − i√3)/2)，兩根是一對共軛複數。

x² + 25 是質式嗎？平方和在實數範圍不能分解

x² + 25 在實數範圍是質式。平方和沒有實根，所以不像 x² − 25 那樣可以拆成兩個實係數一次因式的乘積；要分解只能進到複數範圍。

因式分解 x² + (2a + 5)x + a² + 5a − 6：把 a 當常數得 (x + a + 6)(x + a − 1)

分解結果是 (x + a + 6)(x + a − 1)。先把常數項 a² + 5a − 6 拆成 (a + 6)(a − 1)，再發現這兩塊相加恰好等於一次項係數 2a + 5。

因式分解 x² + 2x − 8y − 3xy − 4y²：拆成 (x − 4y)(x + y + 2)

分解結果是 (x − 4y)(x + y + 2)。先把二次的部分拆成 (x − 4y)(x + y)，剩下的 2x − 8y = 2(x − 4y) 正好帶著同一個括號，提出來即可。

因式分解 x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3：得 (x + 2y − 3)(x + 3y + 1)

分解結果是 (x + 2y − 3)(x + 3y + 1)。先把二次部分 x² + 5xy + 6y² 拆成 (x + 2y)(x + 3y)，再找出能還原 −2x 與 −7y 的那兩個常數。

因式分解 x² + x − 12：找兩數得 (x + 4)(x − 3)

答案是 (x + 4)(x − 3)。常數項是負的，代表兩數異號；4 與 −3 是唯一一組相乘得 −12、相加得 +1 的組合，兩根為 −4 與 3。

因式分解 x² + x − 6：找兩數得 (x + 3)(x − 2)

答案是 (x + 3)(x − 2)。常數項為負，兩數必然異號；3 與 −2 是唯一一組相乘得 −6、相加得 +1 的數，兩根是 −3 與 2。

因式分解 x² + x − (a² − a)：得 (x + a)(x − a + 1)

答案是 (x + a)(x − a + 1)。a 與 1 − a 這兩個式子相乘得 a − a²、相加得 1，正好符合首一二次式因式分解所需的和與積。

在複數範圍分解 x² + x + 1：判別式 −3，兩根是三次單位根

判別式是 −3，所以在實數範圍無法分解。在複數範圍它等於 (x + 1/2 − i√3/2)(x + 1/2 + i√3/2)，兩個根正是 1 以外的三次單位根。

因式分解 (x² + xy + y²)² − 4xy(x² + y²)：結果是完全平方 (x² − xy + y²)²

答案是 (x² − xy + y²)²。展開後得到對稱的四次式 x⁴ − 2x³y + 3x²y² − 2xy³ + y⁴，設成 (x² + axy + y²)(x² + bxy + y²) 比對係數，會發現兩個因式相同。

因式分解 x²(x − y) + (y − x)：翻轉第二個括號得 (x − y)(x − 1)(x + 1)

答案是 (x − y)(x − 1)(x + 1)。因為 y − x = −(x − y)，兩個括號就能對上，提出來之後剩下的 x² − 1 再用平方差拆成 (x − 1)(x + 1)。

因式分解 x²y − 4xy + 4y：兩階段做，先提 y 再湊平方得 y(x − 2)²

分解結果是 y(x − 2)²。先提出公因式 y，括號裡剩下 x² − 4x + 4，正好是完全平方，所以這一題必須提公因式與套公式兩步都做完。

因式分解 x¹⁰⁵ − 1：用次方差公式得 (x − 1)(x¹⁰⁴ + x¹⁰³ + … + x + 1)

答案是 (x − 1)(x¹⁰⁴ + x¹⁰³ + … + x + 1)。不管 n 是多少，n 次方差一定含有 x − 1 這個因式，而另一個因式的各項全部都是加號。

因式分解 x¹⁰⁵ + 1：用奇次方和公式得 (x + 1)(x¹⁰⁴ − x¹⁰³ + … − x + 1)

答案是 (x + 1)(x¹⁰⁴ − x¹⁰³ + … − x + 1)。因為 105 是奇數，x = −1 是根，所以 x + 1 整除原式，而另一個因式的符號會正負交錯。

因式分解 x⁴ − x² + 1/4：對 x² 而言是完全平方 (x² − 1/2)²

分解結果是 (x² − 1/2)²。把 x² 當成變數，這個四次式就是完全平方：1/4 是 (1/2)²，而 −2 乘 x² 乘 1/2 恰好等於 −x²。

因式分解 x^n − y^n：任意正整數 n 都得 (x − y) 乘上一個全正號的因式

答案是 (x − y)(x^(n−1) + x^(n−2)y + … + y^(n−1))。另一個因式的符號全部是正號，乘開之後中間各項會像望遠鏡一樣兩兩相消。

在整數範圍完全分解 x¹⁰ − y¹⁰：得四個因式的乘積

答案是 (x − y)(x + y)(x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)。先當平方差拆成 x⁵ − y⁵ 與 x⁵ + y⁵，再套五次方的兩條公式。

因式分解 (xy − 1)² + (x + y − 2)(x + y − 2xy)：結果是 (x − 1)²(y − 1)²

答案是 (x − 1)²(y − 1)²。全部展開會得到九項的式子，它恰好是 xy − x − y + 1 的平方，而這個式子本身又可以分組成 (x − 1)(y − 1)。

ax² + bx + 1 > 0 的解為 −1 < x < 2，求 ab

答案是 ab = −1/4，其中 a = −1/2、b = 1/2。解集合落在兩根之間，代表 a 必須小於 0；而常數項 1 則把倍率固定下來。

求 a、b 使 2x^(2a−b−1) − 3y^(3a+2b−16) = 10 為二元一次方程式：a = 3、b = 4

答案是 a = 3、b = 4。二元一次方程式要求兩個指數都等於 1，於是得到 2a − b = 2 與 3a + 2b = 17，解聯立後方程式變成 2x − 3y = 10。

求 (a, b) 使 x² − 5x + a < 0 與 x² + 3x + b < 0 的交集為 (1, 2)：得 (4, −10)

答案是 (a, b) = (4, −10)。一次項係數把兩組根的和固定成 5 與 −3，所以兩個區間只能是 (1, 4) 與 (−5, 2)，交集恰好是 (1, 2)。

|ax + 5| ≤ b 的解為 −4 ≤ x ≤ 6，求 a − b：答案是 −30

a = −5、b = 25，所以 a − b = −30。區間的中心 1 必須等於 −5/a，半徑 5 必須等於 b 除以 |a|，兩個條件一次把參數定住。

使 3 不在 a(x − 1)/(x − 2) > 2 的解集合中：答案是 a ≤ 1

答案是 a ≤ 1。把 x = 3 代進去得到 2a，而「3 不屬於 A」就是要 2a > 2 不成立，也就是 2a ≤ 2，全程完全不必畫正負號表。

曲線過原點且兩段距離乘積為 1：由此定出 a = −1

答案是 a = −1。把原點代入 √((x − 1)² + y²) 乘 (x − a) = 1，得到 1 乘 (−a) = 1，因此 a = −1，而且符合題目要求的 a < 0。

f(x) = 5x + 2、g(x) = x − 6，求 (f − g)(x)：答案是 4x + 8

(f − g)(x) = 4x + 8。相減的是 g 的整個輸出，所以負號必須作用到 −6 上讓它變成 +6，再把 5x − x 與 2 + 6 分別合併。

由多項式除法的餘式條件求三次函數的 f(2)：答案是 18

f(2) = 18。把條件寫成 (x + 1)f(x) = (x³ + 2)Q(x) + x + 2，由次數可知 Q 是一次式，再用 x = −1 這個根與 f(0) = 4 定出 Q(x) = 2x + 1。

由 a(x − 5)³ + b(x − 5) + 7 的點對稱求 k：答案是 k = 3

k = 3。這個函數對點 (5, 7) 呈點對稱，而上下界 1 與 13 對 7 也是對稱的，所以解區間 k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7 的中點必須落在 x = 5。

a(x − 4)² + b < 10 的解為 k − 8 < x < 2k + 1，求 k：答案是 k = 5

k = 5。這個不等式對 x = 4 對稱，所以區間中點 (k − 8 + 2k + 1)/2 必須等於 4，解得 3k − 7 = 8，解集合是 −3 < x < 11。

求 k 使 −√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3：答案是 k = 5

把每個根式都化成 √3 的倍數，係數依序是 −1、−1/3、+1/3 與 +6。中間兩項恰好互相抵銷，只剩下 5√3，所以 k = 5。

求 λ 使 √(4 − (λ − 2024)²) 為實數：答案是 2022 ≤ λ ≤ 2026

答案是 2022 ≤ λ ≤ 2026。只有根號會限制 λ：被開方數要非負，即 (λ − 2024)² ≤ 4，也就是以 2024 為中心的 |λ − 2024| ≤ 2。

已知 36 + 2mx = 88 且 x = 2，求 m：答案是 m = 13

m = 13。代入 x = 2 讓 2mx 變成 4m，方程式成為 36 + 4m = 88；兩邊減 36 得 4m = 52，再除以 4 就得到 m = 13。

由共軛複數方程式求 z 的絕對值平方

答案是 5/4。先除過去把 z−1 的共軛孤立出來、分母有理化，再對兩邊取共軛還原 z，最後用 |z|² = a² + b² 求值。

由 N − (30u²v − 15uv² + v³) = 12u²v + 2v³ − 10uv² 求 N：得 42u²v − 25uv² + 3v³

N = 42u²v − 25uv² + 3v³。把被減的三項式加回兩邊，再小心合併同類項——uv² 的係數是 −10 與 −15，合起來是 −25。

(18m²n − 2mn² + 15mn) − P 求 P：P = 3mn(4m + n + 9)

P = 12m²n + 3mn² + 27mn。因為 P 是被減去的那一個，所以 P 等於第一個多項式減第二個多項式，第二式裡每個符號都要變號。

由 |Z 的共軛 + 4i/Z| = 2√2 求模長：|Z| = 2

答案：|Z| = 2。把 Z 寫成 r e^(iθ)，共同因式 e^(−iθ) 的模長為 1，只剩 √(r² + 16/r²) = 2√2，化成完全平方 (r² − 4)² = 0。

x² + x − b > 0 的另一個解區間是 (−∞, −3)，且 b = 6

答案：(−∞, −3)，其中 b = 6。既然 (2, +∞) 是解區間，x = 2 就是一根，代入得 b = 6，因式分解成 (x + 3)(x − 2) > 0。

1/(5y²) 的倒數是 5y²：分子分母對調即可（y ≠ 0）

1/(5y²) 的倒數是 5y²，條件是 y ≠ 0。取倒數就是把分子與分母對調；驗算方式是原式乘上倒數應該等於 1。

由三個兩兩和 6.72、9.34、8.56 求 t₁ = 5.59、t₂ = 2.97、t₃ = 3.75 秒

三式相加得 2(t1 + t2 + t3) = 24.62，總和為 12.31 秒。再分別減去各個兩兩和，得 t1 = 5.59、t2 = 2.97、t3 = 3.75 秒。

解 x/y = 0.99 與 x/(y + 23) = 0.98：y = 2254、x = 2231.46

答案：y = 2254、x = 2231.46。兩式各自去分母得 x = 0.99y 與 x = 0.98(y + 23)，兩者相等後只剩下 0.01 這個係數。

不解聯立求 x + y：2x + 3y = 14 與 3x + 2y = 15 給出 x + y = 29/5

兩式直接相加得 5x + 5y = 29，所以一行就得到 x + y = 29/5，完全不必分別求出 x 與 y。

首項 2018、公差 −5 的等差數列從第 405 項開始為負，u405 = −2

解 2018 − 5(n − 1) < 0 得 n > 404.6，所以第一個負項是 u405 = −2。前一項 u404 = 3 仍為正，確認了分界點。

(8x³ − x² + 6x + 7) ÷ (2x − 1) 的第一步：8x³ 除以 2x 得 4x²

答案：用 8x³ 除以 2x，得到 4x²。多項式長除法一律從被除式的首項除以除式的首項開始。

首項 3、公差 7 的等差數列從第 289 項起超過 2018，u289 = 2019

解 3 + 7(n − 1) > 2018 得 n > 288.86，所以 n = 289、u289 = 2019。前一項 u288 = 2012 仍低於 2018，把答案釘死。

五元聯立方程式解得 x = 126/5、y = 18/5、z = −24/5、w = 3/5、m = −41/5

解為 x = 126/5、y = 18/5、z = −24/5、w = 3/5、m = −41/5。用 y = 6w 與 x = 30 + z 把全部化到 z，第二式則釘出 w = 1 + z/12。

含三分之一與二分之一的四元聯立：x = 17、y = 20、z = −13、w = −13/3

解為 x = 17、y = 20、z = −13、w = −13/3。及早去分母，再串起 x = 30 + z 與 w = z/3 兩個代換，全部就化成一個關於 z 的方程式。

四元聯立方程式解得 x = −71、y = 68、z = −101、w = −709/6

解為 x = −71、y = 68、z = −101、w = −709/6。第一式給出 x + y = −3，再用 x = 30 + z 換成 y + z = −33，就只剩一條含 y 與 z 的方程式。

三分之一與六分之五的四元聯立：x = 17、y = 20、z = −13、w = −125/6

答案：x = 17、y = 20、z = −13、w = −125/6。先把第一式去分母得 x − y = −3，再讓第二式與第三式相等，z 的項會整個抵消掉。

2y − 6x = 5 的斜率是 3：改寫成 y = 3x + 5/2 就讀得出來

斜率為 m = 3。兩邊加 6x 得 2y = 6x + 5，每一項再除以 2 得到 y = 3x + 5/2，x 的係數就是斜率。

畫 f(x) = x² + 1：開口向上、頂點 (0, 1)、值域 y ≥ 1

圖形是開口向上的拋物線，頂點 (0, 1)、對稱軸 x = 0，也就是 y = x² 往上平移一單位。值域為 y ≥ 1，所以它不會與 x 軸相交。

畫 f(x) = −|x + 5| − 4：頂點 (−5, −4)、開口向下、值域 y ≤ −4

頂點是 (−5, −4)，V 形開口向下、兩臂斜率 ±1，最大值 −4，y 截距 −9；因為每個函數值都不超過 −4，所以沒有 x 截距。

畫 3|x| + 4|y| ≤ 12：頂點為 (±4, 0) 與 (0, ±3) 的實心菱形

解區域是頂點在 (4,0)、(0,3)、(−4,0)、(0,−3) 的實心菱形。先求截距，再利用對兩軸的對稱性翻轉兩次，很快就能畫出整個區域。

畫 y ≥ 0：邊界是 x 軸且畫實線，塗上方的半平面

解是閉的上半平面。因為 y ≥ 0 裡完全沒有 x，邊界就是 x 軸本身，而塗色範圍涵蓋 x 軸及其上方的所有點。

畫 x + y ≤ 6 與 x ≥ 2 的聯立：頂角在 (2, 4) 的無界楔形區域

解是無界的楔形區域 x ≥ 2、y ≤ 6 − x，頂角在 (2, 4)：位於直線 x = 2 右側，且在 y = 6 − x 之上或下方，兩條邊界都包含在內。

柱體高＝(x³ − 3x² + 5x − 3) ÷ (x² − 2) = x − 3 + (7x − 9)/(x² − 2)

高為 x − 3 + (7x − 9)/(x² − 2)。長除法留下不為零的餘式 7x − 9，所以高不是多項式；代 x = 2 檢驗得 1.5，與直接算出的結果相同。

三個「兩者平均加第三個」讀數求最辣香料：辣度 26.5

最辣的香料辣度是 26.5。每式乘以 2 去掉分母，三式相加得 x + y + z = 43.5，再相減就能一步還原出每個辣度。

含參數 k 的齊次聯立：k ≠ 1 只有零解，k = 1 有一整條解直線 (0, t, t)

答案：k ≠ 1 時只有 (0, 0, 0)；k = 1 時整條直線 (0, t, t) 都是解。用第一式與第三式消去可逼出 x = 0，接著 (k − 1)z = 0 分出兩種情形。

解 x + 2y − 2z = 0、2x − y + z = 0、3x + y − z = 0：解是一整條直線 (0, t, t)

答案：(x, y, z) = (0, t, t)，t 為任意實數。係數行列式為零，所以除了零解之外，這個聯立還有一整條通過原點的解直線。

等差數列應用：全長 150 公尺、首日加末日 10 公尺，共走 30 天

每天爬的距離成等差數列，所以 S = (a1 + an)/2 乘以 n。代入 S = 150 與 a1 + an = 10 得 150 = 5n，故 n = 30 天。

兩個等差數列共有幾個共同項？答案是 142 個

等差數列 2, 5, 8, ... 與 −1, 6, 13, ...（各 1000 項）的共同項滿足 x ≡ 2 (mod 3) 且 x ≡ 6 (mod 7)，即 x ≡ 20 (mod 21) 且不超過 2999，共 142 個。

比較 f(x) = |x| 與 g(x) = |x| − 9 的圖形：整條往下平移 9 單位

g 的圖形就是 f 的圖形整條往下平移 9 單位，頂點由 (0, 0) 移到 (0, −9)。V 形與兩臂的斜率都保持不變。

為何 (x² + y² + z²)² = 8z 定不出單一函數 z = f(x, y)

在原點處 z = 0 與 z = 2 都滿足方程式，所以不存在單值函數 f。該曲面可寫成 x² + y² = √(8z) − z²，其中 0 ≤ z ≤ 2。

解 (h + 0.9)/√(1 + h²) < h：化成四次不等式後得 h > 1.3397214

解為 h > 1.3397214。h ≤ 0 全部不合；h > 0 時原不等式等價於 h⁴ − 1.8h − 0.81 > 0，其唯一正根用牛頓法求出。

解 −(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1)：去分母後得 x ≤ 1

答案是 x ≤ 1。兩邊同乘最小公倍數 6 就去掉了兩個分母，而最後一步除以 −11 正是讓不等號方向反過來的關鍵。

解 x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2)：答案是 x < 2 且 x ≠ −1

解為 x < 2 且 x ≠ −1。因式分解得 (x + 1)²(x² − x + 1)(2 − x) > 0，而平方項與那個二次式都不會是負的，所以只有 2 − x 決定正負。

在 1 與 2018 之間插入 999 個數，第 501 項為 2019/2 = 1009.5

從 1 到 2018 的 1001 項等差數列公差為 2017/1000。第 501 項是 1 + 500d = 1 + 2017/2 = 2019/2 = 1009.5，恰好是 1 與 2018 的中點。

在 2 與 22 之間插入三個等差中項：7、12、17（公差 5）

在 2 與 22 之間放進 3 個數會形成 5 項的等差數列，所以 22 = 2 + 4d、d = 5。插入的三個數是 7、12、17，整串為 2, 7, 12, 17, 22。

(x > 3 或 x < −2) 與 x ≥ −1 取交集，結果是 x > 3

答案是 x > 3。x < −2 那一支被 x ≥ −1 整個消滅，因為兩個條件不可能同時成立，只剩下 x > 3 這一支。

y = −4x + 2.5 與 y = 3.34x/(1 + 2.34x) 的兩個交點座標

答案：(0.4433, 0.7268) 與 (−0.6025, 4.9100)。把兩式劃上等號並去分母，得到二次方程式 9.36x² + 1.49x − 2.5 = 0。

y = −4x + 2.5 與 y = 2.44x/(1 + 1.44x) 的交點：(0.4569, 0.6724) 與 (−0.9500, 6.2998)

答案約為 (0.4569, 0.6724) 與 (−0.9500, 6.2998)。去分母得 288x² + 142x − 125 = 0，解出後再確認兩根都沒有踩到極點。

求 (−∞, −10] ∩ [−10, 8)：交集只有一個點 {−10}

交集是退化區間 {−10}。兩個區間都以閉端點的形式包含 −10，而其他的數都不同時屬於兩者，所以重疊部分只有一個點。

求 t(x) = 3√(x + 6) 的反函數：t⁻¹(x) = x²/9 − 6，x ≥ 0

答案：t 的反函數為 x²/9 − 6，定義域 x ≥ 0。把 x 與 y 對調，平方前先除以 3；而定義域的限制來自原函數的值域非負。

集合建構式裡的逗號是「且」不是「或」，所以 {x | 2 ≤ x ≤ 5, x = 10} 是空集合

不對：集合建構式裡的逗號代表「且」，所以那個集合是空集合。要描述 [2, 5] ∪ {10}，必須寫出「或」，也就是 {x | 2 ≤ x ≤ 5 或 x = 10}。

f(x) = x√(x + 9) 是奇函數還是偶函數？兩者皆非

兩者皆非。f(−x) = −x√(9 − x)，既不等於 f(x) 也不等於 −f(x)；而且定義域 x ≥ −9 本來就不是對稱於零的區間。

解 5y + 2 + 2zx = 0、5x + 5 + 2zy = 0、x² + y² = 1：共四組解

共有四組解，其中包含精確的 (3/5, 4/5, −5) 與 (−1, 0, 1)，另外兩組帶有根號 11。每一組候選解都必須滿足 x² + y² = 1。

三個連續整數和為 72：最大的是 25（23、24、25）

這三個整數是 23、24、25，最大的是 25。設最小的為 x，把總和寫成 3x + 3 = 72，解得 x = 23，再加 2 就是最大的那個。

直線與拋物線恰交於一點，求 x

x = 6。當 y = 2x² − 21x + 64 與 y = 3x + a 恰交於一點時，二次方程式有重根，所以 x = 24/4 = 6、a = −8。附完整判別式解法。

過 (−1, 7) 且斜率 −4 的直線方程式：y = −4x + 3

直線為 y = −4x + 3。用點斜式，注意 x − (−1) 的雙重負號會變成 x + 1，再化成斜截式，最後把該點代回檢驗。

過 (−6, 5) 且斜率 2/3 的直線，斜截式為 y = (2/3)x + 9

方程式是 y = (2/3)x + 9。從點斜式 y − 5 = (2/3)(x + 6) 出發；因為 x 座標 −6 是 3 的倍數，分數會乾淨地消掉。

解 0.0272727x − 3.49091 = 0：精確答案其實是 x = 128

x ≈ 128.0002，而題目原本要的精確答案是 128。兩個小數分別是 3/110 與 384/110 四捨五入後的樣子，兩者相除恰好是 128。

分母都是 3 的一次方程式：合併分子後化簡得 x = −3

解是 x = −3。每一項的分母本來就是 3，所以左右兩邊各自併成單一分數，方程式就簡化成 x − 1 = 2x + 2。

電影票銷售列式 50x + 20y = 2000，一組整數解是 (20, 50)

方程式是 50x + 20y = 2000，兩邊同除以 10 後為 5x + 2y = 200。一組合用的整數解是 x = 20 位大人、y = 50 位小孩，因為 1000 + 1000 = 2000。

解 2(5 − 4x) − 7 = −3(2x + 1) + 2(3 − x)：所有實數都是解

答案：全體實數。兩邊展開後都是 3 − 8x，方程式化為 3 − 8x = 3 − 8x，是恆等式而不是能釘住 x 的條件。

解 u + 4520 ÷ 1200 = 0.01：精確答案 u = −1127/300 ≈ −3.7567

解為 u = −1127/300 ≈ −3.7567。先把 4520/1200 約成 113/30，再把 0.01 寫成 1/100，然後在公分母 300 之下相減。

解 (2/5)x + 1014 + 4/5 = (5/9)x + 1019 + 4/9：x = −209/7 ≈ −29.857

答案：x = −209/7，約 −29.857。先把每一邊併成帶分數，相減後孤立出係數 7/45，公分母 45 就整個約掉了。

解 3[x − 6 − (2 − x)] + 1 = −[−(−2 + 6x)]：此方程式無解

這個方程式無解。把巢狀括號拆開後得 6x − 23 = 6x − 2；x 的項互相抵消，只剩下 −23 = −2 這個假敘述。

解 x − (0.8x − 5000)×0.03 = 7226：x = 7250，除得剛剛好

解恰好是 x = 7250。先把 0.03 乘進括號得 0.024x − 150，再把整個括號前的負號分配出去，整理成 0.976x + 150 = 7226，最後相除即可。

解 x − (0.8x − 5000)×0.03 = 7232：精確解 x = 442625/61 ≈ 7256.15

解為 x = 442625/61 ≈ 7256.15。展開方式相同，得到 0.976x + 150 = 7232，但 7082/0.976 除不盡，所以精確答案是一個分數。

解 x − 2400000x/8844796 = 1200000：提出 x 後得 x ≈ 1646872.17

答案：x ≈ 1646872.17，精確值為 2653438800000/1611199。先把左式的 x 提出來，把括號併成單一分數，再乘以它的倒數即可。

解 x + 0.0005 × 52x = 175800：x = 29300000/171 ≈ 171345.03

答案是 x = 29300000/171 ≈ 171345.03。先把 0.0005 × 52 算成 0.026，再把看不見的係數 1 一起合併成 1.026x，兩邊同除；化成分數就看得出它不是有限小數。

解 1.3x − 5 > x + 3：答案是 x > 80/3 ≈ 26.67

答案是 x > 80/3，約 26.67。兩邊同減 x 得 0.3x − 5 > 3，再加 5，最後除以正的 0.3；係數是 1.3 不是 3，看錯就會算成 x > 4。

解 25 − 2(n − 2) ≥ −8n + 6：答案 n ≥ −23/6

答案是 n ≥ −23/6 ≈ −3.83。先把 −2 分配進括號（−2 乘 −2 要變成 +4），常數合併成 29，再兩邊同加 8n，最後除以正的 6，不等號方向不變。

解 25 − 3(n − 2) ≥ −8n + 6：答案 n ≥ −5，是整數邊界

答案是 n ≥ −5。把 −3 分配進括號後左邊是 31 − 3n，兩邊同加 8n 得 5n ≥ −25；因為 −25 被 5 整除，邊界剛好落在整數上，不像 −2 版本會出現分數。

解 3x + 1 − 300 < 4.2x − 1.8 + 4x − 80：x > −543/13

答案是 x > −543/13，約 −41.77。先把兩邊各自化簡成 3x − 299 和 8.2x − 81.8，再把 x 的項移到係數為正的那一邊，最後除以正的 5.2，不等號方向不變。

解 (x+2)/4 − x/5 > 1：兩邊同乘 20 後得 x > 10

答案是 x > 10，區間為 (10, ∞)。兩邊同乘最小公分母 20 得 5(x+2) − 4x > 20，展開成 x + 10 > 20；x 的項幾乎抵消，只剩一次減法。

解 x/3 > 4 − (x−2)/2：負號要分配到底，答案 x > 6

答案是 x > 6，區間為 (6, ∞)。陷阱在 4 − (x−2)/2 等於 5 − x/2，不是 3 − x/2；把 x 的項通分成 5x/6 後一步就除完。

解 (2x−1)/3 > (3x−5)/4：去分母後得 x < 11

答案是 x < 11，區間為 (−∞, 11)。兩邊同乘正的最小公分母 12，展開得 8x − 4 > 9x − 15，再孤立 x；全程不需要反轉不等號。

為什麼 x − 1/3 > x + 4 完全無解：解集合是空集合

答案是空集合。兩邊同減 x 之後變數整個消失，只剩下 −1/3 > 4 這個假命題，所以沒有任何 x 能滿足；兩條直線斜率相同、永不相交。

解 x − (1−x)/6 ≤ (2x+1)/2 − 3/4：答案 x ≤ −1/2

答案是 x ≤ −1/2。先把兩邊各自通分成 (7x−1)/6 與 (4x−1)/4，再同乘最小公分母 12 得 14x − 2 ≤ 12x − 3，最後孤立 x。

解 (x−1)/2 < (7x+2)/5：同乘 10 不變號，答案 x > −1

答案是 x > −1，區間為 (−1, ∞)。兩邊同乘正的最小公分母 10 得 5(x−1) < 2(7x+2)，展開成 5x−5 < 14x+4，再把 x 的項移到係數為正的一邊。

把 y = a x^b 化成直線：log y = b log x + log a

取對數後得 log y = b log x + log a。未知數 b 在指數上，所以兩軸都要取對數；在雙對數圖上，斜率就是 b，截距就是 log a。

把 y = p√x + q/√x 化成直線：兩邊同乘 √x 得 y√x = px + q

兩邊同乘 √x 得 y√x = px + q，所以把 Y = y√x 對 X = x 作圖就是一條直線，斜率為 p、截距為 q。關鍵在於等式裡有 √x 與 x^(−1/2) 兩種次方，必須先整理。

把 y·p^x = q 取對數化成直線：log y = −(log p)x + log q

取對數後得 log y = −(log p)x + log q。要把 log y 對 x 作圖（不是對 log x），得到的直線斜率為 −log p、截距為 log q。

把 y(b − x) = ax 化成直線：畫 1/y 對 1/x

化成 1/y = (b/a)(1/x) − 1/a。這裡不需要取對數：兩個變數是被乘在一起的，所以要用倒數而不是對數把圖拉直。

不用計算機求 log₃18 ÷ (2 + log₃2)：答案恰好是 1

值恰好是 1。因為 18 = 3² × 2，由對數乘法律得 log₃18 = 2 + log₃2，分子和分母根本是同一個數，直接約掉。

分母含對數的方程式怎麼解

方程式只有一個根 x = −3，因此根之和為 −3。用換底公式把兩個對數的商化成一個以 x + 5 為底的對數，再解二次方程式並檢查定義域。

以 5 為底的對數不等式：解得 x > 16，最小正整數是 17

解是 x > 16，所以最小正整數解為 17。把右邊的係數 2 收進對數裡，因為底 5 > 1 所以可直接比較真數，展開後 x 項互相抵消，只剩根號 x 的一次不等式。

解不等式 x·log₁/₃(1/2 − x) ≥ |x| 詳細步驟

解是 x ≤ −5/2、x = 0，或 1/6 ≤ x < 1/2。依 x 的正負分情況討論，除以 x 時 x < 0 要反轉不等號，並利用以 1/3 為底的對數是遞減函數。

用長除法算 (3x² − 4x − 1) ÷ (x − 2)：商 3x + 2、餘式 3

商是 3x + 2，餘式是 3，所以結果為 3x + 2 + 3/(x − 2)。餘式不為零，代表 x − 2 不是因式；由餘式定理，餘式恰好等於 f(2) = 3。

(6x² − 8x − 6) ÷ (3x + 2)：除式首項不是 1，商 2x − 4 餘 2

商是 2x − 4，餘式是 2，也就是 2x − 4 + 2/(3x + 2)。除式的首項是 3x 而不是 x，所以每一項商都要除以 3，綜合除法不能直接用。

(8x³ − 6x² − 5x + 3) ÷ (2x − 5)：商 4x² + 7x + 15、餘式 78

商是 4x² + 7x + 15，餘式是 78，也就是 4x² + 7x + 15 + 78/(2x − 5)。除式首項是 2x，所以每一項商都要除以 2x；餘式不為零代表 2x − 5 不是因式。

(x³ + 7x² + 7x − 15) ÷ (x + 3)：整除，商 x² + 4x − 5

商是 x² + 4x − 5，餘式為 0，所以 x + 3 是因式，三次式可完全分解為 (x + 3)(x + 5)(x − 1)，三根為 −3、−5、1。

把 h/(4p) = p − 5k 中的 h 表示出來：h = 4p² − 20pk

答案是 h = 4p² − 20pk。兩邊同乘 4p 就把 h 解放出來，接著 4p 要分配到 p − 5k 的兩項上，所以答案有兩項而不是一項。

與所有矩陣可交換的矩陣必為單位矩陣的倍數

證明：若一個方陣與所有同階矩陣都可交換，則它必等於 λI。利用矩陣單位 E_ij 逼使每個非對角元素為零，再逼使對角元素全部相等。

3×3 乘 3×2 求 AB，並說明為何 AᵀBᵀ 沒有定義

AB 是 3×2 矩陣，三個列依序為 (11,11)、(4,4)、(20,20)。AᵀBᵀ 無法相乘，因為 3×3 不能乘 2×3；正確的轉置公式是 (AB)ᵀ = BᵀAᵀ，順序要顛倒。

由 6/a = a/x 且 a = (−1 + √71)/2 解出 x = (36 − √71)/12

答案是 x = (36 − √71)/12。交叉相乘得 6x = a²，把根式平方後出現 72 − 2√71，再除以 4、除以 6 即得；答案要保留根式，不可化成小數。

2a + b = 1 時 a/(2−2a) + b/(2−b) 的最小值為 (4√2 − 3)/6

最小值是 (4√2 − 3)/6 ≈ 0.4428，發生在 a = (5 − 3√2)/2、b = 3√2 − 4。代入 b = 1 − 2a 化成單變數後令導數為零，得到 (1 + 2a)² = 8(1 − a)²。

正實數的輪換和 (a/(a+b))⁴ 之最小值為 3/16

最小值是 3/16，在 a = b = c 時取到。先用冪平均不等式把四次方降到平方和，再用一個兩項引理把平方和壓在 3/4 以上，恰好足夠。

求 a 使 |x−2|+|x+3|+|x−1|+|x+1| ≥ a 恆成立：a ≤ 7

答案是 a ≤ 7。四個絕對值之和的最小值是 7，且整段中間區間 [−1, 1] 上都取到，不是在 [−3, 1] 上；區間外的兩段都往中間下降。

|x + 1| + |x − 2| 的最小值是 3：用距離來看

把式子讀成 x 到 −1 與到 2 的距離總和。當 x 落在兩點之間時總和最小，等於兩點的間距 2 − (−1) = 3，整段 [−1, 2] 上都取到。

混合問題：用 20% 與 50% 酒精配出 20 公升 35%

取 10 公升的 20% 溶液與 10 公升的 50% 溶液混合，可得 20 公升濃度 35% 的酒精溶液。列出「總體積」與「純酒精量」兩式再解聯立即可。

求 |conj(Z1)·Z2²/Z1| 的值：答案是 25

答案是 25。由絕對值的性質整個式子塌縮成 |Z2|²，所以只有 Z2 = (7i⁸⁸ + 24i³³)/(5i) 有用；它化簡成 24/5 − 7i/5，絕對值是 5。

約掉 Z2 再解出 Z1，求複數絕對值：答案是 27

答案是 27。把 Z2 約掉後式子只剩 |Z1|³，而兩個已知式逼出 Z1 的共軛等於 −3i，所以 Z1 = 3i、|Z1| = 3。

展開 (3x² + 4xy + 5y²)(7x² + 9y²)：得 21x⁴ + 28x³y + 62x²y² + 36xy³ + 45y⁴

乘積是 21x⁴ + 28x³y + 62x²y² + 36xy³ + 45y⁴。兩個因式都是齊次式，六個部分積的總次數都是 4，只有 x²y² 那一對能合併。

用 FOIL 展開 (4x + 1)(3x + 2)：答案是 12x² + 11x + 2

(4x + 1)(3x + 2) 等於 12x² + 11x + 2。FOIL 依序算首項、外項、內項、末項四個乘積，中間的 8x 與 3x 合併成 11x。

展開 (5x² − 3x)(2x² + 6x − 9)：得 10x⁴ + 24x³ − 63x² + 27x

乘積是 10x⁴ + 24x³ − 63x² + 27x。先把 5x² 分配到三項式上，再把 −3x 分配一次，然後合併兩個 x³ 項與兩個 x² 項；沒有常數項。

求積 (6x² − 7)(5x² − 6)：答案是 30x⁴ − 71x² + 42

(6x² − 7)(5x² − 6) 等於 30x⁴ − 71x² + 42。把 x² 當成一個整體代換成 u，四個乘積算完後 −36x² 與 −35x² 合併成中間項 −71x²。

化簡 (9 + 2i)(9 − 2i)：共軛相乘得實數 85

答案是 85，是個實數。兩個因式互為共軛複數，所以乘積塌縮成 9² − (2i)² = 81 + 4，虛部剛好完全抵消。

直式計算 (4x³ + x² + 2x + 6)(x + 5)：得 4x⁴ + 21x³ + 7x² + 16x + 30

乘積是 4x⁴ + 21x³ + 7x² + 16x + 30。先用 x 乘遍四項，再用 5 乘遍四項，最後把兩列依 x 的次方對齊相加。

把 (8y⁴ − 3y² + 3y³ − 8x²y − 5y + 3 − 8x) 乘以 7y²

乘積是 56y⁶ + 21y⁵ − 21y⁴ − 56x²y³ − 35y³ + 21y² − 56xy²。七項各自係數相乘、y 的指數相加；帶 x 的項與不帶 x 的項不是同類項，不能合併。

4 的立方根乘 6 的立方根：化簡成 2 乘 3 的立方根

乘積等於 2 乘 3 的立方根。先把兩個同次根式合併成 24 的立方根，再把 24 裡的完全立方因數 8 提出來。

展開 (−2x² + 7)(9x² − 4x + 2)：得 −18x⁴ + 8x³ + 59x² − 28x + 14

乘積是 −18x⁴ + 8x³ + 59x² − 28x + 14。第一個因式沒有一次項，所以六個部分積只落在五個次數格裡，只有 x² 那一格收到兩份。

展開 [(2 − √2)x − 1][(2 + √2)x − 1]：得 2x² − 4x + 1

乘積等於 2x² − 4x + 1。先把 x 的係數整理成共軛對 2 ± √2，用 (2−√2)(2+√2) = 2 算出 x² 項，一次項裡的根號則剛好抵消。

兩個分式相乘：先因式分解，化簡成 (x − 3)/(x + 8)

乘積化簡成 (x − 3)/(x + 8)。先把四個二次式都分解，約掉共同的 (x − 6)、(x + 3) 與 (x − 8)；約分只能約因式，絕不能約和式裡的一部分。

逐項展開 (x − 4)(x² − 5x − 6)：得 x³ − 9x² + 14x + 24

乘積是 x³ − 9x² + 14x + 24。把 x 與 −4 分別分配到三項式上；常數項是正的，因為 −4 乘 −6 等於 +24。

用立方和公式展開 (x+1)(x²−x+1)：答案是 x³ + 1

乘積是 x³ + 1。逐項展開會得到 x³ − x² + x + x² − x + 1，其中四項互相抵消；捷徑就是立方和公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)，取 a = x、b = 1。

用立方和公式展開 (x + 10)(x² − 10x + 100)：得 x³ + 1000

乘積是 x³ + 1000。第二個因式恰好是 a² − ab + b² 且 a = x、b = 10，所以公式把六項直接壓縮成兩項。

展開 (x + 5y)(2x − y)：得 2x² + 9xy − 5y²

乘積是 2x² + 9xy − 5y²。分配後有四項，中間的 −xy 與 +10xy 合併成單一同類項 9xy；x² 與 y² 都沒有夥伴。

兩個分式相乘化簡成 (x−1)/(x+2)

乘積是 (x − 1)/(x + 2)。先把四個二次式全部分解，再跨著兩個分式約掉一個 (x − 1)、一個 (x + 3) 和一個 x，完全不必把式子乘開。

展開三變數乘積 (x² + y²)(2x² + 4y² + 6z²)

乘積是 2x⁴ + 6x²y² + 6x²z² + 4y⁴ + 6y²z²。只有 x²y² 那一對能合併，其餘四個單項式的變數型式各不相同，各自獨立。

解 2(x − 1.6)² + (x − 1.5)² = 0：沒有實數解

答案是沒有實數解。非負數之和等於零，只有在每一項都為零時才可能，但 1.6 不等於 1.5；展開後判別式是 −0.08，也印證了同一結論。

花 240 買筆，多買一支每支便宜 1 元：答案是 15 支

答案是 15 支。設單價為 240/x，列出 240/x − 240/(x+1) = 1，去分母得 x² + x − 240 = 0，分解後捨棄負根。

3003 棵樹排成三角形共有幾列：答案是 77 列

每列 1、2、3……棵，總數是三角形數 n(n + 1)/2 = 3003，化成 n² + n − 6006 = 0，解得 n = 77。驗算 77 × 78 ÷ 2 = 3003 恰好用完。

含參數解 a(x − 4)² + b < 10：共分成七種情形

答案分成七種情形。a 的正負決定解是有界區間、兩條射線、全體實數還是空集合，b 則決定邊界的位置；a = 0 時 x 會整個消失。

含參數解 ax² + 2x + 1 > 0：依 a 分成五種情形

依 a 分類：a > 1 時全體實數，a = 1 時 x ≠ −1，a = 0 時 x > −1/2，0 < a < 1 與 a < 0 則用根 (−1 ± √(1−a))/a 描述解集合。

a > 0 時解 ax² − (2a−1)x + 2 ≥ 2x：比較 1/a 與 2

把 2x 移過去後可分解成 (x−2)(ax−1) ≥ 0。答案在 a = 1/2 處分歧：解落在兩根 2 與 1/a 之外，兩根重合時則是全體實數。

含參數解 ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0：兩根恆為 −3 與 4/a

判別式恰好是完全平方 (3a + 4)²，所以兩根永遠是 −3 與 4/a。解集合依 a 的正負分類，而 a = 0 與 a = −4/3 各自是獨立的特例。

把 1/(2n² + n) 拆成部分分式：1/n − 2/(2n + 1)

拆解結果是 1/n − 2/(2n + 1)。分母分解成 n(2n + 1) 得到兩個相異的一次因式，比較係數後得 A = 1、B = −2。

(2x−1)/(x−1)² 的部分分式：答案是 2/(x−1) + 1/(x−1)²

答案是 2/(x−1) + 1/(x−1)²。重根的一次因式必須從一次方到二次方每個次方各配一項，去分母後比較係數得 A = 2、B = 1，再代 x = 3 與 x = 0.5 驗算。

(x+1)/(x−1)² 拆成部分分式：1/(x−1) + 2/(x−1)²

分解結果是 1/(x−1) + 2/(x−1)²。重根的一次因式要每個次方各給一項，去分母比較係數後得 A = 1、B = 2，合併回去與原式完全相同。

9x² − 12xy + 4y² 因式分解：等於完全平方 (3x − 2y)²

因式分解結果是 (3x − 2y)²。頭尾兩項都是平方數，9x² = (3x)²、4y² = (2y)²，而中間項 −12xy 恰好等於 −2(3x)(2y)，符號由中間項決定。

x² − 8xy + 16y² 因式分解：完全平方式 (x − 4y)²

x² − 8xy + 16y² = (x − 4y)²。先確認 16y² 是 (4y)²，再檢查中間項是否等於 −2 乘 x 乘 4y，兩項都吻合才能直接寫成差的平方。

長方形面積 88 平方公尺、長為寬的兩倍多 5：周長 43 公尺

周長是 43 公尺。設寬為 x 可列出 x(2x+5) = 88，判別式 729 是完全平方數，正根為 5.5 公尺，長因此是 16 公尺，負根不合實際要捨去。

三邊為 3x−4、x²−1、2x²−15 的三角形：x = 4 時周長 40 英尺

周長是 40 英尺。三個多項式相加得 3x² + 3x − 20，代入 x = 4 得 40；先合併同類項再代入，只需代一次而不是三次，速度快得多。

多項式相減：是二項式還是三項式？次數多少？

相減化簡後為 12a²b² − 5ab⁵，是一個六次二項式。看清楚為什麼 a³b 兩項會消掉，以及多變數項的次數為何要把指數相加。

除法表格：x³ − 2x² − 10x + 21 除以 x² + x − 7

缺少的商項是 A = −3，所以商為 x − 3、餘式為 0。一步步看懂除法表格裡每一格是怎麼算出來的。

x³ + x + 1 除以 x² + 2x − 3：商為 x − 2、餘式 8x − 5

商是 x − 2，餘式是 8x − 5。除式是二次式，綜合除法不適用，只能用長除法；驗算時把商乘回除式再加餘式，會回到原來的被除式。

x³ − 4x + 5 除以 x² + 2：商為 x、餘式 −6x + 5

商是 x，餘式是 −6x + 5，所以原三次式等於 x(x² + 2) − 6x + 5。被除式與除式都缺項，必須先補上係數為零的項再做長除法。

x : 45 等於 20 : x 的正數解：x = 30，即 20 與 45 的幾何平均

正解是 x = 30。交叉相乘得 x² = 900，所以 x 是 20 與 45 的幾何平均數；兩個比化簡後都是 2 : 3，負根 −30 不構成合理的比要捨去。

頂點 (9, −14) 的拋物線：a + b + c 可為任何大於 −14 的值

a + b + c 等於 y(1) = 64a − 14，而拋物線與 x 軸交於兩點迫使 a > 0，所以答案是任何大於 −14 的數。代 x = 1 是不必求出 b、c 的關鍵技巧。

印表機 A 五小時印 1800 頁，印表機 B 五小時可印 4200 頁

印表機 B 印 4200 頁。A 的速率是每小時 360 頁，可回推整份工作是 2520 頁，所以 B 每小時 840 頁，五小時共 4200 頁；也可直接乘以時間的反比 7/3。

兩個 3 階方陣相乘：AB 的三列依序是 (0,6,16)、(−7,−2,−3)、(−2,2,6)

乘積 AB 的三列分別是 (0, 6, 16)、(−7, −2, −3) 與 (−2, 2, 6)。每個元素都是 A 的某一列與 B 的某一行的內積，總共要算九次內積，不是同位置相乘。

證明 x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)：展開後交叉項全部互消

展開 (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³，再展開 3xy(x + y) = 3x²y + 3xy²，兩者相減時兩個交叉項恰好互消，只剩下 x³ + y³，恆等式得證。

含對稱差與補集的集合恆等式：對任意集合 A、B、C 都成立

這個等式恆成立。先把差集改寫成與補集的交集，再看出對稱差的補集是 (A∩B) 聯集 (A∪B) 的補集，最後把扣掉 A∩B∩C 的動作分配到聯集上即可。

證明 (2x²−4x+3)(x²−2x+2) = 1 只有 x = 1 這一個實根

配方後兩個因式分別是 2(x−1)² + 1 與 (x−1)² + 1，都至少等於 1。兩個不小於 1 的數相乘等於 1，只可能兩者都恰為 1，因此 x = 1 是唯一實根。

證明 (x²−4x+5)(2x²−8x+9) = 1 的唯一實根是 x = 2

兩個因式配方後都以 x = 2 為頂點，分別是 (x−2)² + 1 與 2(x−2)² + 1，各自至少為 1，所以乘積等於 1 只能發生在 x = 2。

證明 x² + ax + a − 2 = 0 對任何實數 a 都有兩個相異實根

判別式是 a² − 4a + 8 = (a − 2)² + 4，對每個實數 a 都至少等於 4。判別式嚴格為正就保證有兩個相異實根，最小值 4 出現在 a = 2。

解 0.097x² − 2.20765x + 4.37114 = 0：兩根 20.568376 與 2.190902

答案是 x = 20.568376 或 x = 2.190902。判別式 b² − 4ac = 3.1777162025 要保留十位小數，因為最後除以 2a = 0.194 會把誤差放大約 5 倍。

解 0.097x² − 2.3289x + 4.9064133 = 0：兩根 21.675719 與 2.333560

答案是 x = 21.675719 或 x = 2.333560。判別式 b² − 4ac = 3.5200868496 必須保留全部位數，不可提早四捨五入，再除以 2a = 0.194 才會得到正確的六位有效數字。

解 4.08x² − 652.8x + 10236 = 0：精確根為 (1360 ± 105√102)/17

兩根約為 142.379 與 17.621，精確值是 (1360 ± 105√102)/17。判別式 426147.84 − 167051.52 = 259096.32，開方得 509.01505，不能四捨五入成 509。

分情況討論解 x² + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0

兩根為 x = (11 − √29)/2 ≈ 2.807 與 x = (3 + √13)/2 ≈ 3.303。在 x = 3 處拆開絕對值，兩邊各解一個二次方程式，再留下符合條件的根。

由解集合 −1 ≤ x ≤ 5 與最小值 −18 反推二次函數

答案：2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3。由兩根寫出 f(x) = a(x + 1)(x − 5)，再由頂點 x = 2 處最小值 −18 定出 a = 2，最後解 2x² − 8x − 10 ≤ 6。

用變數代換解 (x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0

實數解為 x = −12 與 x = −13。令 u = x + 4，把「可化為二次式」的方程式變成 u² + 17u + 72 = 0，因式分解後再換回 x。

解 (2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0：答案是 −1/2 ≤ x ≤ 2/3

答案是 −1/2 ≤ x ≤ 2/3。展開後首項係數是 −6，拋物線開口向下，乘積在兩根之間為正而不是之外；因為不等式帶等號，兩個端點也要算進去。

解 (2 − x)(2x − 3) > 0：開口向下，答案是 3/2 < x < 2

答案是 3/2 < x < 2。展開後首項係數是 −2，拋物線開口向下，乘積只在兩根之間為正；不等式是嚴格的，所以兩個端點都要排除，得到開區間。

解 2x² − 3x − 2 > 0：因式分解後得 x < −1/2 或 x > 2

答案是 x < −1/2 或 x > 2。把非首一的二次式分解成 (2x + 1)(x − 2)，得到分界點 −1/2 與 2，開口向上所以取兩根之外的兩段。

解 3x² − 2x − 1 ≥ 0：拆中間項分解得 x ≤ −1/3 或 x ≥ 1

答案是 x ≤ −1/3 或 x ≥ 1。用十字交乘把 −2x 拆成 −3x + x，分解出 (3x + 1)(x − 1)，開口向上所以取兩根之外，並且要包含兩個端點。

解 4x² − 4x + 1 ≤ 0：解集合只有 x = 1/2 一個點

唯一的答案是 x = 1/2。這個三項式是完全平方 (2x − 1)²，永遠不會是負的，所以只有等號成立時才滿足不等式，解集合是一個點而不是區間。

解 4x² − 4x + 1 < 0：為什麼答案是空集合

答案是無解。這個二次式是完全平方 (2x − 1)²，實數的平方永遠不會嚴格小於零，所以這個嚴格不等式的解集合是空集合。

解 9x² + 48x − 576 ≥ 0：兩根是無理數 (−8 ± 8√10)/3

解是 x ≤ (−8 − 8√10)/3 或 x ≥ (−8 + 8√10)/3，約 −11.099 與 5.766。這個三項式在整數範圍內不可分解，常被引用的 (x − 6)(3x + 32) 是錯的，x = 6 並不是根。

解 (−m)² − 4(−m + 3) > 0：化簡成 m² + 4m − 12 得 m < −6 或 m > 2

答案是 m < −6 或 m > 2。偶次方會吃掉負號使 (−m)² 變成 m²，−4 分配進括號會把兩個內部符號都翻過來，化簡後得到可因式分解的 m² + 4m − 12。

解 −7 > 3x(x − 2)：判別式為 −48，這個不等式無解

答案是無解。展開整理後得 3x² − 6x + 7 < 0，但判別式是 −48，這條開口向上的拋物線整條都在橫軸上方，配方後可知最小值是 4。

解 −x²+3x+4 ≥ 0 且 3x²−2x ≥ 0：答案是 [−1, 0] 聯集 [2/3, 4]

答案是 [−1, 0] 聯集 [2/3, 4]。兩個不等式各自因式分解後分別求解，再在同一條數線上取交集；中間的 (0, 2/3) 因為 x(3x − 2) < 0 而被排除。

解 −x²+3x+4 ≥ 0 且 3x²−5x ≥ 0：答案是 [−1, 0] 聯集 [5/3, 4]

答案是 [−1, 0] 聯集 [5/3, 4]。第一式乘以 −1 時要翻轉不等號，第二式提出公因式分解成 x(3x − 5)，最後把兩個解集合取交集就完成。

解 55(x² − 25) > 35(24² − 25)：邊界為 ±2√11363/11，約 ±19.3813

答案是 x < −2√11363/11 或 x > 2√11363/11，約為 ±19.3813。先把右邊算成 19285，除以 55 後保留分數 4132/11，最後開方時正負兩支都要取。

解含參數的 ax² + (1−a)x − 1 < 0：必須分成五種情況討論

式子可分解成 (x − 1)(ax + 1)，因此要分五種情況而不是三種。a < 0 這一支還得在 a = −1 再切一刀，因為此時 −1/a 恰好等於 1，兩根重合。

解 (x − 1)(x − 3) > 0：解集合是 (−∞, 1) 聯集 (3, ∞)

解集合是 (−∞, 1) 聯集 (3, ∞)。兩根 1 與 3 把數線切成三段，兩個一次因式的乘積只有在兩根之外才為正，端點因為乘積為零而排除。

解 (x + 1)(x − 3) > 0：由乘積的正負得 x < −1 或 x > 3

答案是 x < −1 或 x > 3。拋物線開口向上，所以乘積在兩根之外為正、在中間那一段為負；不等式是嚴格的，兩個根本身要排除。

解二次不等式 x² − 2x > 3：因式分解後得 x < −1 或 x > 3

解是 x < −1 或 x > 3。先減去 3 化成 (x − 3)(x + 1) > 0，再利用開口向上的拋物線在兩根之外為正的性質，就能直接讀出答案。

解 x² − 2x − 1 > 0：邊界是無理數 1 ± √2

答案是 x < 1 − √2 或 x > 1 + √2。這個三項式在整數範圍內不可分解，所以邊界要靠公式解求出；判別式 8 是正的但不是完全平方數。

解 x² − 2x − 3 < 0：答案是開區間 (−1, 3)

答案是開區間 (−1, 3)。三項式可分解成 (x − 3)(x + 1)，而開口向上的拋物線只有在兩根之間才是負的，端點因為值恰為零而排除。

解 x² − 4x − 5 > 0：因式分解與符號表給出 x < −1 或 x > 5

解是 x < −1 或 x > 5。分解成 (x − 5)(x + 1) > 0 後，在三個區間各取一點測試，就能看出乘積在哪裡為正；答案是兩條射線的聯集。

解二次不等式 x² − 4x − 5 < 0：答案是 −1 < x < 5

答案是 −1 < x < 5。分解成 (x − 5)(x + 1) 後，利用開口向上的拋物線只在兩根之間為負的性質，直接讀出中間那一段開區間。

證明 x² + x + 1 > 0 對每一個實數都成立

答案是所有實數。判別式是 −3，沒有實根；配方後得到 (x + 1/2)² + 3/4，最小值 3/4 為正，所以整條拋物線都在橫軸上方。

根為 1 與 −7 的二次式：使 a + b ≥ n 的最大 n

n 的最大可能值是 14。由 f(x) = a(x − 1)(x + 7) 得 b = 6a，所以 a + b = 7a；a 為大於 1 的整數，最小取 2，得 14。

求 k 使 x² − (2k−1)x + 1 的兩根分落 (0,1) 與 (2,3)

答案是 7/4 < k < 13/6。用 f(0) > 0、f(1) < 0、f(2) < 0、f(3) > 0 四個正負號條件把參數夾出來，再用兩根之積驗算。

解 0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0：四個實根

四個根都是實數：m 約為 −0.86460、3.37180、11.10473、13.31466。先用變號掃描找出四個包夾區間，再用根與係數關係檢查四根之和與四根之積，確認沒有漏根。

3x⁴+18x³+38x²+32x+12=0 沒有實根：拆成平方和證明恆正

答案：沒有實數解。把它改寫成平方和 3(x²+3x+3/2)² + 2x² + 5x + 21/4，可以看出這個四次式永遠不會低於 17/8，所以四個根全都是複數。

解 u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0：根為 −1、1 與二重根 3

答案是 u = −1、u = 1 與二重根 u = 3。用待定係數法比對後得到 (u² − 1)(u² − 6u + 9)，再分解成 (u − 1)(u + 1)(u − 3)²。

解 6.804e10 x⁴ + 0.7x − 1210.23 = 0：兩個極小的根

答案是 x = 0.0115484893 與 x = −0.0115485279。四次項的係數極大，主導了整個式子，兩根幾乎就是 1210.23/6.804e10 的四次方根，且幾乎對稱。

解 6.804e-10x⁴ + 0.7x − 1210.23 = 0：不能把四次項丟掉

答案是 x = 947.0356 與 x = −1332.1428。四次項係數很小，但在 x 很大時它一點也不小：x = 1729 時四次項已經約 6079。

解 x²((8.9−x)²−64) = (63.9−71x)²：提出公因式得 x = 0.9

答案是精確根 x = 0.9，另有 x = −63.548577、0.897443、79.551134。兩邊都藏著因式 (0.9 − x)，提出來之後四次式就降成三次式，不必硬展開。

解 x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0：只能用數值法求根

兩個實根是 x ≈ 8.4610649 與 x ≈ −0.3736462，另有一組共軛複根。這個四次式沒有有理根，也拆不成整係數的兩個二次式，只能先夾出區間再用牛頓法。

解 x⁴ − 16x³ + 66x² − 16x − 35 = 0：令 t = x² − 8x 的技巧

四個根是 x = 1、x = 7 與 x = 4 ± √21。兩個二次因式都含 x² − 8x，所以令 t = x² − 8x，四次式就變成 t² + 2t − 35 = (t + 7)(t − 5)。

解無理方程式 3√(2x − 1) = 14：答案 x = 205/18

答案是 x = 205/18，約 11.3889。平方之前先除以 3，得 √(2x − 1) = 14/3；平方後 2x − 1 = 196/9，於是 2x = 205/9，最後 x = 205/18。

解 √(4 + 2x − x²) = x − 2：唯一解是 x = 3，x = 0 是增根

唯一的解是 x = 3。兩邊平方後會得到 x = 0 與 x = 3，但 x = 0 會讓右邊變成負數，所以它是增根，必須捨去。

解 √(4x² − 8x + 4) = 5：用絕對值得到兩個解

答案是 x = 7/2 或 x = −3/2。被開方數可分解成 4(x − 1)²，所以根號化簡後是 2|x − 1|；絕對值正好給出兩個解。

解 √(x² − 3) = x − 1：答案 x = 2，並檢查定義域

答案是 x = 2。兩邊平方後 x² 消掉，只剩 −3 = −2x + 1，解得 x = 2；它滿足條件 x ≥ 1，所以不是增根。

解 √(x² − 6x + 1) = 5 − 2x：沒有實數解

答案：沒有實數解。兩邊平方得 3x² − 14x + 24 = 0，判別式是 196 − 288 = −92，所以連平方後的方程式都沒有實根。

解 √(x² − 6x + 25) = 3 − x：為什麼無解

答案：無解。兩邊平方得 x² − 6x + 25 = x² − 6x + 9，所有含 x 的項全部消掉，方程式化成不成立的 25 = 9。

解 √(x² − 6x + 25) = 5：兩根為 x = 0 與 x = 6

答案是 x = 0 或 x = 6。右邊的 5 是正數，所以兩邊平方是安全的；平方後常數 25 在兩邊相消，只剩下 x(x − 6) = 0。

解 √(2x + 1) = x − 1：唯一解 x = 4，x = 0 是增根

唯一的解是 x = 4。兩邊平方得到 x² − 4x = 0，根是 0 與 4，但 x = 0 會讓右邊變成負數，必須捨去。

解 71(8.9 − x) − x√((8.9 − x)² − 64) = 568：有兩個根

有兩個解：x = 0.9 與 x ≈ 0.8974432593。用變數代換 u = 8.9 − x，方程式化成 71(u − 8) = (8.9 − u)√((u − 8)(u + 8))，邊界根 u = 8 就露出來了。

把 −4m⁻²n¹¹ 取 −4 次方：結果是 m⁸/(256n⁴⁴)

結果是 m⁸/(256 n⁴⁴)。外層指數要分配到每個因式：(−4)⁻⁴ = 1/256，m⁻² 變成 m⁸，n¹¹ 變成 n⁻⁴⁴ 再落到分母上。

由兩個線性條件求 z = 6x − 8y 的範圍：0 ≤ z ≤ 22

範圍是 0 ≤ z ≤ 22。把 6x − 8y 寫成 4(x + y) + 2(x − 6y)，就能直接用兩個已知區間界住 z，不必先解出 x 與 y。

證明秩為 r 的矩陣恰是 r 個秩 1 矩陣之和

取行空間的一組基底得到 A = UC，也就是 r 個外積之和；再用秩的次可加性說明少於 r 個不可能。兩半各用一套完全不同的工具。

由 4%x + 5%y = ⅔(5%x + 8%y) 求 x : y，答案是 1 : 2

比值是 x : y = 1 : 2。先把分母 100 去掉，再把 2/3 去掉，這句話就化成 12x + 15y = 10x + 16y，整理後即得 2x = y。

用兩張符號表解 −2 < (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1：解為 (1/4, 4]

解是 (1/4, 4]。把連不等式拆成兩個分式不等式，各自移項到同一邊，用符號表分別求解後取交集，同時排除 x = −1。

解 1/(x − 2) + 2/(x + 2) = 3/(x² − 4)，得 x = 5/3

x = 5/3。公分母 (x − 2)(x + 2) 正好就是 x² − 4，方程式隨即化為 3x − 2 = 3；而 5/3 也避開了必須排除的 2 與 −2。

解 (350 + 6X)/16 = (450X − 6X)/9：交叉相乘得 X = 21/47

解是 X = 21/47 ≈ 0.4468。先把 450X − 6X 合併成 444X，交叉相乘得 3150 + 54X = 7104X，最後用最大公因數 150 把 3150/7050 約分。

解 (x+25)/(x+125) − x/(x+100) = 1/10：有兩個實根

答案：x = (−225 ± 25√161)/2，約為 46.107 與 −271.107。分子裡帶 x 的項全部相消，只剩常數 2500，於是只要解 x² + 225x − 12500 = 0。

解 x/(x+100) − (x+25)/(x+125) = 1/10：沒有實數解

分子縮成 −2500，得 x² + 225x + 37500 = 0，判別式是 −99375，所以實數範圍內無解；在複數範圍內 x = (−225 ± 25i√159)/2。

為什麼 x/(x+100) − (x+25)/(x+125) = 0.1 沒有實數解

沒有實數解。通分後分子整個縮成常數 −2500，方程式化為 x² + 225x + 37500 = 0，判別式 −99375 < 0，只剩一對共軛複數根。

解 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 1：先移項再通分，解為 [2/3, 1)

答案是 [2/3, 1)。把右邊的 1 移過來通分成一個分式，得到 (3x − 2)/(1 − x) ≥ 0——千萬不要兩邊乘 1 − x。

用符號表解 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 0：解是 [1/2, 1)

答案是半開區間 [1/2, 1)。分子的零點要取到，因為 0 滿足 ≥；而 x = 1 必須排除，它會讓分母為零。

分母恆正，解 (2x−1)(x+1)/(x² + x + 2) ≤ 0 得 [−1, 1/2]

答案是 [−1, 1/2]。分母的判別式是 −7，對每個 x 都取正值，所以整個分式的正負號完全由分子決定。

用符號表解 (2x + 1)/(x − 4) < 0：解是 (−1/2, 4)

答案是開區間 (−1/2, 4)。分式為負恰好是分子與分母異號的時候，而這只發生在兩個零點之間；兩端都開，理由卻各不相同。

解 (3 − x)/(2x + 1) ≥ 1：不交叉相乘，解是 −1/2 < x ≤ 2/3

答案是 −1/2 < x ≤ 2/3。兩邊減 1 後化成 (2 − 3x)/(2x + 1) ≥ 0；左端點取開區間，是因為分母恰好在那裡為零。

解分式不等式 3/(x − 1) > x + 4：邊界是 (−3 ± √37)/2

答案是 x < (−3−√37)/2 或 1 < x < (−3+√37)/2。千萬別交叉相乘：x − 1 的正負號未知，正確做法是移項通分成一個分式再列符號表。

解 3/(x − 1) − 1 ≥ 2：不交叉相乘，解是 1 < x ≤ 2

答案是 1 < x ≤ 2，也就是區間 (1, 2]。把所有項移到同一邊，合併成 (6 − 3x)/(x − 1) ≥ 0 後列符號表——絕不能兩邊乘正負號未知的 x − 1。

不乘 x − 2 解 3/(x−2) > 1：解是 (2, 5)

解是區間 (2, 5)。兩邊減 1 後合併成 (5 − x)/(x − 2) > 0，就避開了乘上正負號未知的 x − 2 這一步。

解 (2x + 1)(3x − 1)²/(x³(√2 − 1)) ≤ 0：解含一個孤立點

解是 −1/2 ≤ x < 0，再加上孤立的一點 x = 1/3。平方因式不會改變正負號，但在非嚴格不等式裡它仍會貢獻出這個孤立的取等點。

解 (2x − 1)/3 − 4/(x + 2) > (x − 3)/6 + 1：邊界 (−1 ± √409)/6 與 −2

解是 x ∈ ((−1 − √409)/6, −2) ∪ ((−1 + √409)/6, +∞)。先把多項式部分合併成 (3x − 5)/6，再對 (3x² + x − 34)/(x + 2) 列符號表逐段判正負。

用符號表解 (x−1)/((x−3)(x−2)) ≤ 0：解是 (−∞, 1] ∪ (2, 3)

解是 (−∞, 1] ∪ (2, 3)。標出三個臨界點，逐區間取點試正負號，x = 1 取閉端點，而 x = 2 與 x = 3 必須排除。

解 (x²−4x+3)/(x²−9) ≤ 0：解是 (−3, 1]，約掉的因式仍要排除

答案是 (−3, 1]。分子分母都含因式 x − 3，它雖然約得掉，卻仍然把 x = 3 從定義域裡剔除——那是一個空心點，不是變號點。

把 (2√2 − √3)/(√3 + √2) 分母有理化，結果是 3√6 − 7

分子分母同乘共軛根式 √3 − √2；分母變成 3 − 2 = 1，所以答案就是展開後的分子 3√6 − 7。

用共軛根式 2 − √11 把 17/(2 + √11) 有理化，得 (17√11 − 34)/7

答案是 (17√11 − 34)/7。乘上共軛根式 2 − √11 後，分母變成 4 − 11 = −7，接著再把這個負號搬到分子上去，分數才算最簡。

把 2 / (√7 + √2) 的分母有理化

答案是 (2√7 − 2√2) / 5。分子分母同乘共軛根式 √7 − √2，用平方差公式一次消掉兩個根號。

7/y 的立方根怎麼化簡：有理化後得 ∛(7y²)/y

7/y 的立方根化簡成 ∛(7y²) 除以 y。在根號內乘上 y²/y²，分母就變成完全立方 y³，立方根隨即開得出來。

把 1/√11 分母有理化並化簡：結果是 √11/11

結果是 √11/11。分子分母同乘 √11，分母就變成 11；而分子與分母沒有公因數，所以什麼也約不掉。

把 7/(√5 − 2) 分母有理化：分母正好變成 1，答案是 7√5 + 14

結果是 7√5 + 14。乘共軛根式後分母變成 5 − 4 = 1，於是分式整個消失，最終答案連分母都不用寫。

x³ − 5x² − 7x + 41 的實根：三個根全是實數

這個三次式有三個實根：−2.7875545、3.2205249 與 4.5670296。它沒有有理根，因為候選值只有 41 的因數 1 與 41。

解 1/x³ − 1/(5×10⁻⁵)³ = 9.33×10¹⁰：x ≈ 4.9807×10⁻⁵

答案是 x ≈ 4.9807×10⁻⁵，而不是恰好 5×10⁻⁵。右邊只佔 8×10¹² 的 1.17%，讓 x 只挪動約 0.39%——幅度很小，但離零差得遠。

用分母相等解 1/(4x − 5) = 1/11：根是 x = 4

根是 x = 4。兩個倒數相等只能是分母相等，於是 4x − 5 = 11，得 4x = 16、x = 4，而這個值落在定義域內。

把 |x + 2| − 1 對 x 軸對稱再下移 2 單位：得 −|x + 2| − 1

結果是 f(x) = −|x + 2| − 1。對 x 軸對稱要把整個函數取相反數，−1 於是變成 +1；隨後向下平移 2 單位，常數項又回到 −1。

把 |x + 2| − 3 對 x 軸對稱再下移 2 單位：得 −|x + 2| + 1

結果是 f(x) = −|x + 2| + 1，頂點為 (−2, 1)。對稱把 −3 變成 +3，再下移 2 就剩下 +1——常數項並不是簡單地一直為負。

把基本函數 |x| 對 x 軸對稱再下移 6 單位：f(x) = −|x| − 6

結果是 f(x) = −|x| − 6，頂點在 (0, −6)，兩臂斜率依序為 +1 與 −1。所有函數值都是負的，圖形整個落在 x 軸下方，最大值只有 −6。

畫出 x² + y² ≤ 9 與 y ≤ x + 1 的公共區域：割線下方的圓盤

這個區域是半徑 3 的閉圓盤中位於直線 y = x + 1 上或下方的那一部分。邊界直線與圓的交點橫座標是 x = (−1 ± √17)/2。

多項式餘式：f(x)³ 除以 2x² − 3x + 4

餘式是 26x − 47。若 f(x) 除以 2x² − 3x + 4 的餘式為 2x + 1，只要把這個餘式立方，再用 x² = (3x − 4)/2 降次即可。

f(x) 除以 2x² − 3x + 4 餘 2x + 1，則 f(x)³ 的餘式是 26x − 47

餘式是 26x − 47。因為 f = qD + (2x + 1)，所以 f 的三次方對 D 同餘於 (2x + 1)³，只要把這個三次方用長除法降次即可。

求 x³ − 2 除以 x − 1 的餘式

用餘式定理一步就能算出 x³ − 2 除以 x − 1 的餘式，完全不必做長除法。文中也說明為什麼餘式一定是常數而不是多項式。

把 3⁸/27⁻² 化成同底數 3：結果是 3¹⁴ = 4,782,969

因為 27 = 3³，由指數律得 27⁻² = 3⁻⁶，所以 3⁸/27⁻² 變成 3⁸/3⁻⁶；指數相減後等於 3¹⁴ = 4,782,969。

把 a·e^(−4i) + b·e^(4i) 化成 (a+b)cos4 + i(b−a)sin4

尤拉公式把每個複指數拆成餘弦與正弦；餘弦部分相加、正弦部分相減，就得到乾淨的實部加虛部形式。

把 y = (1/4)(x + 1) − 2 化成斜截式：y = x/4 − 7/4

斜截式是 y = x/4 − 7/4。把 1/4 乘進括號，再把 1/4 與 −2 通分到分母 4，得到斜率 1/4、y 截距 −7/4。

把 x² + 8xy + 16y² − 4z 改寫成 (x + 4y)² − 4z

前三項正好湊成完全平方 (x + 4y)²，因為 16y² = (4y)²，而 8xy 就是 x·4y 的兩倍。至於 −4z，在 z 未知的情況下沒辦法再吸收進去。

幾乎壓平的拋物線 −0.0164x² + 0.3655x + 25.151 = 0：兩根 −29.572 與 51.859

兩根是 x ≈ −29.572 與 x ≈ 51.859，相距 81 以上。二次項係數極小使拋物線幾乎壓平，把兩根推得遠離 x ≈ 11.14 處的頂點。

x⁴ − 16 = 0 的根：實根 ±2，複根 ±2i（平方差用兩次）

答案是實數範圍內 x = 2 與 −2，複數範圍內還有 2i 與 −2i。先把 x⁴ − 16 分解成 (x²−4)(x²+4)，再把 x² − 4 拆成 (x−2)(x+2)。

來回 120 公里共 4 小時 24 分，求去程速率

去程速率是每小時 50 公里、回程每小時 60 公里。先把 4 小時 24 分換成 4.4 小時，再把兩段時間各寫成距離除以速率，解 220/v = 4.4。

解含重根的遞迴式 a_n = 4a_(n−1) − 4a_(n−2)

答案是 3037。特徵方程式 (r − 2)² = 0 給出 a_n = (A + Bn)2^n，所以 a_2025 = 6,149,925 × 2^2025，而 b/c = 6,149,925/2025 = 3037。

每一項是前兩項的平均：求第 19 項

第 19 項為 91.66672，整數部分是 91。相鄰差每次減半且正負交替，數列收斂到 (a1 + 2a2)/3 = 275/3，而不是 2a2 − a1。

用 y = x² 代換解 0.2·0.2x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0：x ≈ ±1.23561

實數解是 x ≈ ±1.23561。先去掉小數得到 x⁶ + 25x⁴ + 25x² − 100 = 0，再令 y = x² 化成三次方程式，它唯一的正根是 y ≈ 1.526734。

六次方程式 43681x⁶ − 22932.5x⁵ + 3931.3x⁴ − 221.1x³ + c 的四個實根

四個實根是 x ≈ 0.00096368、0.14670508、0.15345189、0.22484227，另有一對共軛複根。靠變號圈定區間，才能把那兩個幾乎重合的根分開。

解 x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000：兩個實根 2.982928 與 −3.152475

答案：x = 2.982928 與 x = −3.152475。展開後是六次方程式 x⁶ + 104x⁴ + 40x³ − 10000 = 0，它沒有有理根，只能把兩處變號分別框住再用二分法求解。

證明這個 4 式 3 未知數的聯立方程式無解

答案：這組方程式不相容——無解。代入消去後化成關於 y、z 的三個式子，其中兩個給出 y = 25/2、z = −9/2，而這組值不滿足剩下的那一式。

證明 kt + xy > ky + tx 等價於 (k − x)(t − y) > 0

這個不等式等價於 (k − x)(t − y) > 0，也就是要求 k − x 與 t − y 同號。分組分解把四個散落的乘積併成了一個因式條件。

證明 x³ + x² + 2x + 1 沒有有理因式

這個三次式在有理數上不可分解。候選根只有 1 與 −1，兩個都不是根，所以不存在一次有理因式，分組分解也同樣走不通。

在 3x + y = 1 之下，y/x + 1/y 為什麼沒有最大值

不存在最大的 m：代入 y = 1 − 3x 得 1/x − 3 + 1/(1 − 3x)，當 x 由左側趨近 1/3 時它趨於 +∞，所以式子沒有上界，這個界根本取不到。

解 (x−2)³(x−4)⁴(x−5)³(x−10)⁶ ≤ 0：解是 [2, 5] ∪ {10}

答案是 [2, 5] ∪ {10}。偶次方從不改變正負號，所以真正說得上話的只有 (x−2)³ 與 (x−5)³；孤立點 x = 10 之所以入選，是因為乘積在那裡等於零。

(2 − 3x)/(x(x − 1)) 在哪裡為正：符號表給出 (−∞, 0) ∪ (2/3, 1)

這個分式在 (−∞, 0) ∪ (2/3, 1) 上為正。分子在 2/3 處變號，分母在 0 與 1 處變號，所以四個區間裡只有兩個符合。

化簡 0.8x + (1 − x)(0.2) 得 0.6x + 0.2

答案是 0.6x + 0.2。這是加權平均的形式：占比 x 的那部分按 0.8 計，剩下的部分按 0.2 計，結果隨 x 線性上升。

化簡 (1 − 2√(b/a) + b/a) ÷ (√a − √b)²：答案為 1/a

答案是 1/a。分子是完全平方 (1 − √(b/a))²，可改寫成 (√a − √b)²/a，與分母的 (√a − √b)² 約掉後只剩 1/a，成立條件為 a > 0、b ≥ 0、a ≠ b。

化簡 192π² ÷ (128π + 32π²)：答案為 6π/(π + 4)

答案是 6π/(π + 4)。分母是一個和，必須先提出公因式 32π 才能約分；分子 192π² 寫成 32π · 6π，約掉 32π 後得 6π/(4 + π)，已經無法再化簡。

化簡 2(x²y + xy) − 3(x²y − xy) + 2xy：答案為 −x²y + 7xy

答案是 −x²y + 7xy。括號前的 −3 要乘進括號內每一項，−3 ×(−xy) = +3xy 這一步最常算錯；x²y 與 xy 不是同類項，必須分開合併。

化簡 28x⁴y² ÷ 16x⁷y⁻³：答案為 7y⁵/(4x³)

答案是 7y⁵/(4x³)。係數 28/16 約成 7/4，指數相減得 x⁻³ 與 y⁵，其中 y 的 2 −(−3) = 5 最容易算錯，最後把 x⁻³ 移到分母寫成正指數。

化簡 (2a²b − 3ab² + b²) − (a²b − 2ab² + 2b)：得 a²b − ab² + b² − 2b

答案是 a²b − ab² + b² − 2b。第二個括號前的減號會把括號內每一項都變號，中間項變成 +2ab²；接著只有變數與次數完全相同的項才能合併。

化簡 2x³ + x³ + x² + 2x − 6：答案為 3x³ + x² + 2x − 6

答案是 3x³ + x² + 2x − 6。只有兩個三次項是同類項，係數相加得 3x³；x³ 前面省略的係數是 1，最容易漏看，其餘 x²、x 與常數項都保持不變。

化簡 (2x − 4 + (x+1)(x−2)) ÷ ((x+1)(x−2))：答案為 (x+3)/(x+1)

答案是 (x+3)/(x+1)。分子是一個和，不能直接約分；先展開整理成 x² + x − 6，因式分解為 (x+3)(x−2)，再與分母約掉 (x−2)，限制為 x ≠ 2 且 x ≠ −1。

化簡 3√12 ÷ (4∛54)：答案為 √3·∛4/4

答案是 √3 · ∛4 / 4。先把 √12 化成 2√3、∛54 化成 3∛2，約掉數字係數後分母仍有立方根，要再乘上 ∛4 湊滿三個 2 才能把分母有理化。

化簡 (3⁵ · 27³ · 9⁴) ÷ (3 · 81⁴)：答案為 3⁵ = 243

答案是 3⁵ = 243。把 27、9、81 全改寫成 3 的次方，分子指數相加得 3²²、分母得 3¹⁷，再相減 22 − 17 = 5；單獨的那個 3 要算成 3¹，最容易漏掉。

化簡 3a² ÷ a：答案為 3a，且須註明 a ≠ 0

答案是 3a，成立條件 a ≠ 0。係數 3 直接帶著走，指數相減得 a²/a = a¹ = a；原式分母有 a，在 a = 0 時無定義，化簡後的 3a 卻有定義，所以限制必須寫上。

化簡 4(3x + 5) − 15：答案為 12x + 5

答案是 12x + 5。括號是被乘的而不是被加的，依運算順序要先用分配律展開成 12x + 20，再把常數 20 與 −15 合併成 5；12x 沒有同類項，原樣保留。

化簡 4a⁻¹⁰ · a · d：答案為 4d/a⁹

答案是 4d/a⁹。單獨的 a 其實是 a¹，同底數相乘指數相加得 −10 + 1 = −9；負指數代表該因式要移到分數線的另一邊，但係數 4 與 d 留在分子不動。

化簡 5√9 − √(−64)：答案為複數 15 − 8i

答案是 15 − 8i。√9 取主平方根得 15；√(−64) 沒有實數值，須用 √(−a) = i√a 改寫成 8i。把它寫成 −8 是最典型的錯誤，因為 (−8)² = +64 而不是 −64。

化簡 5(9x − 8) + 12x：答案為 57x − 40

答案是 57x − 40。12x 在括號外，括號沒拆掉之前併不進去；先用分配律把 5 乘進括號得 45x − 40，再與 12x 合併成 57x，常數 −40 不能再和 x 項合併。

化簡 (5x² + 2x − 1) − 4(3 − 8x + 2x²)：答案為 −3x² + 34x − 13

答案是 −3x² + 34x − 13。−4 要乘進括號內全部三項，其中 −4 乘 −8x 得 +32x 最容易出錯；再依次數合併，5x² − 8x² = −3x²、2x + 32x = 34x、−1 − 12 = −13。

化簡 6(x + 2) − 3x：答案為 3x + 12

答案是 3x + 12，也可寫成因式分解形式 3(x + 4)。先把 6 分配到括號內兩項得 6x + 12，再合併 6x 與 −3x 成 3x，常數 12 沒有同類項可以配對。

化簡 (6x − 6) ÷ (12x² + x(x² − 2x + 1))：無法再約分

答案是 6(x − 1)/(x(x² + 10x + 1))。分母提出 x 後，括號內展開整理成 x² + 10x + 1；代 x = 1 得 12 ≠ 0，可知它不含 x − 1 這個因式，所以分式已經最簡。

化簡 6x(x − y)² + 3(y − x)³：答案為 3(x − y)²(x + y)

答案是 3(x − y)²(x + y)。因為 y − x = −(x − y)，奇次方會把負號留下來，第二項變成 −3(x − y)³；再提出公因式 3(x − y)²，括號內 2x −(x − y) 化為 x + y。

化簡 7 · 11 · x · x · y · x · y · x²：答案為 77x⁵y²

答案是 77x⁵y²。先依種類把因式重新排好，數字相乘得 77；三個單獨的 x 加上一個 x²，指數相加得 x⁵，兩個單獨的 y 則得 y²。

化簡 7(f + 4) + 2(3f − 8)：答案為 13f + 12

答案是 13f + 12。兩個括號展開後得 7f + 28 + 6f − 16，f 項相加成 13f，常數 28 與 −16 合併成 12；注意 2 乘 3f 得 6f，把係數相加寫成 5f 是常見錯誤。

化簡 (7y − 3z) − 3(2y − z)：答案只剩下 y

答案就是 y。把 −3 分配進去得 −6y + 3z，z 項完全抵消，只剩 7y − 6y = y；整個式子與 z 無關。最常見的錯是漏掉 −3 乘 −z 等於 +3z 這一次變號。

化簡 8 − 9[7 − (3y − 6)]：答案為 27y − 109

答案是 27y − 109。多層括號只有一種安全順序：由內而外。先得 7 − 3y + 6 = 13 − 3y，再把 −9 連著負號一起分配進去得 8 − 117 + 27y，最後合併成 27y − 109。

化簡 8(5y − 4) + 3(4y + 7)：答案為 52y − 11

答案是 52y − 11。兩個括號各自展開得 40y − 32 + 12y + 21，再把 y 項與常數項分開合併；52y 與 −11 不是同類項，寫成 41y 之類的東西就錯了。

化簡 8(x² − 2y²) − x(7x + y) + xy：答案為 (x − 4y)(x + 4y)

答案是 x² − 16y² =(x − 4y)(x + 4y)。兩個 xy 項恰好互相抵消，只剩 x² − 16y²；因為 16y² =(4y)²，正好可以套平方差公式分解。

化簡 8a²b ÷ 4ab²：答案為 2a/b

答案是 2a/b，成立條件為 a ≠ 0 且 b ≠ 0。係數 8/4 = 2，a 的指數相減後留在分子，b 的指數 1 − 2 = −1 表示這個因式該搬到分母去。

化簡 9(m + n)² − (m − n)²：答案為 4(m + 2n)(2m + n)

答案是 8m² + 20mn + 8n² = 4(m + 2n)(2m + n)。把 9(m + n)² 寫成 (3m + 3n)²，整個式子就變成單純的平方差，可以直接套用 A² − B² 的公式，省下展開再重新分解的工夫。

化簡兩個二次分式相除的繁分式：答案為 (y − 4)/(y + 1)

答案是 (y − 4)/(y + 1)。把四個二次式全部因式分解，其中 4y² + 4y + 1 是完全平方；除以下面那個分式就是乘上它的倒數，接著 (3y − 1) 與 (2y + 1)² 全部約掉。

化簡含 x + 3 分母的四項式：答案為 2(x + 1)(x³ − 2x² − 3x − 2)

答案是 2(x + 1)(x³ − 2x² − 3x − 2)，條件為 x ≠ −3。先把 x² − 9 分解讓 x + 3 約掉，四項就都含有公因式 x + 1；剩下的三次式沒有有理根，在有理數範圍內不能再分解。

化簡 (x+1)³ − 2(x+1)²(x−1) − (x+1)(x−1)² + 2(x+1)³：得 4(x+1)(2x+1)

答案是 8x² + 12x + 4 = 4(x + 1)(2x + 1)。首尾兩項是同類項可先併成 3(x + 1)³，提出公因式 x + 1 後括號內的 x² 項全數抵消，三次的式子竟塌成二次式。

化簡 ((a−2)/(a+2) − (a+2)/(a−2)) ÷ (12a²/(4−a²))：答案為 2/(3a)

答案是 2/(3a)，條件為 a ≠ 0 且 a ≠ ±2。括號通分後化成 −8a/(a² − 4)；除以分式改成乘倒數，再用 4 − a² 等於 −(a² − 4) 把號翻過來，兩個二次式相消只剩 2/(3a)。

化簡 8(2t(1−t²) − 2t(−t²−1))/(1−t²)² 減第二個分式：通分成單一分式

第一個分式的括號內三次項全數抵消、只剩 4t，所以它等於 32t/(1 − t²)²。兩個分母沒有公因式，通分後得 (32t(1+t²)² − 10(1−t²)³) 除以 (1−t²)²(1+t²)²。

因式分解 (y−x)²(x+y)² − (x−y)²(x+y)：得 (x−y)²(x+y)(x+y−1)

答案是 (x − y)²(x + y)(x + y − 1)。因為 (y − x)² 等於 (x − y)²，兩項共有 (x − y)²(x + y)；把它提出來之後，第二項留下的是 1 而不是憑空消失。

化簡 (a − 2b)² + 8ab：答案為 (a + 2b)²

答案是 (a + 2b)²。展開後得 a² − 4ab + 4b²，再加上 8ab 使中間項由 −4ab 變成 +4ab，正好把平方裡的正負號翻過來；背後的恆等式是 (a+2b)² −(a−2b)² = 8ab。

化簡 (a − b)/(a + b + 2√(ab)) 乘 (√a + √b)/(√a − √b)：答案為 1

整個式子化簡後等於 1。分母是完全平方 (√a + √b)²，分子則是 √a 與 √b 的平方差；因為 a、b > 0 且 a ≠ b，所有因式都能合法約掉，什麼也不剩。

化簡帶 −1 次方的套疊分式：答案為 2 − a − 2b

答案是 2 − a − 2b。內層括號先化成 (2a + b)/(a + b)，取倒數後一口氣把 (a + b) 與 (2a + b) 都約掉、只剩 a − b；最後外層的減號要把括號內兩個正負號都翻過來。

把 a/x − x 併成單一分式：答案為 (a − x²)/x

答案是 (a − x²)/x，條件為 x ≠ 0。把落單的 x 改寫成 x²/x，讓兩項有相同的分母，再把分子相減即可；分母只寫一次，把它寫成 x² 是常見錯誤。

化簡七次根與立方根的四項乘積：答案為 6√3 x^(62/21)/(35 y^(3/2))

答案是 6√3 x^(62/21)/(35 y^(3/2))。把每個根式都改寫成分數指數，常數收攏成 18/(35√3)，再逐個底數把指數相加，最後替分母的 √3 做有理化。

化簡 (x⁵y⁶z³ ÷ (x⁻⁵y⁻⁶z⁻³))⁻²：答案為 1/(x²⁰y²⁴z¹²)

答案是 1/(x²⁰ y²⁴ z¹²)。先在括號內把指數相減（減去負指數等於相加）得 x¹⁰y¹²z⁶，再把每個指數乘上 −2，最後把三個負指數一起移到分母。

化簡 (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸)/(2¹⁰ + 5·2⁹)：答案為 1/2

答案是 1/2。重點不是把次方算成數字，而是提公因式的技巧：分子提出最小的 2⁸ 得 7·2⁸，分母提出 2⁹ 得 7·2⁹，兩個 7 相消，2 的次方相減得 2⁻¹。

化簡 m⁻²n⁻⁶p⁵ ÷ (m⁷n⁴p⁻³)：答案為 p⁸/(m⁹n¹⁰)

答案是 p⁸/(m⁹ n¹⁰)。每個底數各自把上面的指數減去下面的指數，其中 p 的 5 減 −3 等於 8 要小心雙重負號；指數為負的因式再移到分數線的另一邊即可。

化簡分式的 −4 次方（負指數化為正指數）

答案是 m⁸ / (256 n⁴⁴)。先在括號內約分得 −4m⁻²n¹¹，再把每個因式各取 −4 次方；負底數取偶次方會變成正的。

化簡含根號的分式：答案為 (b² + b√b + 2b − 3√b + 1)/(b + √b − 1)

答案是 (b² + b√b + 2b − 3√b + 1)/(b + √b − 1)。先把 −1 次方的分式翻過來，再令 x = √b 使每一項都成為多項式，約掉 x + 1 之後加上 2√b 通分即可。

化簡 (4a⁻⁸b² ÷ (12a⁷b⁻⁴)) 的 0 次方：答案就是 1

答案是 1。零次方法則說任何非零的量取 0 次方都等於 1；只要先確認底數不為零（負指數已經保證 a ≠ 0、b ≠ 0），括號裡再複雜也完全不必去化簡。

化簡 (a²b + ab²)(a² − ab + b²) − ab⁴ 為單項

整個式子最後只剩 a⁴b。先從第一個括號提出 ab，套用立方和公式展開，ab⁴ 兩項剛好完全消掉。

化簡 (∛a + ∛b) ÷ (2 + ∛(a/b) + ∛(b/a))：答案為 ∛(ab)/(∛a + ∛b)

答案是 ∛(ab)/(∛a + ∛b)。令 x = ∛a、y = ∛b，分母通分後成為 (x + y)²/(xy)；把除法改成乘倒數，x + y 約掉一次，只剩下 xy/(x + y)。

化簡 729x⁶ 的五次方根 ÷ 3x 的五次方根：答案為 3x

答案是 3x。根指數相同的兩個根式可以合併成一個根號，被開方數約成 243x⁵；因為 243 = 3⁵，整體正好是 (3x)⁵，而五次方根是奇次根，不必加絕對值。

化簡 (L² − R²)/(H + R)：分子能分解，但分式約不掉

分子用平方差分解成 (L − R)(L + R)，但分母 (H + R) 和它不是同一個式子，不同字母之間不能相消，所以分式無法再約簡。只有題目另外給定 H = L 時，才會化簡成 L − R。

化簡 −(1/5)(−5x + 10) − 2(3 − 4x)：答案為 9x − 8，選 (A)

答案是 9x − 8，也就是選項 (A)。把 −1/5 分配進去得 x − 2，把 −2 分配進去得 8x − 6，再合併同類項；代入 x = 0、1、3 三個值檢查都吻合。

化簡 f(x) = (−x² − 289)/x 並寫出定義域：答案為 −x − 289/x

答案是 f(x) = −x − 289/x，定義域為 x ≠ 0。分子 −(x² + 289) 是平方和，在實數範圍內無法分解，所以唯一能做的化簡是把分式拆成兩項，再在第一項約掉一個 x。

化簡 −10(9v − 4) + 10v：答案為 −80v + 40

答案是 −80v + 40，也可寫成 40(1 − 2v)。把 −10 分配進去得 −90v + 40，注意 −10 乘 −4 是 +40；再與外面的 10v 合併成 −80v，常數項不受影響。

化簡指數式 (−35a²b³/(7a⁸b⁻⁵))³：答案為 −125b²⁴/a¹⁸

答案是 −125b²⁴/a¹⁸。先把括號內的底數約簡：係數 −35 除以 7 得 −5，a 的指數 2 − 8 = −6，b 的指數 3 減 −5 等於 8；再整體取三次方，奇次方讓結果維持為負。

化簡 (−3x²y⁴)⁵：答案為 −243x¹⁰y²⁰

答案是 −243x¹⁰y²⁰，不是常見的 −27x¹⁰y²⁰。乘積取次方時，括號內每個因式（係數也算）都要取五次方：(−3)⁵ = −243，而 x 與 y 的指數各乘上 5。

化簡 −(−9q + 3r) + 6r − 2(−4r + 9q)：答案為 −9q + 11r

答案是 −9q + 11r。三組項裡有兩組前面帶負的乘數，括號內每一項都要變號：−(−9q + 3r) 得 9q − 3r，−2(−4r + 9q) 得 8r − 18q，之後再分別合併 q 項與 r 項。

化簡含 −1 次方的分式運算

整個式子最後只剩 a。先把每個括號通分成單一分數，第二個因為 −1 次方要上下顛倒，約分後再減掉最後的 3b。

化簡 √27 − √2(2√6 − √8)：答案為 4 − √3

答案是 4 − √3。先把 √2 分配進括號得 2√12 − √16 = 4√3 − 4，再把 √27 化成 3√3；相減時括號前的減號會讓 −4 變成 +4，這一步最常被漏掉。

用根式乘法法則化簡 √(3x)·√(21x)：答案為 3x√7

答案是 3x√7。兩個根號先併成 √(63x²)，因為 63 = 9 × 7 可以提出一個 3；題目已假設 x ≥ 0，所以 √(x²) 直接寫成 x，不必加絕對值符號。

化簡 √45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 得 2√5 − √3，a + b = 1

答案是 2√5 − √3；對照 a√3 + b√5 得 a = −1、b = 2，所以 a + b = 1。關鍵一步是把 √10/√2 直接併成 √5，再把 3/√3 有理化成 √3。

用商法則化簡 √(48x¹²)/√(2x)：答案為 2x⁵√(6x)

答案是 2x⁵√(6x)。先用商法則把兩個根號併成一個，根號內相除得 24x¹¹，再把完全平方因數 4 與 x¹⁰ 提到根號外；因為 x > 0，不必加絕對值。

化簡 √6(√54 − √(1/6)) + √((−7)²) − (−2√6)² 得 0

三個部分分別是 17、7 與 24，整個式子等於 0。兩個陷阱是 √((−7)²) = 7 而不是 −7，以及 (−2√6)² = 24 而不是 −24。

化簡 (√a + 1)/(a − 1)：拆成平方差後得 1/(√a − 1)

答案是 1/(√a − 1)，適用範圍為 a ≥ 0 且 a ≠ 1。關鍵是把分母 a − 1 寫成 (√a − 1)(√a + 1)，再約掉公因式 √a + 1。

用乘法法則化簡 √(x³)：答案為 x√x

答案是 x√x。把 x³ 拆成 x²·x，再用 √(ab) = √a·√b 拆開根號；因為題目假設 x ≥ 0，所以 √(x²) 直接寫成 x，不必加絕對值。

化簡 (x+1)³ − 2(x+1)²(x−1) − (x+1)(x−1)² + 2(x−1)³ 得 −4x² + 12x

答案是 −4x² + 12x，可再因式分解為 4x(3 − x)。把最後一項從 2(x+1)³ 換成 2(x−1)³ 之後，答案完全不同：原本是 8x² + 12x + 4。

化簡 √(20x²y²/z⁵)：答案為 2|xy|√(5z)/z³

答案是 2|xy|√(5z)/z³，其中 z > 0。先把 20 拆成 4×5、z⁵ 拆成 z⁴·z，開偶次方時 x 與 y 要保留絕對值，最後再把分母剩下的 √z 有理化。

用乘法法則化簡 √(405x²)：答案為 9|x|√5

答案是 9|x|√5。把 405 分解成 81×5，用 √(ab) = √a·√b 拆開根號；因為 √(x²) = |x|，絕對值不能省略，否則 x 為負時會算出負值。

化簡 √(−140)：用虛數單位 i 得 2i√35

答案是 2i√35。先把虛數單位提出來寫成 i√140，再把 140 拆成 4×35，把 √4 = 2 移到根號外；剩下的 35 = 5×7 不含平方因數。

化簡 3a/2 + a² − 4a/5 − 3a² 得 −2a² + 7a/10

答案是 −2a² + 7a/10。二次項合併得 1 − 3 = −2；一次項要先通分，3/2 − 4/5 = 15/10 − 8/10 = 7/10，兩類同類項不能互相合併。

化簡 (3x²+4)² + (3x²−4)² − 2(3x²+4)(3x²−4) 得 64

答案是常數 64。令 a = 3x²+4、b = 3x²−4，整個式子就是 (a−b)²，而 a − b = 8，所以答案裡完全沒有 x。

化簡 (x − 78000)×0.055 + 1280 得 0.055x − 3010

答案是 0.055x − 3010。展開後 78000 × 0.055 = 4290，再與 1280 合併得常數 −3010，兩步驟的級距規則就化成一條斜截式直線。

化簡 (x + 1)³ − (x − 4)(x + 4) − x³ 得 2x² + 3x + 17

答案是 2x² + 3x + 17。兩個三次項互相消掉，平方差 (x−4)(x+4) 貢獻 −x² + 16，最後只剩一個二次式，而且判別式為負、沒有實根。

化簡 (x + 1) × 0.79 × 1.15 × 1.3 × 1.3 × 1.15 得 1.76566975(x + 1)

答案是 1.76566975(x + 1)。把重複的因數寫成 1.15² 與 1.3²，五個連續乘數併成單一乘數 1.76566975，需要一次式時再展開。

化簡 (x+2)³ + (x−2)³ + x³ − 3x(x+2)(x−2) 得 36x

整個式子化簡為 36x。兩個立方相加時 x² 項與常數項成對相消，−3x 那一項貢獻 −3x³ + 12x，所有 x³ 項恰好全部消掉。

化簡 (x + 2)(x − 3) + x 得 x² − 6

答案是 x² − 6。展開乘積得 x² − x − 6，落單的 +x 恰好把 −x 抵消，結果連一次項都沒有，只剩下一個二項式。

化簡 (x+3)² + (x−2)² − 2(x+3)(x−2) 得常數 25

整個式子等於常數 25。認出 A² + B² − 2AB = (A − B)² 的結構，兩底相減得 (x+3) − (x−2) = 5，所以所有 x 的項全部消失。

化簡 (x+4)² − (x²+8x+16)：答案恆為 0

答案對每一個 x 都是 0。(x+4)² 展開後正好是 x² + 8x + 16，括號整個減掉同一個三項式，逐項相消，所以這是恆等式而不是方程式。

化簡 (x+y)(x−y) + 4(y−1) 得 (x−y+2)(x+y−2)

展開後是 x² − y² + 4y − 4，把後三項重新分組成 −(y−2)²，整式變成 x² − (y−2)²，再用一次平方差分解成 (x−y+2)(x+y−2)。

化簡 (x+y)(x−y) + y(y−2) 得 x² − 2y

答案是 x² − 2y。第一個乘積用平方差得 x² − y²，第二個分配後得 y² − 2y，兩個 y² 剛好互相抵消。

化簡 x² − 3(x/2 + √5)² 得 x²/4 − 3x√5 − 15

答案是 x²/4 − 3x√5 − 15。括號平方得 x²/4 + x√5 + 5，乘 3 再相減後 x² 只剩四分之一，交叉項留下 −3x√5。

化簡 (x² − 9)/(x + 3) 得 x − 3，且 x ≠ −3

答案是 x − 3，但必須註明 x ≠ −3。把 x² − 9 分解成 (x−3)(x+3) 才能約掉公因式；原式在 x = −3 有一個可去間斷點。

化簡 (x² − xy + y) − 3(x² + xy − 2y) 得 −2x² − 4xy + 7y

答案是 −2x² − 4xy + 7y。分配 −3 得 −3x² − 3xy + 6y，注意 −3 乘 −2y 等於 +6y；x²、xy、y 三類同類項各自合併。

化簡 x² + 3² + 1：先算次方，得 x² + 10

答案是 x² + 10。3² 是純數字 9，與 1 合併成 10；x² 帶著變數不是同類項，不能與常數相加，所以保持不變。

化簡 (x²+3x−10)/(x²−4) 得 (x+5)/(x+2)，x ≠ ±2

答案是 (x+5)/(x+2)，且 x ≠ 2、x ≠ −2。分子分母各自因式分解後約掉共同的 (x−2)，被約掉的因式在 x = 2 留下一個洞。

化簡 (x^a)^(−b)：答案為 x^(−ab)，也就是 1/x^(ab)

答案是 x^(−ab)，等價於 1/x^(ab)。次方的次方要把指數相乘而不是相加，負號再把整個式子搬進分母；運算需要 x ≠ 0。

求通過 (2, 5) 與 (3, −3) 的直線斜率：m = −8

斜率是 m = −8。y 的變化量為 −3 − 5 = −8，x 的變化量為 3 − 2 = 1，相除即得；負斜率代表每往右一格就下降 8 格。

求通過 (2, −4) 與 (6, 4) 的直線斜率：m = 2

斜率是 m = 2。代入公式得 (4 − (−4))/(6 − 2) = 8/4，分子裡的雙重負號要變成加法，這正是本題真正的考點。

求通過 (8, 5) 與 (10, 7) 的直線斜率：m = 1

斜率是 m = 1。公式給出 (7 − 5)/(10 − 8) = 2/2 = 1，鉛直變化量與水平變化量相等，所以這條線與 x 軸夾 45 度。

求通過 (−1, −2) 與 (−4, −1) 的直線斜率：m = −1/3

答案是 m = −1/3。鉛直變化量是 +1，水平變化量是 −3，所以負號來自分母，而不是那兩個負座標本身。

以 5 為底的對數不等式：最小整數解

答案是 17。把 2log₅(√x + 2) 併成一個平方的對數，因為底數 5 > 1 可直接比較真數，x 項相消後得 28 < 7√x，故 x > 16。

三個連續整數和為 96：最小的是 31

這三個整數是 31、32、33，最小的是 31。設最小的為 x，解 3x + 3 = 96 得 x = 31，正好就是題目要的答案。

y = 2/(x−2) − 1 與 y = 2|x−2| − 4 的完整解只有 (4, 0)

唯一的解是 (4, 0)。代換 u = x − 2 得 2/u + 3 = 2|u|；u > 0 時解得 u = 2，u < 0 時判別式為 −7，沒有實根。

x² + px + q < 0 解為 (−1/2, 1/3) 時，qx² + px + 1 > 0 的解是 (−2, 3)

兩根 −1/2 與 1/3 給出 p = 1/6、q = −1/6。代入後第二個不等式化成 x² − x − 6 < 0，解集合是開區間 (−2, 3)。

解 0.15x + 0.15x = 87870 得整數解 x = 292900

答案是 x = 87870/0.30 = 292900，剛好是整數。兩個相同的項合併成 0.30x，而 878700 的數字和 30 是 3 的倍數，所以除得盡。

解 0.6x − 402.8 = 5x/9 − 360 得 x = 963

答案是 x = 963。把 0.6 寫成 27/45、5/9 寫成 25/45，兩個 x 的係數只差 2/45，所以常數差 42.8 被放大了 22.5 倍。

解 0.8(1 + x/10000) = 5 得 x = 52500

答案是 x = 52500。兩邊除以 0.8 得 1 + x/10000 = 6.25，減 1 得 x/10000 = 5.25，再乘 10000；驗算時 0.8 × 6.25 = 5 恰好成立。

解 0.85x + 0.85x = 87870：合併成 1.7x，x ≈ 51688.24

x = 87870/1.7 = 878700/17，四捨五入到小數第二位是 51688.24。兩個一樣的項合起來是 1.7x，而精確的商 51688 + 4/17 是不會終止的小數。

解 0.85x × 1.09 × 0.7 = 3250000/2：x ≈ 2505589.39

答案是 x = 2,505,589.39。先把右邊除以 2 得 1,625,000，再把 0.85、1.09、0.7 乘成單一係數 0.64855，最後相除還原出 x。

解 0.85x × 1.09 × 0.85 = 3250000/2：x ≈ 2063426.56

答案是 x = 2,063,426.56。先把右邊化簡成 1,625,000，再把三個倍率併成 0.787525，然後相除——這是打兩次折、漲一次價的連乘鏈。

解 0.78x = 50：精確答案是分數 2500/39

答案是 x = 2500/39，約 64.103。除以 0.78 等同於乘以 50/39，這樣算出來是精確值，而不是一個四捨五入後的小數。

解 0.8(x + 100) = 160：先除再拆括號，答案 x = 100

答案是 x = 100。先兩邊除以 0.8，一步就得到 x + 100 = 200，比把 0.8 乘進括號裡更快也更乾淨。

解 0.8x − 100 = 160：小數係數的一次方程式，x = 325

答案是 x = 325。兩邊先加 100 得 0.8x = 260，再除以 0.8——因為 0.8 就是分數 4/5，除以它等同於乘以 5/4。

解 0.8X − 1200 = 320：兩步解出 X = 1900

答案是 X = 1900。先加 1200 得 0.8X = 1520，再相除——除以 0.8 等同於乘以 1.25，所以數值會變大。

解 0.8x − 400 = 240：乘以 5/4 得 x = 800

答案是 x = 800。兩邊加 400 得 0.8x = 640，而 0.8 就是 4/5，所以把 640 乘上 5/4 就能直接得到答案，完全不用做小數除法。

解 0.98x + 22.54 = 0.99x：兩邊只差 0.01x，x = 2254

答案是 x = 2254。兩個含 x 的項只差 0.01x，所以常數 22.54 要除以 0.01——差一個百分點，就把根放大了一百倍。

由 1.35 = C − 0.15B 解出 C 與 B：兩個變數各自的表示式

答案是 C = 1.35 + 0.15B 與 B = (C − 1.35)/0.15。加上 0.15B 就能把 C 單獨留下；要解 B 則先把 C 移過去，再除以 −0.15，注意正負號。

解 1.8(X + 100) − X − 200 = 160：先展開，答案 X = 225

答案是 X = 225。把 1.8(X + 100) 展開成 1.8X + 180，合併同類項得到 0.8X − 20 = 160，兩邊加 20 後再除以 0.8 就完成了。

解不等式 1 − (x+6)/2 < (2x+1)/3：用最小公分母 6

答案是 x > −2。兩邊同乘 6 之後不等式變成 6 − 3(x + 6) < 2(2x + 1)，整理同類項後化簡成 −14 < 7x。

解 1/2.7421 = 1/2.7 + 1/x：x 會是負的 −175.86

答案是 x = −175.86。因為 2.7421 比 2.7 大，兩個倒數相減會是負的，所以 1/x = −0.0421/7.40367，x 本身必然為負。

解 1/2.7421 = 1/3.3 + 1/x：答案 x = 16.2196

答案是 x = 16.2196，不是 16.2214。把 1/x 單獨留下得 (3.3 − 2.7421)/(2.7421 × 3.3) = 0.5579/9.04893，再把這個商取倒數就完成了。

解 1/2.7821 = 1/3.3 + 1/x：把商取倒數得 17.7272

答案是 x = 17.7272。把 1/x 單獨留下得 (3.3 − 2.7821)/(2.7821 × 3.3) = 0.5179/9.18093，再對這個分數取倒數就直接得到答案。

解 1/(3x + 11) = 1/(9x + 5)：兩分母相等得 x = 1

答案是 x = 1。兩個分子為 1 的分數相等且分母都不為零時，分母必須相等，所以 3x + 11 = 9x + 5，代入後兩邊分母都是 14。

解 1/(6x + 8) = 5：兩邊取倒數得 x = −1.3

答案是 x = −1.3。交叉相乘得 1 = 30x + 40，於是 30x = −39；這個根剛好避開了不合法的 x = −4/3。

由 1/x + 1/y = 8 解出 y：y = x/(8x − 1)

答案是 y = x/(8x − 1)，其中 x 不能是 0 也不能是 1/8。把左邊通分得 x + y = 8xy，再把含 y 的項湊在一起就能把 y 提出來。

解聯立 1/x + 1/y = −1 與 3/x − 2/y = 7：x = 1、y = −1/2

答案是 x = 1、y = −1/2。令 a = 1/x、b = 1/y，非線性的聯立方程式就變成普通的一次聯立，用消去法兩行就解完。

解 1/((x+1)(x+3)) + 9/((x−1)(x+5)) = −1：x = −2 ± √3

兩個分母都可以寫成 x² + 4x 再加一個常數，所以令 v = x² + 4x 得 v² + 8v + 7 = 0。只有 v = −1 能給出實數解，即 −2 ± √3。

解 1/(x(x+2)) − 1/(x+1)² = 1/12：令 u = (x+1)² 得 x = 1 或 −3

因為 x(x+2) = (x+1)² − 1，令 u = (x+1)² 後方程式變成 1/(u−1) − 1/u = 1/12，即 u² − u − 12 = 0。只有 u = 4 合法，給出 x = 1 或 x = −3。

解不等式 (1 + x)/3 < x − 1：去分母後得 x > 2

答案是 x > 2，也就是區間 (2, ∞)。兩邊同乘正數 3 得 1 + x < 3x − 3，整理同類項後剩下 4 < 2x，不等號方向全程不變。

解 (1 + x)¹⁰ − 10.7347x = 1：兩個實根 0 與 0.0156549

實數解是 x = 0 與 x = 0.0156549。先看出明顯的根 x = 0，再找出唯一的極小點 x = 0.0079085，就能證明實根恰好只有兩個。

解 1 × (1 − x) = 0.1：它是一次式，不是二次式

答案是 x = 0.9。乘以 1 什麼都沒改變，所以方程式其實就是 1 − x = 0.1，這是一次方程式，恰好只有一個解。

解不等式 10x + 6 > 12x − 4：不必反轉不等號，x < 5

答案是 x < 5。把含 x 的項移到右邊可以讓係數保持是正的，所以最後除以 2 時不等號方向完全不用動。

解 12/((x+1)(x+5)) + 15/((x+2)(x+4)) = 2：令 u = x² + 6x

兩個分母展開後都是 x² + 6x 再加一個常數，所以令 u = x² + 6x，方程式變成 12/(u+5) + 15/(u+8) = 2，即 2u² − u − 91 = 0，得 u = 7 或 −13/2。

解含 13% 括號項的大數一次方程式：x ≈ 104022.99

答案是 x = 104022.99。先把 13% 的括號乘開，方程式就化成 139732000 = 1343.28x，把所有含 x 的項收到同一邊後只剩一次除法。

解 122400000 + 2.72x + 13% 括號 = 1200x：x ≈ 103254.32

答案是 x = 103254.32。左邊括號外只有 2.72x，所以合併後的係數是 1353.28，剩下一次除法就解完了。

解 (12812 × 1.0398 − x)/x = 10%：x ≈ 12110.83

答案是 x = 12,110.83。先算出 12812 × 1.0398 = 13,321.9176，去分母得 13,321.9176 = 1.1x，再除以 1.1 就把 10% 的加成剝掉了。

解 12x³ + 4x² − 16x = 0：提出 4x 得三根 0、1、−4/3

三個根是 x = 0、x = 1 與 x = −4/3。先把兩個三次項合併，再提出公因式 4x，最後把剩下的二次式 3x² + x − 4 分解。

解 13 = (87 + 82)/x：未知數在分母，答案 x = 13

答案是 x = 13。先把分子加起來得到 169，兩邊同乘 x 得 13x = 169，再除以 13——因為 169 正好是 13 的平方。

解 14 = (108 + 84)/x：答案化到最簡分數 96/7

答案是 x = 96/7，約 13.714。相加後得 192/x = 14，接著 192/14 還要約掉公因數 2 才是最簡分數。

解 14 − 4(t − 5) = 10 − t：負號乘進括號，t = 8

答案是 t = 8。把 −4 乘進 (t − 5) 得到的是 +20 而不是 −20——這個正負號正是大多數人解這條方程式時出錯的地方。

解 (148 + 200)/x = 0.05：未知的分母是 6960

答案是 x = 6960。先把分子加起來得 348/x = 0.05，再交叉相乘——除以 0.05 等同於乘以 20。

解 14x + 4 − (6x + 2) = 8x + 2：這是恆等式，不是單一解

每個實數都是解。把負號乘進括號之後，兩邊都化成 8x + 2，所以這是一條恆等式，有無限多個解。

解 (158 + 159)/x = 7.8：未知的除數是 1585/39

答案是 x = 317/7.8 = 1585/39，約 40.64。先把分子加起來，再交叉相乘——而且要注意這個小數是不會終止的。

解 1600 = 1.5x：精確答案是 3200/3，約 1066.67

答案是 x = 3200/3，約 1066.67。把 1.5 改寫成 3/2，再讓 1600 乘上倒數 2/3；小數是循環的，所以分數才是精確答案。

解 (1600 × 11.0006)/100 + 0.13x = x：逐步還原出 x ≈ 202.31

答案是 x = 202.31（精確值是 176.0096/0.87）。先把常數化簡成 176.0096，再把含 x 的項合併成 0.87x，最後相除就還原出含稅總額。

解 16000000 × 11.0006 + 0.13x = x：還原總額 202,309,885.06

答案是 x = 202,309,885.06。先把常數算成 176,009,600，兩邊同減 0.13x 得到 0.87x，再除以 0.87 就把基數還原成總額。

解 (16939 − x)/x = 0.923：去分母後得 x ≈ 8808.63

答案是 x = 16939/1.923 = 8808.63。兩邊乘上 x 再加上 x，方程式就變成 16939 = 1.923x，這其實就是「x = 總額 ÷ (1 + 比例)」換了個樣子。

解 2 < |x + 1| ≤ 3：兩個集合的交集 [−4, −3) ∪ (1, 2]

答案是 [−4, −3) 聯集 (1, 2]。外側的不等式給出兩條射線，內側的給出一條帶狀區間，兩者的交集就是兩段短區間。

解 2/(x + 10) = −5：檢查排除值後得 x = −52/5

答案是 x = −52/5，也就是 −10.4。兩邊乘上 x + 10 得 2 = −5x − 50，求出的根要先和排除值 x = −10 比對過才能採用。

解 2πRk sin α − 2πak = mg tan α/(2π) 求 k：k = mg tan α/(4π²(R sin α − a))

答案是 k = mg tan α / (4π²(R sin α − a))。左邊兩項先提出公因式 2πk，再兩邊同除；右邊原本就有的 2π 與新除的 2π 相乘，分母才會出現 4π²。

化簡左邊解 2 + (5 − 8) = 2 + x，得 x = −3

答案是 x = −3。左邊純粹是算術：5 − 8 = −3，再 2 + (−3) = −1，於是 −1 = 2 + x，兩邊同減 2 就得到 x = −3。更快的做法是把兩邊的 +2 直接對消。

變數代換 t = x − 1/x 解 2(x²+1/x²) − 11(x−1/x) + 8 = 0：四根 2±√5、2、−1/2

四個根是 2+√5、2−√5、2 與 −1/2。這裡 x² + 1/x² = t² + 2（注意是加 2），方程式化成 2t² − 11t + 12 = 0，解得 t = 4 或 3/2，再各自還原成 x。

用二分法數值解 2ˣ + x = 5：x ≈ 1.71562

答案是 x ≈ 1.71562。指數項和一次項混在一起沒有公式解，只能先把根夾在 1 與 2 之間，再用二分法收斂。取到小數第三位是 1.716，不是 1.717。

代換 t = 2ˣ 解 1 + 11/(2ˣ−8) + 28/(4ˣ−2ˣ⁺⁴+64) ≥ 0：x ≤ 0 或 x ≥ 2 且 x ≠ 3

解是 x ≤ 0 或 x ≥ 2，且 x ≠ 3。代換 t = 2ˣ 後，第二個分母化成完全平方 (t − 8)²，再令 u = t − 8，整個不等式收成 (u + 4)(u + 7) ≥ 0。

解 20(16 − x) = 12(20 − x) 找平衡點：x = 10

答案是 x = 10。展開後得 320 − 20x = 240 − 12x，於是 80 = 8x；從兩個括號各拿掉 10，兩邊的加權量就會一起平衡在 120。

解 20x − 2 − (4x + 2) = 6 + 2x：x = 5/7

答案是 x = 5/7。拆括號時 −(4x + 2) 要變成 −4x − 2，於是得到 16x − 4 = 6 + 2x，也就是 14x = 10，分數 10/14 再約分成 5/7。

解 20x + 10x = 100 並約分：x = 10/3

答案是 x = 10/3，約等於 3.33。合併同類項得 30x = 100，而 100/30 必須用公因數 10 約掉，不能就這樣留著當答案。

解 20x + 10x = 1815，把 1815/30 約成 121/2

解是 x = 121/2，恰好等於 60.5。合併同類項得到 30x = 1815，再把分子與分母共同的因數 15 約掉就好。

解 20x + 10x = 2000，答案保留分數 200/3

解是 x = 200/3，約等於 66.67。合併同類項得 30x = 2000，而 2000/30 約分後是 200/3，這個數沒有精確的小數形式。

十字交乘失效時解 21x² + 68x − 85 = 0：x = (−34 ± √2941)/21

兩個解是 x = (−34 + √2941)/21 與 x = (−34 − √2941)/21。找不到任何一組整數乘積為 −1785 且和為 68，所以只能改用一元二次方程式的公式解。

解 2400 = 2210 − (2000/180)(5/3)X：X = −10.26，為什麼會是負的

答案是 X = −10.26。先把係數化簡成 500/27，兩邊同減 2210 得到 190 = −(500/27)X；正因為 2400 大於 2210，負號才會被保留下來。

解 25 = (200 + 200)/x 求未知的除數：x = 16

答案是 x = 16。先把分子相加得到 400/x = 25，再交叉相乘——這個答案數的是 400 裡面裝得下幾份大小為 25 的量。

解 250t = 100t + 3000 求損益兩平時間：t = 20

答案是 t = 20。兩邊同減 100t 剩下 150t = 3000，也就是較快的那個速率要走 20 個時間單位，才追得平 3000 的固定領先。

用乘 2/3 解 2560 = 1.5x：x = 5120/3 ≈ 1706.67

答案是 x = 5120/3，約 1706.67。因為 1.5 = 3/2，除以 1.5 就等於乘上 2/3，這樣能把答案保留成精確值，而不是無限循環的小數。

解 25x² + 10x = 6 並化簡 √700：x = (−1 ± √7)/5

兩個解是 x = (−1 + √7)/5 與 x = (−1 − √7)/5。判別式是 700，把 √100 提出來之後，10√7 除以 50 就約到了最簡形式。

用 u = x² 解 25x⁴ + 10x² − 4 = 0：實根為 ±√((√5−1)/5) ≈ ±0.497

實數解是 x = ±√((√5 − 1)/5)，約 ±0.497。代換 u = x² 後得 u = (−1 ± √5)/5，其中負的那個根再開方，會給出兩個純虛數解。

看出完全立方解 27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0：x = 2/3 是三重根

答案是 x = 2/3，而且是三重根。左邊剛好就是 (3x − 2)³，因為 27x³ = (3x)³、8 = 2³，中間兩項也正好對上 −3a²b 與 +3ab²。

解 281.45 = x + 53.23 + 0.05x/(1 − 0.05)：x = 216.809

答案是 x = 216.809。分數 0.05/0.95 剛好約成 1/19，方程式便塌成 228.22 = (20/19)x，於是 x = 228.22 × 19/20。

解 286.2 + 3.3x = 316 + 2x，精確值是 298/13

x = 298/13 = 22.9231。合併同類項得到 1.3x = 29.8，把小數清掉後就看得出精確值是 298/13，它是一個無限循環小數。

解 295 = x + 9.2 + 0.0152x/(1 − 0.0152)：x ≈ 281.46

答案是 x ≈ 281.46。把 x 項收在一起得到 1.01543461x = 285.8，因為手續費那個分數 0.0152/0.9848 不過是 x 的另一個係數。

解 295 = x + 0.0152 × (0.0152x)/(1 − 0.0152)：x = 294.9308

答案是 x = 294.9308，不是有時被引用的 111.241。兩個 1.52% 會相乘，係數只剩 0.00023461，所以 x 幾乎沒有離開 295。

用 x = 總量/(1 + r) 解 (2981 − x)/x = 4.3043：x = 562.00

x = 2981/5.3043 = 562.00。兩邊同加 x 得 2981 = 5.3043x，也就是 x = 總量/(1 + 比值)；剩下的 2419.00 恰好是 x 的 4.3043 倍。

解 2x = 2ˣ：為什麼恰好只有 x = 1 與 x = 2 兩個根

答案是 x = 1 與 x = 2。一條直線與凸的指數曲線最多只能相交兩次，所以兩個整數根一找齊，就能證明搜尋已經完備。

用平方差解 (2x − 1)² − x² = 0：x = 1 與 x = 1/3

兩個根是 x = 1 與 x = 1/3。先認出 (2x − 1)² − x² 是平方差 a² − b²，分解成 (x − 1)(3x − 1)，再用乘積為零的性質。

用乘積為零的性質解 (2x − 1)(3x + 7) = 0：x = 1/2 或 −7/3

x = 1/2 或 x = −7/3。方程式已經分解好了，所以只要讓每個括號各自等於零，再解出那兩個一次方程式就行。

兩步解不等式 2x − 3 ≤ 5：x ≤ 4，區間是 (−∞, 4]

解是 x ≤ 4，也就是 (−∞, 4]。先加 3 把減法還原，再除以正的 2；因為除數是正的，不等號方向不會改變。

用平方差解 (2x − 3)² − (x − 1)² = 0：x = 2 與 x = 4/3

兩個解是 x = 2 與 x = 4/3。兩項本來就是平方，所以直接按 (A − B)(A + B) 分解，馬上得到 x − 2 與 3x − 4 這兩個一次因式。

去分母解 2x − 5/4 < 3 − x/3：x < 51/28 ≈ 1.8214

答案是 x < 51/28，約 1.8214。每一項同乘最小公倍數 12，就能一次清掉兩個分母，化成 24x − 15 < 36 − 4x。

一次清掉兩個分母解 (2x−5)/4 < (3x−3)/3：x > −1/2

解是 x > −1/2。同乘最小公倍數 12 就能一次清掉兩個分數，而且 12 是正的，所以不等號從頭到尾都不會翻轉。

解 2x − 7 < 3(x − 1) 並把不等號讀回來：x > −4

解是 x > −4。展開之後 x 項會收到右邊，得到 −4 < x，再把未知數寫到前面重讀一次就是答案。

合併分數解 2x − 1/5 < x + 1/2：x < 7/10

解是 x < 7/10。把 x 項收到左邊、分數收到右邊，再用公分母 10 把 1/2 與 1/5 加起來，答案就出來了。

把負號分配進去解 2x − (x − 1) ≤ 1：x ≤ 0

解是 x ≤ 0。括號前面帶負號，所以裡面兩項都要變號，得到 2x − x + 1，整個式子塌成 x + 1 ≤ 1。

兩步解不等式 2x + 1 > x + 6：x > 5

答案是 x > 5。兩邊同減 x 剩下 x + 1 > 6，再同減 1；邊界 x = 5 會讓兩邊都等於 11，所以它被正確地排除在外。

兩步解不等式 2x + 1 > x + 7：x > 6

答案是 x > 6。兩邊同減 x 剩下 x + 1 > 7，再同減 1；全程沒有出現負的除數，所以不等號不會翻轉。

先算完乘積再解 2x + 13·18 + 6·4.4 = 405：x = 72.3

答案是 x = 72.3。先把 13×18 = 234 與 6×4.4 = 26.4 算出來再碰 x，方程式一步就化成 2x + 260.4 = 405。

兩步還原運算解 2x + 2 = 10：x = 4

答案是 x = 4。兩邊同減 2 得到 2x = 8，再除以 2；先還原加法、後處理乘法，過程才會最單純。

帶參數解 2x + 2λx + μ = 0：x = −μ/(2(1 + λ))

當 λ ≠ −1 時解是 x = −μ/(2(1 + λ))。若 λ = −1，x 項會互相抵消，此時除非 μ = 0（那時任何 x 都成立），否則無解。

解 2x + 2λx + μ = 0，連 λ = −1 的兩種情形一起討論

只要 λ ≠ −1，解就是 x = −μ/(2(1 + λ))。若 λ = −1 則 x 項消失：μ = 0 時每個實數都是解，μ ≠ 0 時無解。

先展開再解 (2x + 3)² − 4x² = 51 − 9x：x = 2

x = 2。展開 (2x + 3)² 之後 4x² 項剛好互相抵消，看起來像二次的方程式便塌成一次方程式 12x + 9 = 51 − 9x。

用代入消去法解 2x + 3y = 7、x − y = 1：x = 2、y = 1

解是 x = 2、y = 1。先由第二式解出 x = y + 1，代進第一式得到 5y + 2 = 7，求出 y 之後再回代求 x。

兩步解 2x + 5 = 13 並驗算：x = 4

解是 x = 4。兩邊同減 5 得到 2x = 8，再除以 2 得 x = 4，代回去剛好還原成 13，完全符合原式的要求。

用公式解解 2x² = 2x + 1：x = (1 ± √3)/2

兩個答案是 x = (1 + √3)/2 與 (1 − √3)/2。判別式 12 不是完全平方數，所以兩根都是無理數，十字交乘不可能成功。

拆中間項解 2x² − 5x + 3 = 0：x = 1 與 x = 3/2

兩個解是 x = 1 與 x = 3/2。首項係數是 2，所以要用乘積 2 × 3 = 6、和為 −5 的那組因數把 −5x 拆開，也就是 −2 與 −3。

解 2x² − x − 15 = 0：分解成 (2x + 5)(x − 3)，根為 3 與 −5/2

兩根是 x = 3 與 x = −5/2。先找乘積 ac = −30、和為 −1 的兩個數（也就是 5 與 −6），把中間項拆開後再分組分解。

拆中間項解 2x² − x − 6 = 0：x = 2 與 x = −3/2

兩根是 x = 2 與 x = −3/2。先找乘積 ac = −12、和為 −1 的兩個數，也就是 3 與 −4，把 −x 拆成 3x − 4x，再分組分解成 (2x+3)(x−2)。

分解成 (2x−1)(x+1) 解 2x² + x − 1 > 0：x < −1 或 x > 1/2

解是 x < −1 或 x > 1/2。把 2x² + x − 1 分解成 (2x − 1)(x + 1) 就能看到兩個根，而開口向上的拋物線在兩根之外為正。

解 3.8x + 7.7y ≤ 40 求 y：一個半平面

答案是 y ≤ (40 − 3.8x)/7.7，大約是 y ≤ 5.19 − 0.49x。除以正的 7.7 不會改變方向，所以區域落在邊界線的下方。

用以 4 為底的對數解 (3×10⁹)/4ˣ < 1：最小整數 x = 16

答案是 x > log₄(3×10⁹)，約 15.74，所以最小的整數是 16。因為 4ˣ 恆為正，整個過程中不等號完全不需要翻轉。

解 3(x − 3) = 5 − 2(2 − 5x)：x = −10/7

答案是 x = −10/7，約 −1.4286。把 −2 分配進 (2 − 5x) 會得到 −4 + 10x，方程式便成為 3x − 9 = 1 + 10x，於是 −10 = 7x。

解 3ˣ = x⁹：兩個根都要，不是只有 x = 27

答案是精確的 x = 27，以及 x ≈ 1.15082。取對數後化成 ln(x)/x = ln(3)/9，那條曲線與水平線恰好相交兩次。

解 3ˣ > 500001x：由兩個交點夾出的解集合

解是 x < 0.0000020000004 或 x > 14.3704368。凸函數 3ˣ − 500001x 只會沉到零以下一次，所以那條直線恰好被穿過兩次。

解 32log₃(x − 5) = 49：x = 5 + 3^(49/32) ≈ 10.3776

答案是 x = 5 + 3^(49/32)，約 10.3776。先把對數孤立出來，改寫成指數形式，再確認 x > 5 讓那個對數確實有定義。

解小數係數方程式 32.63x + 4.545 = 10：x ≈ 0.1672

答案是 x = 5.455/32.63，約 0.16718。先減掉常數再相除——只要兩個動作，而且過程中小數完全不必先清掉。

解 32.63x + 4.545 = 15 並正確四捨五入：x ≈ 0.3204

答案是 x = 10.455/32.63 = 0.32041，四捨五入後是 0.3204，不是 0.3203。小數第五位是 1，所以第四位不進位。

解 (350 + 6X)/16 = (450 − 6X)/9：交叉相乘得 X = 27

答案是 X = 27。兩邊各是一個分數，交叉相乘後得 3150 + 54X = 7200 − 96X，整理成 150X = 4050；代回原式時左右兩邊都等於 32。

解 36 − 36k² > 0：化成 k² < 1，答案 −1 < k < 1

答案是 −1 < k < 1。兩邊同除以正數 36 後剩下 1 − k² > 0，也就是 k² < 1；它的意思是 k 在數線上與原點的距離嚴格小於 1，兩個端點都不算。

解 3600x + 2430000 = x²：兩根為 1800 ± 900√7

答案是 x = 1800 + 900√7 ≈ 4181.18 與 x = 1800 − 900√7 ≈ −581.18。判別式 22680000 剛好等於 (1800√7)²，所以根號拆得乾淨，兩根可以寫成精確的根式。

解 3a² + 24a = −45：先約掉 3，得 a = −3 與 a = −5

答案是 a = −3 與 a = −5。把 −45 移到左邊後，三項係數都能被 3 整除，先約掉再把 a² + 8a + 15 分解成 (a + 3)(a + 5) 最省力。

解 3x⁴ + 8x³ − 4x² − 16x = 0：分解成 x(x+2)²(3x−4)

四個根是 x = 0、x = −2（重根）與 x = 4/3。這題用分組分解會卡住，正確作法是先試出有理根 x = −2，再用除法把三次式拆開。

解 (3x − 2)(3x + 2) − 9(x − 1)x = 0：唯一解 x = 4/9

答案是 x = 4/9，只有一個。兩個乘積裡都含有 9x²，展開後二次項互相抵消，所以這個看起來像二次的方程式其實是一次方程式。

解 (3x − 24)⁴ × 7³ = 2 × 7⁴：無整數解，實根為 8 ± ⁴√14/3

答案是沒有整數解；在實數範圍內兩根為 x = 8 ± ⁴√14 ⁄ 3，約 8.6448 與 7.3552。兩邊同除以 7³ 後剩下 (3x − 24)⁴ = 14，而 14 並不是任何整數的四次方。

解 3x − 2x − 1 ≥ 0：合併同類項後得 x ≥ 1

答案是 x ≥ 1。先把係數 3 與 −2 相加，三項就併成 x − 1 ≥ 0，再移項一次就結束，解集是 [1, ∞)。

解 3x − 5 > 2(x − 2)：先展開括號，得 x > 1

答案是 x > 1。把 2 分配到 x − 2 得到 2x − 4，兩邊再同減 2x；剩下的 x 係數本來就是 1，完全不必做除法。

解 (3x−5)² − 8(3x−5) + 16 = 0：完全平方式，x = 3 為重根

答案是 x = 3，而且是重根。令 u = 3x − 5 之後方程式變成 u² − 8u + 16 = (u − 4)² = 0，於是 u = 4、3x = 9。

解 3x − 6/x − 2 = 8：兩根為 (5 ± √43)/3

答案是 x = (5 + √43)/3 ≈ 3.8525 與 x = (5 − √43)/3 ≈ −0.5191。整式兩邊同乘 x 之後，分式方程式就變成二次方程式 3x² − 10x − 6 = 0。

解 3x + 15 > 30 + 2x：不必做除法，答案 x > 15

答案是 x > 15。兩邊同減 2x 之後 x 的係數剛好是 1，所以把常數 15 移過去以後就能直接把答案讀出來，全程沒有除法。

解 (3x + 4)/4 > 2x − 4：去分母後得 x < 4

答案是 x < 4。兩邊同乘 4 得到 3x + 4 > 8x − 16，接著把未知數往右邊集中，就完全不必去除以一個負數，也就避開了變號的陷阱。

解 3x + 5 = 30 + 5：答案是 x = 10，不是 25/3

答案是 x = 10，不是 25/3。右邊先算成 35，於是 3x = 30 —— 兩邊相同的常數 5 直接相消，根本不會進到除法裡去。

解 3x + 5 = −2|x − 1|：先用正負號判斷，唯一解 x = −7

答案是 x = −7，而且是唯一解。右邊永遠不可能為正，因此 3x + 5 ≤ 0 逼出 x ≤ −5/3，只剩一種情況需要討論。

解 3x + 7 = 22：按相反順序還原運算，得 x = 5

答案是 x = 5。先減掉最後才加上的 7，剩下 3x = 15，再除以一開始乘上 x 的那個 3，最後代回原式驗算。

解 3x + 9 > 6x + 7：把 x 集中到一邊，得 x < 2/3

答案是 x < 2/3。先減去 3x 讓 x 的係數保持為正，再減 7，最後除以 3 —— 這樣走全程都不必除以負數，也就不會有變號的問題。

解不等式 3x + 9 > 7x + 6：逐步求得 x < 3/4

答案是 x < 3/4。先減去 3x 讓係數保持為正，再減 6 得到 3 > 4x，接著除以 4，最後把不等式反過來讀就得到答案。

解 3x² − 48 = 0：直接開根號，得 x = 4 與 x = −4

答案是 x = 4 與 x = −4。式子沒有一次項，可以先整理出 x² = 16 再直接開根號，但正負號一定要補上，否則會漏掉一半的答案。

解 3x² − x = 0：提出公因式 x，得 x = 0 與 x = 1/3

答案是 x = 0 與 x = 1/3。式子沒有常數項，所以 x 是公因式；如果改成兩邊同除以 x，會在不知不覺中把 x = 0 這個根弄丟。

解 3x² + 5x − 6 = 0：公式解得 (−5 ± √97)/6

答案是 x = (−5 + √97)/6 與 (−5 − √97)/6。因為 97 是質數、不是完全平方數，兩根都是無理數，所以這個式子在整數範圍內分解不出來。

解 (4/3)(2 − x) − (x+4)/6 > x/2 + 2：去分母後得 x < 0

答案是 x < 0。先把每一項通分到公分母 6，兩邊同乘 6，合併同類項得到 −12x > 0，最後除以 −12 時不等號要變號。

解 −4.3289x² − 0.9671x + 40.328 = 0：兩根 −3.1660 與 2.9426

兩根是 x ≈ −3.1660 與 x ≈ 2.9426。它們的和 −0.2234 等於 −b/a、乘積 −9.3160 等於 c/a，一次就把兩個小數答案同時驗證完畢。

配方法解 −4.4912x² − 0.5182x + 30.066 = 0：根為 −2.6457 與 2.5303

兩根是 x ≈ −2.6457 與 x ≈ 2.5303。配方後的頂點式是 −4.4912(x + 0.05769)² + 30.0809，於是 x + 0.05769 = ±√(30.0809/4.4912) = ±2.5880，兩根隨即得出。

解 −4.6173x² − 0.2906x + 20.029 = 0：先處理負號，根為 −2.1144 與 2.0515

兩根是 x ≈ −2.1144 與 x ≈ 2.0515。全式先乘上 −1 變成 4.6173x² + 0.2906x − 20.029 = 0，這樣代公式時每個符號都是正的，最不容易出錯。

解 4 − 2m − m + 3 > 0：分兩類合併，得 m < 7/3

答案是 m < 7/3。把常數 4 與 3 併成 7、含 m 的項 −2m 與 −m 併成 −3m，接著把 −3m 移到另一邊，就不必除以負數也不必變號。

解 4.9725x + 0.68175 = 15：保留精確分數 x = 1123/390

答案是 x = 1123/390 ≈ 2.879487。先減掉 0.68175，再除以 4.9725 —— 化成分數再取近似值，才不會掉進四捨五入過早、算成 2.8791 的陷阱。

解 4.9725x + 0.68175 = 20：答案 x = 77273/19890 ≈ 3.885018

答案是 x = 77273/19890 ≈ 3.885018。先減掉 0.68175 得到 19.31825，再除以 4.9725；先化成最簡分數，最後才取近似值。

解 4(−x − 10) < −6(2 − x) − 6x：x 項抵消，答案 x > −7

答案是 x > −7。右邊的 +6x 與 −6x 互相抵消，只剩下常數 −12；最後除以 −4 時不等號要反向。

解不等式 4(x + 1) ≥ x + 2(x − 1)：逐步得 x ≥ −6

答案是 x ≥ −6。兩邊各自展開後得到 4x + 4 ≥ 3x − 2；全程只用到加減，所以不等號從頭到尾都不必變號。

解 4^x = 80：用換底公式得 x = log₄80 ≈ 3.1610

答案是 x = log₄80，約 3.1610。因為 80 不是 4 的整數次方，所以兩邊取對數，用 ln 80 除以 ln 4 就同時得到精確式與近似值。

解 40x + 30x + 30x + 2x² = 450：合併後得 x = −25 ± 5√34

兩根是 x = −25 ± 5√34，約 4.154759 與 −54.154759。先把三項併成 100x，全式除以 2 化成 x² + 50x − 225 = 0，再用公式解。

用公式解 40x² + 98x − 33 = 0：兩根為 3/10 與 −11/4

答案是 x = 3/10 與 x = −11/4。判別式 14884 剛好是 122²，是完全平方數，所以兩根都是有理數，而且 40x² + 98x − 33 可分解成 (10x − 3)(4x + 11)。

解 42x = 750：約分後答案是 x = 125/7

答案是 x = 125/7，約 17.857。相除得到 750/42，而分子分母有公因數 6，約掉一次之後 125 與 7 就互質，不能再約了。

解 4x = 3x² − 7x + 9：三位有效數字下兩根為 2.43 與 1.23

答案是 x = 2.43 與 x = 1.23。全部移到同一邊得到 3x² − 11x + 9 = 0，再用公式解，判別式是 121 − 108 = 13。

解 4x − 0.35(x − 1) = 220.45：答案 x = 4402/73 ≈ 60.3014

答案是 x = 4402/73，約 60.3014。把負號分配進括號後得到 3.65x + 0.35 = 220.45，於是 3.65x = 220.10；相除的結果並不是整齊的 60.3。

解 4x − 0.35(x − 1) = 220.6：合併成 3.65x，答案 x = 4405/73

答案是 x = 4405/73，約 60.3425。展開括號後方程式是 3.65x + 0.35 = 220.6，於是 3.65x = 220.25，相除得到的是無限循環小數。

解 4x − 0.35(x − 1) = 245.85：精確答案 x = 4910/73

答案是 x = 4910/73，約 67.2603。括號展開成 −0.35x + 0.35，剩下 3.65x = 245.50；因為 73 是質數，答案是無限循環小數而非有限小數。

解 4x − 0.35(x − 1) = 253.586：答案 x = 126618/1825 ≈ 69.3797

答案是 x = 126618/1825 ≈ 69.379726。把 −0.35 分配進括號時，第二項會變成 +0.35，於是方程式化簡成 3.65x + 0.35 = 253.586。

解 4x − 0.35(x − 1) = 278.435：答案 x = 55617/730 ≈ 76.1877

答案是 x = 55617/730 ≈ 76.187671。展開括號後方程式變成 3.65x + 0.35 = 278.435，所以 x = 278.085/3.65。

解 4x − 3(20 − x) = −4：先展開括號，得 x = 8

答案是 x = 8。把 −3 分配進括號會得到 −60 + 3x，於是方程式成為 7x − 60 = −4；加上 60 再除以 7 就得到 x = 8，代回去 32 − 36 = −4 確認無誤。

解 4x − 7 = 6x + 9：兩邊都有 x，答案 x = −8

答案是 x = −8。先減去 4x 把未知數集中到右邊，再減 9，最後除以 2；代回去兩邊都會等於 −39，可以當作驗算。

解 4x + 8 < 20 − 2x：把未知數集中到一邊，得 x < 2

答案是 x < 2。兩邊同加 2x 得到 6x + 8 < 20，接著 6x < 12，最後除以正數 6，不等號方向維持不變。

解 4x² − 4x + 1 > 0：除了 x = 1/2 之外全部成立

答案是除了 x = 1/2 以外的所有實數。左邊可以分解成完全平方 (2x − 1)²，而它只在自己的重根 x = 1/2 處等於零。

解 4x² − x − 2 = 0：判別式 33，兩根為 (1 ± √33)/8

答案是 x = (1 + √33)/8 與 x = (1 − √33)/8。因為 33 = 3 × 11 沒有平方因數，根號化簡不掉，分數也約不了。

解 4x² + 16x + 7 = 0：判別式 144，兩根 −1/2 與 −7/2

判別式是 256 − 112 = 144，是完全平方數，所以 x = (−16 ± 12)/8 給出 −1/2 與 −7/2；這個二次式也能分解成 (2x+1)(2x+7)。

用公式解 4x² + 20x + 21 = 0：兩解為 −3/2 與 −7/2

兩個解是 x = −3/2 與 x = −7/2。判別式是 400 − 336 = 64，是完全平方數，所以兩根都是精確的分數。

解 5.6 −（13x/4 − 1又5/6 x）÷ 17 × 3 = 13/5：答案 x = 12

答案是 x = 12。括號裡的 13x/4 − 11x/6 合併成 17x/12，這個 17 恰好和除數約掉，方程式就剩下 5.6 − x/4 = 2.6。

解 5 − 2(x − 1) = 1：把 −2 分配進括號，得 x = 3

答案是 x = 3。把 −2 分配到 x − 1 得到 −2x + 2，於是方程式變成 7 − 2x = 1，接著 −2x = −6，最後 x = −6 ÷ (−2) = 3。

解 5 − (1/2)(x + 4) ≥ 4：變號後得 x ≤ −2

答案是 x ≤ −2。展開後得到 3 − x/2 ≥ 4，也就是 −x/2 ≥ 1；兩邊同乘 −2 時不等號要反向，所以答案是 x ≤ −2 而不是 x ≥ −2。

解 5(−5 + n) − (−5n + 1) = −2：答案 n = 12/5

答案是 n = 12/5 = 2.4。把前面的減號分配進去，−(−5n + 1) 會變成 +5n − 1，所以兩個 n 項是相加而不是相消。

解 5(x + 8) = 9：先除再展開，答案 x = −31/5

根是 x = −31/5 = −6.2。兩邊先同除以 5，方程式就變成 x + 8 = 9/5，完全不必展開成 5x + 40 = 9。

解 5^(x+2) = 3^(5−x)：兩邊取對數，x ≈ 0.8398

答案是 x = (5ln3 − 2ln5)/ln15，約 0.8398，不是常被引用的 1.037。底數不同就非取對數不可，而 ln5 + ln3 剛好併成單一個 ln15。

解 524 + 5x/113 + x = 4.66：答案 x = −2934271/5900 ≈ −497.334

答案是 x = −2934271/5900 ≈ −497.334068。把 1 寫成 113/113，就能把 5x/113 與 x 併成 118x/113；常數 524 太大，所以根必然是很大的負數。

解 (5399 − x)/x = 4.8116：較小的一份是 x ≈ 929.00

答案是 x = 5399/5.8116 = 929.00。去分母後得到 5399 = 5.8116x，也就是 x = 總量 ÷ (1 + 比值)；剩下的 4470.00 恰好是 x 的 4.8116 倍。

解 580x = 2900：一次除法就得 x = 5

答案是 x = 5。左邊沒有常數項要移，兩邊同除以 580 就結束；2900 ÷ 580 恰好整除成 5，再用 580 × 5 = 2900 回乘驗算即可。

解 5a² + 4a − 12 > 0：答案是 a < −2 或 a > 6/5

答案是 a < −2 或 a > 6/5。判別式 256 是完全平方數，兩根為 −2 與 6/5；最高次項係數為正、拋物線開口向上，所以式子在兩根之外為正。

解 5w + 9z = 2z + 3w 求 w：答案是 w = −7z/2

答案是 w = −7z/2。把 w 項收到左邊、z 項收到右邊得 2w = −7z，再同除以 2；只有 2 被約掉，7 仍留在分子，符號不變。

解 5x − 4 = 2x + 11：先合併同類項，得 x = 5

答案是 x = 5。兩邊同減 2x 剩下 3x − 4 = 11，加 4 得 3x = 15，再除以 3；代回去兩邊都等於 21，確認無誤。

解 (5x − 4)² − 49x² = 0：平方差得 x = −2 與 1/3

兩根是 x = −2 與 x = 1/3。把 49x² 看成 (7x)²，方程式就成了 A² − B² = 0，可直接分解成兩個一次式，不必先展開成二次式。

解 (5x − 8)² − 25x² = 0：二次項相消，x = 0.8

答案是 x = 0.8。展開後兩個 25x² 剛好相消，看似二次的方程式其實塌成一次式 −80x + 64 = 0，因此只有一個根。

解 5x + 7 = 2：精確解是 x = −1

精確解是 x = −1。兩邊同減 7 得 5x = −5，再除以 5；代回去 5(−1) + 7 = 2，兩邊相符，過程沒有任何四捨五入。

解 5x + 15/4 − 2x > 0：合併同類項後得 x > −5/4

答案是 x > −5/4。先把 5x 與 −2x 併成 3x，再把 −15/4 除以 3 約成 −5/4；除以正數不必改變不等號方向。

解 5x² − 20 = 0：開平方得 x = 2 與 x = −2

兩根是 x = 2 與 x = −2。式子裡沒有一次項，可以直接整理成 x² = 4 再開平方，比套公式解快得多，但正負號不能漏。

解 6.58x + 14 = 6.63x：兩平點剛好是 x = 280

答案剛好是 x = 280。兩個成長率只差 0.05，而除以 0.05 等同乘以 20，所以 14 ÷ 0.05 落在整數 280 上，不會出現循環小數。

解 6.58x + 14 = 6.75x：x = 1400/17，約 82.35

答案是 x = 14/0.17 = 1400/17，約 82.35。兩個 x 項幾乎抵消，只剩下 0.17x，這正是常數不大卻算出很大答案的原因。

解 6(5 + p) = 7(p + 6) − 5：逐步求得 p = −7

答案是 p = −7。兩邊展開後得 30 + 6p = 7p + 37，減掉 6p 就讓 p 的係數變成 1，最後一步連除法都不必做。

解 6(x − 5) = 7(x − 1)：展開兩個括號得 x = −23

答案是 x = −23。展開後得 6x − 30 = 7x − 7；把 x 項移到右邊、常數移到左邊，一步就讀出 x = −23。

解 6ˣ = x¹⁸：三個實根，其中一個精確等於 36

三個實根約為 −0.91311、1.11768，以及恰好等於 36，因為 36¹⁸ = (6²)¹⁸ = 6³⁶。兩個正根由函數 ln(x)/x 的先升後降決定。

解 600 = 2210 − (2000/180)(5/3)X：X = 4347/50 = 86.94

答案是 X = 4347/50 = 86.94。先把兩個分數併成 500/27，再兩邊同減 2210；這題左邊比右邊小，所以 X 會是正的。

解 6g + g − 5g = 36：先合併同類項，得 g = 18

答案是 g = 18。三個 g 項會併成 2g，因為單獨的 g 其實是 1g；方程式先化成 2g = 36，最後才做除法。

解 6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ < p：用符號表讀出三段解

答案是 p < (3 − √21)/6，或 0 < p < 1/2，或 1 < p < (3 + √21)/6，因為這個五次式恰好分解成 p(p − 1)(2p − 1)(3p² − 3p − 1)。

解 7 + 2(5x + 2x²) = 16：最簡根式解 (−5 ± √61)/4

兩根是 x = (−5 + √61)/4 與 x = (−5 − √61)/4。展開括號得 4x² + 10x − 9 = 0，判別式 244 先化成 2√61，公式解才約得掉 2。

解 7(s+9)² − 20(s+9) = 3：變數代換得 s = −6 與 −64/7

答案是 s = −6 與 s = −64/7。令 u = s + 9，方程式化成 7u² − 20u − 3 = 0，可以分解成 (7u+1)(u−3) = 0。

解 7200 = 200k + 300：答案不是整數，k = 34.5

答案是 k = 34.5。先減掉 300 得 200k = 6900；6900 不是 200 的整數倍，所以答案剛好落在半個單位上。

為什麼 74x − 2x² = 690 沒有實數解：判別式是 −11

x² − 37x + 345 的判別式是 −11，所以沒有實數解。74x − 2x² 的最大值只有 684.5，離 690 還差 5.5，剛好構成這個負判別式。

解 (7x−1)/(3x−2) < 4：為什麼不能交叉相乘

先減 4 併成 (7 − 5x)/(3x − 2) < 0 再畫符號表，答案是 x < 2/3 或 x > 7/5。直接乘上 3x − 2 並不合法，因為它的正負會隨 x 改變。

解 7x − 15 ≥ 4x + 6：兩邊都有 x，答案是 x ≥ 7

答案是 x ≥ 7。兩邊同減 4x、再加 15，最後除以正數 3；因為除數是正的，不等號的方向自始至終都不必改。

解 7x + 11 > 3(x + 1)：展開括號後得 x > −2

答案是 x > −2。先把 3 分配進括號，再把 x 項收到左邊、常數收到右邊，最後除以正數 4，不等號的方向不必更動。

解 7x + 8 = 3x − 12：兩邊都有 x，答案是 x = −5

答案是 x = −5。兩邊同減 3x 把變數收到左邊成 4x，再把 8 移過去得 4x = −20，最後除以 4 就完成。

解 8/(x + 6) = −5：交叉相乘後得 x = −7.6

答案是 x = −7.6。兩邊同乘 (x + 6)，展開 −5(x + 6) = −5x − 30，最後別忘了確認這個根不會讓分母變成零。

解 8.8 − 10000x = 1010000x + 6：極小的根 2.745098 × 10⁻⁶

答案是 x = 2.8/1020000 ≈ 2.745098 × 10⁻⁶。兩邊的巨大係數併成 1020000x，所以這個根比 1 小了六個數量級。

解 8.8 − 10000x = 1010000x + 6000：x ≈ −0.0058737

答案是 x = −7489/1275000 ≈ −0.0058737。兩邊同加 10000x 把係數併成 1020000，常數差 −5991.2 使得 x 又小又是負的。

解 8(1900 − 1.5x) + 10(1400 − 1.5x) = 25x：x = 7300/13

答案是 x = 7300/13，約 561.54。兩個括號都展開後併成 29200 − 27x，把 x 項移到同一邊得 52x = 29200，再相除即可。

解 84635.5790x + 84635.5790 = 215900.9：提公因式得 x = 1.55095

答案是 x = 1.55095。因為乘 x 的數與單獨那個常數一模一樣，提出公因式後只需算一次除法 x + 1 = 215900.9/84635.579。

解不等式 8g − 6(g + 1) < 4(2g − 9)：答案是 g > 5

答案是 g > 5。展開後得 2g − 6 < 8g − 36，把 g 項移到右邊可以保持係數為正，得到 30 < 6g，全程都不必變號。

解 8x² = 16x：提出公因式得 x = 0 與 x = 2

答案是 x = 0 與 x = 2。把所有項移到同一邊再提出 8x；若直接兩邊除以 x，會在無聲無息中弄丟 x = 0 這個根。

由 9 + a − b = 5 求 a − b 的值：答案是 −4

答案是 a − b = −4。只有一條方程式定不出 a 與 b 各自的值，但兩邊同減 9 就能把它們的差固定下來。

解 9(x−1)² − 4 = 0：開平方得 x = 5/3 或 1/3

兩根是 x = 5/3 與 x = 1/3。式子本來就是完全平方，所以直接整理成 (x−1)² = 4/9 再開平方，比展開成二次式省事得多。

解 9ˣ / 12 = 21：用以 9 為底的對數得 x ≈ 2.5166

答案是 x = log₉ 252 = ln 252 / ln 9 ≈ 2.5166。兩邊乘 12 得 9ˣ = 252，而 252 不是 9 的整數次方，所以非用對數不可。

解 (9127 − x)/x = 0.934：較大的那一份是 x ≈ 4719.23

答案是 x = 9127/1.934 ≈ 4719.23。兩邊乘 x 再加上 x 得 9127 = 1.934x，也就是 x = 總量/(1 + 比值)，而這裡的比值只比 1 小一點。

解 92 = (1 − 3/(0.14(x − 806))) × 100：x = 7517/7 ≈ 1073.86

答案是 x = 7517/7，約 1073.86。兩邊先除以 100，把分式孤立成 0.08 = 3/(0.14(x − 806))，取倒數後再把 806 加回來。

解含重複因式 4 − 2x 的成本方程式：x ≈ 1.2503

答案是 x ≈ 1.2503。兩個括號乘積共用因式 4 − 2x，合併後的係數是 41.4 + 28 = 69.4，整條式子收成 305.6 − 122.8x = 152.0621。

兩個大項幾乎抵消的三次方程式：Vout = 4.81748

答案是 Vout = 4.81748。一次項係數 96.844679 與 97.109892 幾乎相消，所以每一位數都重要；用精確分數可得 −0.265213 V − 3.6354e−7 V³ + 1.2777 = 0。

精確解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0 的三個根

三個根是 −0.01062039、0.02187147 與 245.69974892。兩根接近零、一根極大，所以單靠根與係數關係無法確認那兩個小根。

用清小數的方式解小數係數一次不等式：y > 3/8

答案是 y > 3/8。把 0.03、0.5、0.15 這幾個小數分母各自改寫成分數清掉，再合併同類項，最後除以 8 就得到 y > 3/8。

解 0.2 = 4.6092x³ + 9.2964x² + 2.7507x + 0.0251：x = 0.0536118

實根是 x = 0.0536118。夾根用的測試點必須算對：f(0.06) 是 +0.0246，所以變號落在 0.06 以下，而不是以上。

解 (7.26−x)/4.51 + 2.18(8.79x+7.37) = (3.84x+28.32)/6.45：x = −0.72

把每個分式都拆成係數與常數兩部分，整理成 18.3451x = −13.2857，相除得 x = −0.7242，取到小數點後兩位就是 −0.72。

解時間加權項的小數一次方程式：X = 14487500/1313781 ≈ 11.027

答案是 X = 14487500/1313781，約 11.027。先算清 3.6 × 7 × 60 = 1512 與 25.2，把 X 項收攏，再用 11.498016 除以 1.0426833。

解 5.28(3.64x − 9.71) + (x+8.12)/4.79 = −(9.46x−2.53)/7.01：x = 2.40

展開後把每個分式都拆成小數係數加常數，整理成 20.7775x = 49.9345，相除得 x = 2.4033，取到小數點後兩位就是 2.40。

精確解 0.097x² − 2.3289x + 12.4464133 = 0：15.97929 與 8.02999

兩根是 x = 15.97929 與 x = 8.02999。判別式是 0.5945668496；4ac 只要打錯一位數，兩根就會在小數第三位偏掉。

解 x⁶+4x⁵−4x⁴+4x³−7x²−8x+10 = 0：根為 1（二重）、−1、−5、±i√2

根是 x = 1（二重根）、−1、−5 與 ±i√2。先用有理根定理找出 x = 1，再分組分解，最後用 y = x² 代換把這個六次式徹底拆開。

用 y = x² 解 0.04x⁶ + 1.04x⁴ + x² − 4 = 0：x = ±1.22706

清掉小數後得 y³ + 26y² + 25y − 100 = 0，其中 y = x²。它唯一的正根是 y = 1.50569，所以 x = ±1.22706 是僅有的兩個實數解。

解 log(log(x + 0.6)) = 8.8289 − 3.2511 log(557.15)：x ≈ 5.666

答案是 x 約為 5.666。先把右邊收成一個數，再以 10 為底連續取兩次指數，一層一層把對數剝掉。

用公式解 −4.7714x² − 0.0884x + 10.014 = 0：x ≈ −1.4580 與 1.4395

兩根是 x ≈ −1.4580 與 x ≈ 1.4395。判別式是 191.131，其平方根 13.8250 遠大於極小的一次項係數，所以兩根幾乎對稱。

解 0 = 2145 − 30(11)(4) + 6(11)(4) + 5(11)(4) + 110x：x = −11.9

答案是 x = −1309/110 = −11.9。先把四個三數乘積各自算完，再把常數併成 1309，最後除以係數 110。

解功率損耗預算式 193.92W + 0.13x = x：x = 222.90W

答案是 x = 193.92W/0.87 = 222.90W。未知數兩邊都有，所以要先把 0.13x 收攏再相除——這是一條要解的方程式，不是把算式加總求值。

解 −10 + 10q − 10 = 10 + 4q：合併同類項後得 q = 5

答案是 q = 5。先把左邊兩個常數併成 −20，再兩邊同減 4q，方程式就變成 6q = 30。

用兩種方法解 364.4210x + 364.4210 = 215900.9：x = 591.4491

答案是 x = 591.4491。因為同一個係數出現兩次，可以提出公因式，得到 x + 1 = 215900.9/364.4210，一行就寫出 x = 591.4491179。

解 x − 0.03((36000 + x) − 35000) − 180 = 6500：x = 6917.53

答案是 x = 6710/0.97 = 6917.53。先把括號收成 x + 1000，整條式子一步就變成 0.97x − 210 = 6500。

解 -4(-11 + 5x) + 6(26 - 6x) = -3(4x + 1) + 5(11 + 6x)：x = 2

x = 2。把四個括號全部展開後，左邊得 200 - 56x，右邊得 18x + 52，於是 148 = 74x。要注意 -12 + 30 = 18 而不是 22，這是本題最常見的失誤；把 x = 2 代回原式，兩邊都等於 88。

解根號 2 與根號 3 係數的聯立方程式：x = 12/5、y = √6/5

答案是 x = 12/5、y = √6/5。第一式乘以 √2、第二式乘以 √3 之後，y 的係數都變成 √6，兩式相加就正好抵消。回代後把 3√2/(5√3) 的分母有理化，即得 √6/5。

解 a/x = x：a > 0 時 x = ±√a，a = 0 時無解

當 a > 0 時 x = ±√a。兩邊同乘 x 可得 x² = a，但原式的分母規定 x ≠ 0，所以 a = 0 時無解；a < 0 時沒有實根，複數解為 x = ±i√|a|。

解 2x − y = 480 與 2y − x + m/3 = 0 並求 x + y ≤ 8m/3：m ≥ 160

x = (2880 − m)/9、y = (1440 − 2m)/9，而不等式 x + y ≤ 8m/3 恰好在 m ≥ 160 時成立。分離 x 時只要弄錯一個正負號，整個 m 的範圍就會反過來。

解 (3669724.77 − x)×3% + 13%x = 330275.23：x = 2201834.869

答案是 x = 2201834.869。把 3% 與 13% 換成 0.03 與 0.13 後，−0.03x + 0.13x 合併成 +0.10x，得 0.10x = 220183.4869，再除以 0.10 即得。

解 (75% + 85%(2000 − x))/2000 ≥ 83%：x ≤ 47.94，整數則 x ≤ 47

答案是 x ≤ 47.94，若限整數則 x ≤ 47。關鍵在最後一步除以負係數 −0.85，不等號必須反向。代 x = 47 得 0.83040，代 x = 48 得 0.829975。

逐步解 1077.38 = 0.35x + 0.35(1077.38)：x ≈ 2000.85

答案是 x ≈ 2000.85。先算出 0.35 × 1077.38 = 377.083，兩邊相減得 700.297 = 0.35x，再除以 0.35。也可以直接寫成 x = 1077.38 × 0.65/0.35，一行就解決。

解 a + (−16) = −4：把加負數改寫成減法，得 a = 12

答案是 a = 12。加上 −16 等同於減去 16，所以方程式變成 a − 16 = −4；兩邊同加 16 就能把 a 單獨留下。代回驗算 12 + (−16) = −4 成立。

三個一次因式相乘展開成三次方程式：三根約 201.18、907.41、2706.23

展開後得到三次方程式 −0.013122x³ + 50.058x² − 41762.7x + 6482700 = 0，三個實根為 x = 24500/27 ≈ 907.4074、x ≈ 201.1822 與 x ≈ 2706.2252。

交叉相乘解 (1202.61 − x)/(1279.43 + x) = 16/9：x = −385.8956

答案是 x = −385.8956。先把分子合併成 1202.61 − x，交叉相乘得 9(1202.61 − x) = 16(1279.43 + x)，再把含 x 的項集中，得 −25x = 9647.39。

解 (x+1)(x+3) ≥ (x−2)(x−4)：x² 項相消，答案為 x ≥ 1/2

答案是 x ≥ 1/2。兩邊展開後得 x² + 4x + 3 ≥ x² − 6x + 8，同減 x² 之後就變成普通的一次不等式，解集合為 [1/2, ∞)。

解 z⁴ + 2(x²+y²)z² − 8z = 0：z = 0 或卡丹諾公式給出的唯一實根

提出公因式 z 之後，剩下缺二次項的三次式 z³ + 2r²z − 8 = 0，其中 r² = x² + y²。判別量恆為正，只有一個實根，卡丹諾公式可以把它明確寫出來。

解藏著平方差的根式方程式：x = 0.9 與 x ≈ 0.8974433

兩個解是精確的 x = 0.9 以及 x = 0.8974433。把 (8.9−x)² − 64 分解成 (0.9−x)(16.9−x)，共同因式就露出來，四次方程式也隨之降成三次。

用開立方根解 1/x³ − 1/(5×10⁻⁵)³ = 3.11×10¹¹：x ≈ 4.9368×10⁻⁵

答案是 x ≈ 4.9368×10⁻⁵。先把已知的倒數立方算成 8×10¹²，移到另一邊相加，再取倒數並開立方根，全程都用科學記號處理。

逐步解 −9x − 34 + 72 − 42 = −8x + 68 − 4x：x = 24

答案是 x = 24。左邊三個常數合併成 −4，右邊兩個含 x 的項合併成 −12x，移項後得 3x = 72。代回檢查，兩邊都恰好是 −220。

解 1/(s+2) + 1/(s+4) + 1/(s+9) − 1/(s+6) = 0：唯一實根 s ≈ −3.0864085

唯一的實數解是 s = −3.0864085。去分母後得 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0，看起來像能因式分解，其實沒有有理根，只能用數值方法求解。

解 (1+x) 的十個連續冪次和等於 20：x ≈ 0.0221841 與 x ≈ −2.1184421

兩個實根是 x = 0.0221841 與 x = −2.1184421。提出 (1+x)²⁷ 之後，十個冪次就變成等比級數，再用正負號變號夾出每個根的位置。

先消去 c 解三元一次聯立方程式：a = −1/550、b = 199/1100、c = 61/55

答案是 a = −1/550、b = 199/1100、c = 61/55。因為 c 在三個式子裡的係數都是 1，把相鄰兩式相減就能一舉把 c 消掉。

用高斯－約當消去法解三元一次聯立：x₁ = 19、x₂ = −8、x₃ = 1

答案是 x₁ = 19、x₂ = −8、x₃ = 1。先交換兩列讓首項為 1，把每個樞紐元下方消成零，再回代化成簡化列梯形式，解就直接讀得出來。

用代入法解 D + W = 25000 與 0.96D + 0.015W = 12500：D ≈ 12830.69

D = 12830.69、W = 12169.31。把 W = 25000 − D 代入第二式，方程式就收斂成 0.945D = 12125，因為兩股的濃度剛好相差 0.945。

消去法解 5.15X + 5.70Y = 8615.35、X + Y = 1555：X ≈ 451.18、Y ≈ 1103.82

答案是 X = 4963/11 ≈ 451.18、Y = 12142/11 ≈ 1103.82。把第二式乘以 5.15 再相減，一步就把 Y 分離出來，係數 0.55 正是兩個單價的差。

代入法解 4.50X + 4.95Y = 2368.15、X + Y = 490.5：X ≈ 132.94、Y ≈ 357.56

答案是 X = 2393/18 ≈ 132.94、Y = 3218/9 ≈ 357.56。把 X = 490.5 − Y 代入，聯立方程式就化成只含 Y 的一式，係數正是單價差 0.45。

克拉瑪公式解 5.20X + 5.75Y = 8947.2、X + Y = 1595：X ≈ 407.36

答案是 X = 4481/11 ≈ 407.36、Y = 13064/11 ≈ 1187.64。係數行列式是 5.20 − 5.75 = −0.55，兩個未知數的商都由它決定。

用加權平均解 3.80X + 4.20Y = 6627.75、X + Y = 1628：X = 524.625

答案是 X = 524.625、Y = 1103.375。平均單價是 6627.75/1628 ≈ 4.0711，它落在 3.80 與 4.20 之間的位置，直接就決定了兩者的數量比。

解 0.58333x + 916.9998 = 0.72727x + 965.9089：x ≈ −339.79

答案是 x ≈ −339.79。兩邊 x 的係數只差 0.14394，所以常數差 −48.9091 在相除時被放大了大約七倍。

解 0.72727x + 965.9089 = 0.85714x + 1014.57122：x ≈ −374.70

答案是 x ≈ −374.70。減掉較小的 x 項之後只剩下係數 0.12987，所以一個不大的常數差就會產生很大的負根。

精確解 152.5(0.5x/54.9) + 152.5(1 − x/54.9) = 100：x = 37.8

答案 x = 37.8 是精確值，不只是近似：52.5/76.25 約分成 42/61，而 549 = 9 × 61，所以 54.9 × 42/61 恰好收成 378/10，完全沒有四捨五入。

解 |2 − x| = |−8|：兩種情形都要討論，x = −6 與 x = 10

答案是 x = −6 與 x = 10。先把右邊化簡成 8，再拆成 2 − x = 8 與 2 − x = −8 兩種情形，才不會漏掉其中一個解。

解 |2a+7| + |2a−1| = 8：解是一整個閉區間 −7/2 ≤ a ≤ 1/2

答案是閉區間 −7/2 ≤ a ≤ 1/2，而不是幾個孤立的點。在兩個轉折點之間，含 a 的項互相抵消，方程式化成恆等式 8 = 8。

解 |2x + 3| = 6x 並剔除增根：x = 3/4

答案只有 x = 3/4。右邊必須非負，所以 x ≥ 0，這個限制把第二種情形算出的候選解 x = −3/8 排除掉了。

解 |3x+1| − 2x < |x−4| + 5：兩個分界點，答案 −5/2 < x < 4

答案是 −5/2 < x < 4。分界點 −1/3 與 4 切出三種情形，最後一種化成 x + 1 < x + 1，在任何地方都不成立。

用 A = ±B 兩種情形解 |−6 + 4x| = |10 + x|：x = 16/3 與 x = −4/5

兩個解是 x = 16/3 與 x = −4/5。兩個絕對值相等時，裡面不是相等就是互為相反數，所以拆成 4x − 6 = x + 10 與 4x − 6 = −x − 10。

拆成兩個方程式解 |7x − 1| = 3：x = 4/7 與 x = −2/7

x = 4/7 或 x = −2/7。因為 3 是正的，方程式拆成 7x − 1 = 3 與 7x − 1 = −3，兩個根恰好落在 x = 1/7 兩側各 3/7 處。

在兩個轉折點分段解 |x−1| + |x+1| < 4：−2 < x < 2

答案是 −2 < x < 2。兩個轉折點之間這個和恆為 2，往外每一單位增加 2，所以恰好在每個轉折點外一單位處達到 4。

在 2 與 5 分段解 |x−2| + |x−5| > 7：x < 0 或 x > 7

答案是 x < 0 或 x > 7。兩個轉折點之間這個和恆為 3，所以總和要達到 7，必須離每個轉折點兩個單位以外。

在轉折點分段解 |x+1| + |x+2| > 3：x < −3 或 x > 0

答案是 x < −3 或 x > 0。中間那一段化成 1 > 3 這個假命題，所以解集合就是兩側的兩條射線，中間完全沒有解。

用中點捷徑解 |x + 66| = |x − 88|：x = 11

答案是 x = 11。方程式說的是 x 到 −66 與到 88 等距，所以 x 必定是兩點的中點——一行就解完，不必分兩種情形。

分段討論解 |x| + |x−1| = |x−2| + |x−3|：唯一解 x = 3/2

唯一的解是 x = 3/2。在 0、1、2、3 分段共有五種情形，其中四種不是導致矛盾，就是算出的根落在自己的區間之外。

解 7a − 467.56 − (7a × 13% × 10%) + 183.36 = 260：a ≈ 78.77

答案是 a ≈ 78.77。取 10% 的 13% 就是乘以 0.013，所以扣除項只有 0.091a，a 的係數維持在 6.909，仍然是正的。

當未知數也叫 b 時解 b² − 8b + 5 = 0：b = 4 ± √11

兩個解是 b = 4 + √11 與 b = 4 − √11。把公式裡的係數改名成 A、B、C，未知數 b 就不會和中間那個係數搞混。

把 x 集中解 16000000(0.11 + 0.0006) + 0.13x = x：x ≈ 2034022.99

答案是 x ≈ 2034022.99。把 0.13x 移到另一邊後剩下 0.87x = 1769600，因為右邊那個單獨的 x 帶著一個沒寫出來的係數 1。

約掉公因式解 Gm/d² = Gx/d²：x = m

只要 G 與 d 都不為零，答案就是 x = m。兩邊帶著相同的分母 d² 與相同的因式 G，約掉之後只剩 Gm = Gx，因此 x = m。

解 kx + 6 = 3x + 4k 並討論 k = 3：k ≠ 3 時 x = (4k − 6)/(k − 3)

當 k ≠ 3 時解為 x = (4k − 6)/(k − 3)。若 k = 3，方程式化成 6 = 12 這個矛盾，所以完全無解。

用換底公式解 log₂x + log₃x = 5：x ≈ 8.3729

答案是 x = exp(5 ln2 ln3/(ln2 + ln3)) ≈ 8.3729，而不是 6.06。把兩個對數都換成自然對數，方程式就變成只含 ln x 的一次方程式。

解係數極小的一次方程式 −0.00143x + 0.06997 = 0.297：x ≈ −158.7622

精確解是 x = −22703/143 ≈ −158.7622。先減去 0.06997 得 −0.00143x = 0.22703，再除以那個負係數，答案的正負號因此翻轉。

用一元二次公式解 −10x² + 5x + 19 = 0：x = (5 ± √785)/20

兩根是 x = (5 ± √785)/20，約為 1.650893 與 −1.150893。判別式 785 = 5 × 157 沒有平方因數，所以根號無法再化簡。

變號解 −4x² + 260x − 200 ≤ 0：x ≤ 0.7786 或 x ≥ 64.2214

答案是 x ≤ (65 − 5√161)/2 ≈ 0.7786 或 x ≥ (65 + 5√161)/2 ≈ 64.2214。除以 −4 讓不等號反向成 x² − 65x + 50 ≥ 0，在兩根之外成立。

用分配律解 −(5x − 4) + 2(x − 7) = −1：x = −3

答案是 x = −3。最前面那個光禿禿的負號把 −(5x − 4) 變成 −5x + 4，合併同類項後得 −3x − 10 = −1，於是 −3x = 9，除以 −3 得 x = −3。

解 −6x + 3 > −39 並把不等號反向：x < 7

答案是 x < 7。除以負的 −6 會讓方向反轉，大於變成小於——這一步就決定了整題的答案。

解 −7x = 9 + 5：除以負係數，得 x = −2

答案是 x = −2。先把右邊化簡成 14，再除以 −7——正數除以負數得到負的商，不是 2。

在 t > 0 的條件下解 −t² − 6t + 28 = 0：t = −3 + √37 ≈ 3.0828

答案是 t = −3 + √37，約 3.0828。整式乘以 −1 得 t² + 6t − 28 = 0，兩根是 −3 ± √37，而條件 t > 0 排除了 −3 − √37。

解 −1/m + 1 − m = 0：無實數解，複數根為 (1 ± i√3)/2

本題沒有實數解；複數根是 m = (1 + i√3)/2 與 (1 − i√3)/2。去分母後得 m² − m + 1 = 0，判別式是 −3。

用 m 表示解 −1/x + 1 − m = −1：x = 1/(2 − m)

答案是 x = 1/(2 − m)，只要 m 不等於 2 就成立。先把倒數項分離出來，兩邊取倒數，並注意 m = 2 會讓分母為零。

解連鎖不等式 −2 < 8 − 2x ≤ −1：9/2 ≤ x < 5

答案是 9/2 ≤ x < 5。三個部分同減 8 得 −10 < −2x ≤ −9，接著除以 −2，兩個不等號要同時反向。

逐步還原運算解 −2x − 9 = −15：x = 3

答案是 x = 3。兩邊同加 9 得 −2x = −6，再除以 −2；兩個負數相除得到正數，所以答案是正的 3。

解 −2x² + 8 ≤ 0：x ≤ −2 或 x ≥ 2，除以負數必須變號

答案是 x ≤ −2 或 x ≥ 2。兩邊除以 −2 時不等號要反向，化成 x² ≥ 4；平方大於等於 4 代表 |x| ≥ 2，解落在 [−2, 2] 之外的兩條射線上。

解 −4x + 6 ≤ 18：答案 x ≥ −3，除以 −4 要變號

解是 x ≥ −3。先兩邊減 6 得 −4x ≤ 12，再除以 −4；不等式除以負數時方向必須反向，≤ 變成 ≥，端點 −3 包含在解集內。

解 −4x² + 20x − 24 = 0：先提出 −4，得 x = 2 或 x = 3

答案是 x = 2 或 x = 3。先把公因式 −4 提出來，括號內只剩首項係數為 1 的 x² − 5x + 6，分解成 (x − 2)(x − 3)，再用乘積為零的性質求根。

解 −5m² + 12m + 8 = 3 − 5m：m ≈ 3.67 或 m ≈ −0.27

兩根約為 m = 3.67 與 m = −0.27。先把所有項移到讓 m² 係數為正的一邊，整理成 5m² − 17m − 5 = 0，判別式 389 是質數，根只能寫成近似小數。

解 −6x > 8：答案 x < −4/3，除以負數要變號

答案是 x < −4/3。兩邊同除以 −6 時不等號必須反向，得到的分數 −8/6 約分成 −4/3，約等於 −1.333；原式是嚴格不等式，端點不包含在內。

解 −t² − 6t + 28 = 0：t = −3 ± √37

兩根是 t = −3 + √37 ≈ 3.0828 與 t = −3 − √37 ≈ −9.0828。整式乘以 −1 化成 t² + 6t − 28 = 0，判別式 148 開根號可化簡成 2√37。

解 −x + 1 > 0：答案 x < 1，除以 −1 必須變號

答案是 x < 1。把 1 移到右邊得 −x > −1，再兩邊除以 −1，大於號必須翻成小於號，這正是本題唯一的難點所在。

解 −x² + 4x − 3 ≥ 0：答案是 1 ≤ x ≤ 3

解是 1 ≤ x ≤ 3。整式乘以 −1 時不等號要反向，化成 x² − 4x + 3 ≤ 0；這個開口向上的拋物線在兩根 1 與 3 之間（含端點）不大於零。

解 −x² + 6x − 10 > 0：判別式為負，解集是空集合

本題無解。翻成 x² − 6x + 10 < 0 後判別式為 −4，這條開口向上的拋物線始終碰不到軸、恆為正值，因此原不等式的解集是空集合。

解 (1/15)x² = (1/6)x + 1/10：兩根為 x = 3 與 x = −1/2

兩根是 x = 3 與 x = −1/2。兩邊同乘最小公分母 30 去分母，得到 2x² = 5x + 3，整理成 2x² − 5x − 3 = 0 後分解成 (2x + 1)(x − 3) 即可。

解 (1/3)x < −4/3：答案 x < −4，即區間 (−∞, −4)

答案是 x < −4，也就是區間 (−∞, −4)。兩邊同乘正數 3 時不等號方向不變，只有乘上負數才需要反向；邊界 −4 因為是嚴格不等式而不含在內。

詳解 2x⁴ − 9x³ + 3x² + 11x − 3 = 0

四個根為 x = −1、3/2、2 − √3 與 2 + √3。先用有理根定理配綜合除法把四次式分解，再用公式解處理剩下的二次式。

解三元一次聯立方程式：x1 = 2、x2 = 2、x3 = 0

唯一解是 x1 = 2、x2 = 2、x3 = 0。用第一式把後兩式的 x1 消掉後，剩下的二元聯立方程式立刻塌成 x3 = 0，再逐一回代就能求出其餘未知數。

三元聯立方程式的唯一解：x1 = 5、x2 = 3、x3 = −1

唯一解是 x1 = 5、x2 = 3、x3 = −1。其中兩式各缺一個變數，直接把 x1 與 x2 都用 x3 表示再代入第二式，比硬做消去法快得多。

解 |x| + |x − 1| = 1：解是整個區間 [0, 1]

把左式讀成 x 到 0 與到 1 的距離總和，這個總和等於兩點間距 1 的時機，就是 x 落在兩點之間，所以解是整個區間 [0, 1]，而不是有限多個點。

解巢狀絕對值方程式 ||x| − 4| = 5：x = 9 或 x = −9

解是 x = 9 與 x = −9。外層絕對值拆成 |x| − 4 = 5 與 |x| − 4 = −5 兩支，後者得到 |x| = −1，沒有任何實數能滿足，因此整支被淘汰。

解雙二次方程式 x⁴ − 24x² − 25 = 0：實根只有 x = ±5

令 t = x² 做變數代換，得 t² − 24t − 25 = 0，解出 t = 25 或 t = −1。只有 t = 25 能對應到實數 x，所以實根是 x = 5 與 x = −5。

解混料方程式 (3.75 × 98) + 4x = 3.8(98 + x)：x = 24.5

答案是 x = 24.5。展開後得 367.5 + 4x = 372.4 + 3.8x；x 項只差 0.2，常數項卻差 4.9，所以要加 24.5 單位的新料才能把平均品位拉到 3.8。

解 1 < x + 4 < 2：三段同時減 4，得 −3 < x < −2

答案是 −3 < x < −2。三段同時減去 4 就是唯一需要的步驟，兩個端點都不含在內；因為 4 比兩個界線都大，所以解整段落在負數區。

解 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0：三根為 −3、1/2 與 1

三個根是 x = −3、x = 1/2 與 x = 1。有理根檢驗指出 x = 1/2，除掉因式 2x − 1 後只剩 x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)，其餘兩根隨即現形。

解 x² · x − 5 > 0：答案是 x > ∛5，約 1.71

答案是 x 大於 5 的立方根，約 1.71。立方根對所有實數都有定義且嚴格遞增，所以開立方根既不必變號也不必分情況，解只有一條射線。

解 x³ − 3x + 2 = 0：x = 1 是重根，另一根為 x = −2

答案是 x = 1（重根）與 x = −2。用綜合除法除以 x − 1 後只剩 x² + x − 2，其中又含有一個 x − 1，因此完整分解成 (x − 1)² (x + 2)。

解 x³ + 2x² + 7x + 4 = 0：實根約 −0.6535952，另有一對複數根

實根是 x ≈ −0.6535952，另兩根為 x ≈ −0.6732024 ± 2.3805031i。此式沒有有理根，先用 f(−1) 與 f(0) 的變號把實根夾在 −1 與 0 之間，再以牛頓法逼近。

解 x³ + 3x² + 2x − 504 = 0：唯一實根是 x = 7

實數解是 x = 7，因為原式其實就是 x(x+1)(x+2) = 504，而 7 × 8 × 9 = 504。另外兩個根是共軛複數 −5 ± i√47，不是實數。

解 0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91：x = (−3 ± √555)/2

答案是 x = (−3 ± √555)/2，約 10.279 與 −13.279。先把 2.91 移到左邊，再兩邊同乘 100 化成 2x² + 6x − 273 = 0，然後套公式解即可。

解 8.35x − 4.52y = 9.03 與 2.49x + y = 16.83：x ≈ 4.34、y ≈ 6.02

第二式已經把 y 表成 16.83 − 2.49x，代入第一式後得 19.6048x = 85.1016，解得 x ≈ 4.3409、y ≈ 6.0213，取到小數點後兩位就是 4.34 與 6.02。

解 1 − x/3 ≤ 1 − 2x/7：答案 x ≥ 0，數線上畫實心點

答案是 x ≥ 0，即區間 [0, ∞)。先消掉兩邊的 1，再把 −x/3 + 2x/7 通分到 21，最後除以負係數時不等號必須反向；數線上 0 畫實心點並向右塗滿。

解 (2 − x − x)/3 < (1/3)(2 − 5x)：答案是 x < 0

解是 x < 0。先把 −x − x 併成 −2x，再兩邊同乘正數 3；因為乘數為正，不等號方向不變，最後把含 x 的項移到同一邊就結束了。

解 (2x − x)/3 < (1/3)(9 − 5x)：答案是 x < 3/2

解是 x < 3/2。先把 2x − x 併成 x，兩邊同乘正數 3 所以不等號方向不變，移項後得 6x < 9，約分即得 x < 3/2，端點不含在內。

解 −x² + 4x − 4 < 0：除了 x = 2 之外的所有實數

解是所有不等於 2 的實數。因式分解後得 −(x − 2)²，它在各處都是負的，只有在重根 x = 2 恰好等於零，而嚴格不等式在那一點不成立，因此把它挖掉。

解 x² > a²：答案是 x < −|a| 或 x > |a|

答案是 x < −|a| 或 x > |a|，也就是 |x| > |a|。因為 a 可能是負數，不能直接兩邊開平方；改成分解 (x − a)(x + a) > 0，就能一次涵蓋 a 的所有正負情形。

解 x² log₂x < 100,000,000：0 < x < 2945.715457

答案是 0 < x < 2945.715457。左式在 x = 1 以下為負，過了 1 之後嚴格遞增，所以只要用二分法找出那個唯一的臨界點，整個不等式就解決了。

解 x^x > 1（x 為正數）：取對數後得 x > 1

答案是 x > 1。兩邊取對數把它變成 x ln x > 0，而 x 本身是正的，所以正負完全由 ln x 決定，ln x 大於零恰好就是 x 大於 1。

解 (5x − 7)/2 − (3x + 4)/3 = (x + 5)/6 + 1：答案 x = 5

解是 x = 5。每一項都乘上最小公分母 6，一次就把所有分數清乾淨，方程式化成 9x − 29 = x + 11，移項合併後即得答案。

解混合方程式 0.8x + (10000 − x)(0.21) = 10000(0.25)：x = 40000/59

答案是 x = 40000/59，約 677.97。把 0.21 分配進括號、合併成 0.59x，再減去 2100 相除即可；保留分數形式可以避免小數捨入誤差一路累積。

解利潤不等式 (1.5 + 0.1x)(800 − 20x) − 0.9(800 − 20x) ≥ 720：4 ≤ x ≤ 30

解是 4 ≤ x ≤ 30。把重複出現的括號 (800 − 20x) 提出來得 (0.6 + 0.1x)(800 − 20x) ≥ 720，整理後除以 −2 並反向，化成 x² − 34x + 120 ≤ 0。

解 4.08x² − 652.85x + 10236 = 0：兩根為 142.393 與 17.619

答案是 x = 142.393 或 x = 17.619。判別式為 426213.1225 − 167051.52 = 259161.6025，開根號得 509.0792，再除以 2a = 8.16 就完成了。

解 40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0：三實根為 −0.603957、0.909281、1.110778

三個實根是 x ≈ −0.603957、0.909281、1.110778，另有一對複數根 −0.070551 ± 0.636284i。此式沒有有理根，只能用變號夾住區間再以數值方法逼近。

解 x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0：五根為 0、10、−5、−15、−20

五個根是 x = 0、10、−5、−15、−20。先提出公因式 x，再把四次式拆成 (x² + 10x − 200)(x² + 20x + 75)，五個根全都是整數。

解 √(3x−8) − √(2x−3) + √(x−1) = 0：唯一解 x = (5+√33)/4

唯一解是 x = (5 + √33)/4，約 2.6861。先把其中一個根號移到另一邊讓兩邊都非負，再平方兩次，最後把落在定義域外的增根剔除。

解 √(x + 7) − 11 = 2：先孤立根號，得 x = 162

解是 x = 162。要先把根號孤立成 √(x + 7) = 13 之後再平方；在 −11 還黏在左邊時就平方，正是各種錯誤答案的來源。

解 √(x√x) = 2x：兩個解是 x = 0 與 x = 1/16

兩個解是 x = 0 與 x = 1/16。把巢狀根號改寫成 x 的 3/4 次方後，方程式變成 x^(3/4) = 2x；x = 0 必須在做除法之前先單獨檢查，否則會被消掉。

解 √(3x − 1) > 2x：解集是空集合，本題無解

在定義域 x ≥ 1/3 上兩邊都非負，平方後得 3x − 1 > 4x²，也就是 4x² − 3x + 1 < 0。這個二次式判別式為 −7 且恆為正值，所以沒有任何 x 能成立。

解比例式 (5x + 2) : (2x + 3) = 7 : 3：答案 x = 15

解是 x = 15。把比改寫成分數再交叉相乘，得到 15x + 6 = 14x + 21，左邊只剩一個 x；代回可得 77 : 33，約掉公因數 11 後正好是 7 : 3。

解 0.3x − 0.4y = 2.2 與 −0.2x − 0.5y = 1.6：解為 (2, −4)

解是 (2, −4)。兩式都乘以 10 去掉小數，再分別乘 2 與 3 讓 x 的係數互為相反數，相加得 −23y = 92，回代就得到 x = 2。

解 1/x + 1/y = 8 與 6/x + 12/y = 1：x = 6/95、y = −6/47

答案是 x = 6/95、y = −6/47。令 a = 1/x、b = 1/y 做變數代換，把倒數的聯立方程式換成線性的聯立方程式，用消去法解出後再取倒數還原即可。

解 220x + 100y = 960 與 x + y = 6：x = 3、y = 3

答案是 x = 3、y = 3。代入 y = 6 − x 後第一式塌成 120x + 600 = 960；再用平均值檢查：每單位 160 恰在 220 與 100 的正中間，所以六個單位必然平分。

解 2x + y = 3 與 4x + 3y = 1：x = 4、y = −5

答案是 x = 4、y = −5。第一式可以直接寫成 y = 3 − 2x，完全不產生分數，所以這一題用代入法比加減消去法更乾淨俐落。

解 3x + 2y = 12 與 x − y = 1：x = 14/5、y = 9/5

解是 x = 14/5、y = 9/5。把 x − y = 1 改寫成 x = y + 1 代入 3x + 2y = 12，得 5y + 3 = 12，解出 y 後再回代；兩線交於 (2.8, 1.8)。

解 3x + 2y = 5 與 2x − 3y = −1：x = 1、y = 1

答案是 x = 1、y = 1。把兩式分別乘以 3 與 2，讓 y 項變成 +6y 與 −6y，相加就消去 y，得到 13x = 13，答案立刻現形。

解 ½x + ¼y = 4 與 −4x − 3y = −2：解為 (23, −30)

解是 (23, −30)。第一式乘以 4 去掉分數得 2x + y = 16，改寫成 y = 16 − 2x 代入第二式，解 2x − 48 = −2 得 x = 23，再回代求 y。

解 (2/3)x − (3/4)y = 1/2 與 4(x−y) − 3(2x+y) = 17：x = −3/2、y = −2

第一式乘以 12 得 8x − 9y = 6，第二式展開整理成 2x + 7y = −17，再消去 x 得 37y = −74，於是 y = −2、x = −3/2。

解聯立不等式 x − 3(x − 2) ≥ 4 與 (2x−1)/5 < (x+1)/2：−7 < x ≤ 1

第一個不等式除以 −2 並變號後得 x ≤ 1，第二個去分母後得 x > −7，兩個解集取交集就是 (−7, 1]；數線上左端畫空心圈、右端畫實心圈。

解 x − 3y = 2 與 2x + 2y = 10：x = 17/4、y = 3/4

答案是 x = 17/4、y = 3/4。第二式先除以 2 化成 x + y = 5，兩式的 x 係數就都變成 1，一次相減即可消去 x，再回代求出另一個未知數。

解 x − y = 5 與 2x + y = 4：相加消去 y，得 x = 3、y = −2

解是 x = 3、y = −2。兩式的 y 係數本來就互為相反數，所以直接相加就能消去 y，一步得到 3x = 9，再回代就求出 y。

解 x + y = −1 與 3x − 2y = 7：x = 1、y = −2

解是 x = 1、y = −2。把第一式解成 y = −1 − x 再代入第二式，兩式就併成單一的一次方程式 5x + 2 = 7，解出 x 後回代即可。

設 s = x+y、p = xy 解 x² + y² + xy = 7 與 x + y + xy = 5，得 (1, 2) 與 (2, 1)

答案是 (x, y) = (1, 2) 或 (2, 1)。用 s 與 p 改寫後聯立方程式變成 s² − p = 7 與 s + p = 5，於是 s² + s − 12 = 0；只有 s = 3、p = 2 這一支能給出實數解。

用 x² + y² = 10 解 x⁴ + y⁴ = 82 與 xy = 3，四組實數解

答案是 (3, 1)、(1, 3)、(−1, −3)、(−3, −1)。由 (x²+y²)² = x⁴+y⁴+2(xy)² = 82+18 = 100 得 x²+y² = 10，再算出 x+y = ±4、x−y = ±2 即可配對。

令兩邊右式相等解 y = 4x − 2 與 y = x + 3：x = 5/3、y = 14/3

答案是 x = 5/3、y = 14/3。兩式都已把 y 單獨解出，所以直接令 4x − 2 = x + 3 求出 x，再代回任一條直線求 y，交點即 (5/3, 14/3)。

乘倒數解 (3/4)x − 3 = 0，得 x = 4

答案是 x = 4。兩邊加 3 得 (3/4)x = 3，接著乘倒數 4/3，而不是去除以一個分數；也可以一開始就兩邊乘 4 把分母去掉，同樣得 x = 4。

先提公因式 x 解 x³ = 9x² + 22x，三根為 x = −2、0、11

答案是 x = −2、0 和 11。把所有項移到同一邊，提出公因式 x，再把剩下的二次式分解為 (x − 11)(x + 2)；千萬別兩邊除以 x，那會把 x = 0 悄悄抹掉。

解 x³ − 15x² + 75x − 125 = 0：化成 (x − 5)³ = 0，x = 5 是三重根

答案是 x = 5，而且是三重根。係數 1、−15、75、−125 正好是 (x − 5)³ 的二項展開式，所以方程式只有這一個三重根，別無其他。

看出 (x − 1)³ 解 x³ − 3x² + 3x − 1 = 0：唯一解 x = 1 是三重根

唯一解是 x = 1，而且是三重根。係數 1、−3、3、−1 正是立方展開式帶正負號的那一列二項式係數，所以整個三次式收成 (x − 1)³ = 0。

解 x³ − 3x² + 4 = 0：分解成 (x − 2)²(x + 1)，根為 x = 2（二重）與 x = −1

根是 x = 2（二重根）與 x = −1。用有理根定理試出 x = 2，綜合除法降次得 x² − x − 2，再分解成 (x−2)(x+1)。因為 x = 2 是偶重根，曲線在那裡與橫軸相切而不穿過。

用有理根定理解 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0，三根為 1、2、3

三個根是 x = 1、2 和 3。先試 6 的因數找到 x = 1，用綜合除法除掉 (x − 1)，再把 x² − 5x + 6 分解，最後用根與係數關係的根之和與根之積複核。

解 x = 0.18x + 604.8：還原被扣掉 18% 的本數，x ≈ 737.56

答案約為 737.56。把含 x 的項歸到一邊得 0.82x = 604.8，可見本數等於固定的那部分除以「1 減去 18% 這個佔比」，真正起作用的是補數 0.82。

解 x = 0.3 × 200 + 0.3x：x = 600/7 ≈ 85.71，是循環小數

答案是 x = 600/7，約等於 85.71。把含 x 的項合併得 0.7x = 60，而分母 7 正是這個小數永遠不會終止的原因。

解 x = 0.35(200) + 0.35x：合併 x 項得 x = 1400/13 ≈ 107.69

答案是 x = 70/0.65 = 1400/13，約等於 107.69。未知數在兩邊都出現，所以要先把 x 項合併成 0.65x = 70 再做除法，而不是算 70/0.35。

解 x = 0.4×200 + 0.4x：合併含 x 的項，得 x = 400/3 ≈ 133.33

答案是 x = 400/3，約 133.33。把右邊的 0.4x 移到左邊得 0.6x = 80，這份「自我引用」付出的代價是除以 1 − 0.4，而不是除以 0.4；小數是循環的，分數 400/3 才是乾淨的答案。

x 出現在等號兩邊的百分比方程式：化為 1.08x = 284000，x ≈ 262962.96

答案是 x = 262962.96。未知數在等號兩邊都出現，所以要先把括號展開；整條式子最後收攏成 1.08x = 284000，再做除法即可。

解 x = (500000 − 100000 − 50000 − x) × 12%：合併 x 項得 x = 37500

答案是 x = 37,500。未知數也藏在括號裡，所以先化簡成 x = 0.12(350000 − x)，展開得到 1.12x = 42000，再做除法就完成了。

數值求解 x⁴ + x³ + x² + x = 4.553：x ≈ 1.0524735 與 −1.6942810

兩個實根是 x ≈ 1.0524735 和 x ≈ −1.6942810。左邊可分解成 x(x+1)(x²+1)，由此斷定水平線只與圖形相交兩次，所以實根恰好兩個，另外兩個根是一對共軛複數。

解 x⁴ + x³ + x² + x = 4.66：兩個實根 1.0620313 與 −1.7023038

兩個實根是 x = 1.0620313 和 x = −1.7023038。先在 [1, 1.1] 與 [−1.75, −1.7] 上框住根，再用二分法把它們都逼到小數第七位；只報一個根是不完整的。

解 x⁴ + x³ + x² + x = 4553：兩個實根 x ≈ 7.9431476 與 −8.4477787

兩個實根是 x = 7.9431476 和 x = −8.4477787。把左邊分解成 x(x + 1)(x² + 1)，立刻就能看出為什麼實根恰好是兩個，一正一負，負的那個最常被漏掉。

解 x − 0.2x = 6597.18 − 800：x = 7246.475，除以 0.8 就是乘 1.25

x 精確等於 7246.475。左邊合併成 0.8x，這正是打八折的算法；而除以 0.8 與乘 1.25 是同一回事，結果在小數第三位就終止。

用公式解求 (x − 0.16)x = 0.165：x ≈ 0.4940 與 x ≈ −0.3340

兩個答案是 x ≈ 0.4940 和 x ≈ −0.3340。展開後得到 x² − 0.16x − 0.165 = 0，判別式 0.6856 根本不是完全平方數，所以只能取近似值。

用公式解求 (x − 0.16)x = 16.5：x ≈ 4.143 或 −3.983

答案是 x ≈ 4.143 與 x ≈ −3.983。判別式是 0.0256 + 66 = 66.0256，開方得 8.1256，離整數差得遠，所以只能用公式解。兩根一正一負，正是因為兩根之積 c/a = −16.5 < 0。

解 (x − 0.19)/x = 0.165 求毛利率的基數：x = 0.19/0.835 = 0.2275

答案是 x = 0.19/0.835 = 0.2275。這是標準的毛利率式子：固定成本 0.19 要留出 16.5% 的毛利率，所以基數等於成本除以 (1 − 毛利率)。

合併同類項解 x − 1 = 0.98x，答案 x = 50

答案是 x = 50。兩邊減去 0.98x 只剩 0.02x = 1，而除以 0.02 就等於乘 50，因為 0.02 正好是五十分之一。

解 x − 1 = 0.99x：合併同類項得 0.01x = 1，x = 100

答案是 x = 100。兩邊減去 0.99x 只剩 0.01x = 1，而除以 0.01 這個很小的係數，等價於乘上 100。

兩邊同乘 10 解 (x−1)/2 = 2 − (x+2)/5：x = 3

答案是 x = 3。每一項都乘上最小公分母 10，得到 5(x−1) = 20 − 2(x+2)；小心括號前的負號要變號，再合併同類項就是 7x = 21。

去分母解 x − 1/x = 3：x = (3 + √13)/2 或 (3 − √13)/2

答案是 x = (3 + √13)/2 與 (3 − √13)/2。兩邊同乘 x 化成 x² − 3x − 1 = 0，判別式 13 為正但不是完全平方數，所以兩根都是無理數；兩根都不為零，因此都不是增根。

解 (x − 1)·0.6 + 3 = 51203.3，精確答案 x = 512009/6 ≈ 85334.8333

精確答案是 x = 512009/6 = 85334.83333…。先減 3，再把除以 0.6 換成乘 5/3，最後加 1；出現循環小數說明這個精確值本來就不是有限小數，分數形式才是誠實的答案。

解 x − (0.8x − 5000)(0.1) = 7232 求稅前總額：x = 168300/23 ≈ 7317.39

答案是 x = 168300/23，約 7317.39。括號展開成 0.08x − 500，把負號分配進去後式子變成 0.92x + 500 = 7232，起作用的係數是 1 減去實際稅率 0.08。

令 y = x²/(x+2) 解 (x − 2x/(x+2))² + 4x²/(x+2) = 5，得 x = 2 或 −1

括號可化簡成 x²/(x+2)，所以令 y = x²/(x+2)，式子就變成 y² + 4y − 5 = 0。只有 y = 1 能用，給出 x = 2 或 x = −1；y = −5 那一支判別式為負，沒有實數解。

解 x − 2x + 2 ≥ 1：x 項合併後係數為負，答案是 x ≤ 1

解集是 x ≤ 1。x 與 −2x 合併起來只剩一個 −x，最後一步除以 −1 時不等號由 ≥ 翻成 ≤，於是得到 x ≤ 1，也就是區間 (−∞, 1]。

一步解不等式 x − 3 > 5：兩邊加 3，得 x > 8

答案是 x > 8。兩邊同加 3 就把 x 單獨留下；因為全程只有加法、沒有乘除負數，不等號方向始終不變。解集是開區間 (8, +∞)，數線上在 8 處畫空心圓並向右塗。

去分母解不等式 (x−3)/4 < 6 − (3−4x)/2，解集為 x > −3

解集是 x > −3。兩邊同乘最小公分母 4 得 x − 3 < 24 − 2(3 − 4x)，注意分式前面那個負號會把括號裡兩項都變號。乘的是正數 4，所以不等號方向不變。

解 x − (0.8x − 5000)(0.03) = 6494：稅前總額恰好是 x = 6500

答案是 x = 6500。括號展開成 0.024x − 150，把負號分配進去後式子收成 0.976x + 150 = 6494，除法除得盡，根是一個乾淨的整數。

解不等式 x − 3(x − 2) ≥ 4：除以負數要變號，解集 x ≤ 1

解集是 x ≤ 1。把 −3 分配到 x − 2 上得 −3x + 6，隨後 −2x ≥ −2 兩邊同除以 −2 時，不等號方向必須反過來。

一步解不等式 x − 4 > 11：兩邊加 4 得 x > 15

答案是 x > 15。兩邊同時加 4 就抵消了那個減 4；整個過程沒有乘或除負數，所以大於號的方向絲毫不變，解集是 (15, +∞)。

乘最小公分母解 (x−4)/3 < (2x−1)/2：x > −5/4

解集是 x > −5/4。兩邊同乘 6 得 2(x − 4) < 3(2x − 1)，展開整理時讓 x 的係數保持正號就不必變號。答案保留精確分數 −5/4 而不寫成 −1.25；在 x = −5/4 處兩邊正好相等，所以端點排除。

用「平方相等」法則解 (x − 4)² = (3 − x)²，得 x = 7/2

答案是 x = 7/2。平方相等代表兩個底數相等或互為相反數；「相等」這一支給出 x = 3.5，而「相反數」那一支收成 −4 = −3 這個假命題，不提供解。

解一步不等式 x − 7 > 5：兩邊加 7，得 x > 12

答案是 x > 12。兩邊同加 7 就能把 x 單獨留下；由於加法從不改變不等號方向，大於號保持原樣不變，解集是 (12, +∞)。

先合併 x 項解 x − x/5 = −4/5：方程式的根是 x = −1

根是 x = −1。左邊兩項都含 x，所以先把它們合併成 (4/5)x 再做除法；兩邊同乘 5 則可以完全避開分數運算。

把 x − y = 8 分別解出 x 與 y：x = y + 8、y = x − 8，有無窮多組解

兩種變形是 x = y + 8 和 y = x − 8。一個方程式配兩個未知數，解有無窮多組，在平面上構成一條斜率為 1、y 截距為 −8 的直線。要定下唯一一對數，還需要再補一個獨立的方程式。

解 x/(0.33668 + x) = 0.85：x 恰是 0.33668 的 17/3 倍，約 1.9078533

答案是 x = 1.9078533，正好是 0.33668 的 17/3 倍。交叉相乘後得 0.15x = 0.286178，再除以 0.15；因為倍數含 1/3，結果是循環小數而不是整齊的數。

解 x/(0.33668 + x) = 0.95：x 佔總量 95%，x = 6.39692

答案是 x = 6.39692，正好是 0.33668 的 19 倍。交叉相乘得到 0.05x = 0.319846，剩下的那 5% 就是倍數 19 的來源。

解 x/(10 + x) = 0.97：答案 x = 970/3 ≈ 323.33 是循環小數

答案是 x = 970/3，約等於 323.33。交叉相乘得到 3x = 970，這個 3 正是 100 − 97，也正因為它，答案的小數部分會無限循環下去。

解 x/(10 + x) = 0.98：純度／稀釋目標下 x = 490

答案是 x = 490。交叉相乘得 50x = 49(10 + x)，於是 x = 490 —— 要讓佔比達到 98%，x 必須是那個固定的 10 的 49 倍。通用公式是 x = ap/(1 − p)，分母裡的 1 − p 說明目標佔比越接近 100%，答案就爆炸式增長。

解不等式 x/2 > x − 1：變號後得 x < 2

答案是 x < 2。兩邊同乘 2 去掉分母，合併後得 −x > −2，再乘 −1 把不等號反向，得 x < 2；也可以移項成 2 > x 直接避開負係數。

兩邊乘 4 去分母解 x/4 − 3/2 + 2x = 7/2 + 3x，得 x = −20/3 ≈ −6.6667

答案是 x = −20/3，約 −6.6667。每一項都乘 4 就同時清掉兩個分母，得到 9x − 6 = 14 + 12x，合併後是 −20 = 3x。

用公式解求 (x/5 + 1)(x/2) = 2488：x ≈ 155.2538 或 −160.2538

答案是 x = (−5 + √99545)/2 = 155.2538，或 x = (−5 − √99545)/2 = −160.2538。把五分之一與二分之一的分母去掉後，這個乘積式就變成 x² + 5x − 24880 = 0。

精確解比例式 x/8 = 11/6：x = 44/3，即 14 又 2/3 ≈ 14.667

答案是 x = 44/3，也就是 14 又 2/3，約等於 14.667。兩邊同乘 8 得到 88/6，再約掉公因數 2 就化到了最簡分數。

解 x/(x+5) − 25/(x²+25) = 0：一次項抵消後化為 x³ = 125，得 x = 5

去分母後得到 x³ + 25x − 25x − 125 = 0，兩邊的 25x 恰好抵消，於是 x³ = 125，唯一實根是 x = 5；三次式的另外兩個根是複數。注意 x² + 25 對實數永不為零，所以只有 x = −5 這一個排除值。

已知 x/y = 0.99，解出 y = 100x/99 ≈ 1.0101x

答案是 y = 100x/99，約等於 1.0101x。兩邊乘 y 得 x = 0.99y，再除以 0.99；把這個小數換成精確分數 100/99，就避開了 1/0.99 帶來的捨入誤差。

展開立方解 (x + 1)³ + (x − 2)³ − 2x²(x − 1.5) = 3，答案 x = 2/3

答案是 x = 2/3。兩個立方展開後合成 2x³ − 3x² + 15x − 7，而被減掉的那一項正好消去 2x³ − 3x²，只留下一次方程式 15x − 7 = 3。

解 (x + 1) × 1.76566975 = 25：x = 92937321/7062679 ≈ 13.15893318

答案是 x = 13.15893318，精確值是 92937321/7062679。兩邊先除以那個八位小數的乘數，再減 1；提前四捨五入會把結果算偏。

解不等式 (x+1)(x−4) ≤ 1/4：端點是 (3 ± √26)/2

解集是 (3−√26)/2 ≤ x ≤ (3+√26)/2，大致是 −1.0495 到 4.0495。先展開、把 1/4 移過去、去掉分母，再對 4x² − 12x − 17 用公式解。

用三段取點法解 (x + 1)(x − 4) < 0：解集為 −1 < x < 4

解集是 −1 < x < 4。兩個因式的乘積為負，恰好發生在兩個因式異號的時候，也就是嚴格落在兩根之間。展開後是開口向上的拋物線 x² − 3x − 4，只在兩根之間位於橫軸下方；兩個端點使乘積為 0，所以都排除。

解兩邊都含未知數的不等式 x + 10 < 3x + 6，得 x > 2

解集是 x > 2。兩邊先減 x 再減 6 得 4 < 2x，除以正數 2 得 2 < x，最後把未知數寫到左邊讀成 x > 2。把 x 歸到係數較大那一邊，可以避免除以負數。

解 x + 10x + x + x = 104：係數相加成 13x = 104，得 x = 8

答案是 x = 8。四項的係數分別是 1、10、1、1，相加得 13，方程式化簡成 13x = 104，兩邊同除以 13 就得到 x = 8。

解一步不等式 x + 2 < 6：兩邊減 2，得 x < 4

答案是 x < 4。兩邊同減 2 把 x 單獨留下；減法不會改變不等號方向，所以小於號維持原來的指向，解集為 (−∞, 4)。

解 x + 29 > 3x + 12：邊界是分數，答案為 x < 17/2

答案是 x < 17/2。把含 x 的項移到右邊得 17 > 2x，再除以 2；17 是奇數，所以邊界留成分數 17/2 比寫成小數精確。

用乘法公式解 (x + 4)(x² − 4x + 16) − x(x + 5)(x − 5) = 264：x = 8

答案是 x = 8。兩個三次項互相抵消：前一個乘積是立方和 x³ + 64，後一個是 x³ − 25x，剩下一次方程式 25x + 64 = 264。

解 (x + 8)(x + 3) = 9：無法因式分解，根為 (−11 ± √61)/2

答案是 x = (−11 + √61)/2 與 x = (−11 − √61)/2。展開得 x² + 11x + 15 = 0，判別式 61 不是完全平方數，所以只能用公式解。

用 t = x + 1/x 解 7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9：x = 2 或 1/2

因為 x² + 1/x² = t² − 2，方程式化成 2t² − 7t + 5 = 0，得 t = 1 或 5/2。只有 t = 5/2 有實數原像，解出 x = 2 與 x = 1/2。

解 x + √4 − 3x = −2：先化簡根號，得 x = 2

答案是 x = 2。因為 √4 = 2 是常數，不是含 x 的根式，所以這只是一般的一次方程式：−2x + 2 = −2，兩步就得 x = 2。

代入法解聯立方程式 x + y = 1/12、8x + 15y = 1：x = 1/28、y = 1/21

答案是 x = 1/28、y = 1/21。把 x = 1/12 − y 代入第二式化成 2/3 + 7y = 1，得 y = 1/21；這是典型的兩人工作效率問題。

用公式解 x² = 2x + 17：兩根為 1 + 3√2 與 1 − 3√2

答案是 x = 1 + 3√2 與 x = 1 − 3√2。判別式為 72，先把 √72 化簡成 6√2，分子分母的 2 才能乾淨地約掉。

解 x² − 15 = (x + 15)²：二次項抵消，只有一根 x = −8

答案是 x = −8。把右邊展開成 x² + 30x + 225，兩邊的 x² 互相抵消，剩下一次方程式 30x = −240，所以只有一個根。

解 x² − 2√3 = 0：答案是巢狀根式 ±√(2√3) ≈ ±1.8612

答案是 x = ±√(2√3)，約為 ±1.8612。常數項是無理數，所以答案寫成巢狀根式，等於 2^(1/2)·3^(1/4)，也就是 √2 乘上 3 的四次方根。

用平方差解 x² − 25 = 0：兩根為 x = 5 與 x = −5

答案是 x = 5 或 x = −5。認出 25 就是 5²，左邊可分解成 (x − 5)(x + 5)；這比直接開平方好，因為兩個正負根會自動出現。

解 x² − 2x − 4 = 0：兩根為 1 + √5 與 1 − √5

答案是 x = 1 + √5 與 x = 1 − √5。判別式為 20，把 √20 化簡成 2√5 之後，整個分式才能約成漂亮的形式。

解 x² − 2x + 1 > 0：除了 x = 1 之外的所有實數

答案是除了 x = 1 以外的所有實數。左邊是完全平方 (x − 1)²，只有在重根 x = 1 處等於零，其餘地方都嚴格大於零。

解 x² − 3x − 10 ≥ 0 與 x² − 1 ≤ 0 並取交集：無解

第一式的解是 (−∞, −2] ∪ [5, ∞)，第二式的解是 [−1, 1]，兩者交集為空集合，所以沒有任何 x 能同時滿足這兩個二次不等式。

解 x² − 3x − 10 ≤ 0：解落在兩根之間，−2 ≤ x ≤ 5

答案是 −2 ≤ x ≤ 5。因式分解成 (x − 5)(x + 2) 後可看出，開口向上的拋物線只有在兩根之間才低於 x 軸，端點也包含在內。

用因式分解解 x² − 4x + 3 = 0：兩根為 x = 1 與 x = 3

答案是 x = 1 與 x = 3。−1 與 −3 相乘得 3、相加得 −4，所以二次式可以乾淨地分解成 (x − 1)(x − 3)，再用零因子性質求解。

從 x² − 4y + 1 = 0 解出 y = (x² + 1)/4，圖形是拋物線

答案是 y = (x² + 1)/4。先把 −4y 單獨留下，再兩邊同除以 −4，右邊每一項都變號；圖形是開口向上、頂點在 (0, 1/4) 的拋物線。

因式分解解 x² − 5x + 6 = 0：兩個負因數，根為 2 與 3

答案是 x = 2 與 x = 3。常數項為正而一次項為負，代表兩個因數都是負的；−2 乘 −3 得 6，−2 加 −3 得 −5，正好符合。

用公式解 x² − 6x − 5 = 0：兩根為 3 + √14 與 3 − √14

答案是 x = 3 + √14 與 3 − √14。判別式為 56，把 √56 化簡成 2√14 之後，因數 2 才能和分母約掉，得到乾淨的形式。

解 x² − 7x − 6 > 0：邊界是無理數 (7 ± √73)/2

答案是 x < (7 − √73)/2 ≈ −0.7720 或 x > (7 + √73)/2 ≈ 7.7720。判別式 73 是質數，所以兩個邊界都是無法化簡的無理數。

對所有實數參數 a 解 x² − ax + 1 < 0：|a| > 2 才有解

答案以 |a| > 2 分界：解是 (a − √(a²−4))/2 與 (a + √(a²−4))/2 之間的開區間；當 −2 ≤ a ≤ 2 時無解，解集為空集合。

因式分解解 x² − x − 42 = 0：兩根為 x = 7 與 x = −6

答案是 x = 7 或 x = −6。找乘積為 −42、和為 −1 的兩個數，也就是 −7 與 6，於是分解成 (x − 7)(x + 6) = 0。

用公式解 x² + 17x − 120 = 0：根為 (−17 ± √769)/2

答案是 x = (−17 + √769)/2 ≈ 5.3654 或 x = (−17 − √769)/2 ≈ −22.3654。判別式 769 不是完全平方數，所以這個二次式無法作整數分解。

用配方法解 x² + 2x − 1 = 0：兩根為 −1 + √2 與 −1 − √2

答案是 x = −1 + √2 與 −1 − √2。一次項係數是偶數，所以改寫成 (x + 1)² = 2 比直接套公式解更快。

解 x² + 3x = −2：移項後因式分解，兩根為 −1 與 −2

答案是 x = −1 與 x = −2。兩邊同加 2 得 x² + 3x + 2 = 0，因為 1 乘 2 是 2、1 加 2 是 3，所以分解成 (x + 1)(x + 2)。

因式分解解 x² + 3x − 18 = 0：兩根為 x = −6 與 x = 3

答案是 x = −6 或 x = 3。乘積為 −18、和為 +3 的兩數是 6 與 −3，所以二次式分解成 (x + 6)(x − 3) = 0。

解 x² + 3x + 6 = 1：判別式為負，兩根是共軛複數

答案是 x = (−3 ± i√11)/2。兩邊同減 1 得 x² + 3x + 5 = 0，判別式是 −11，所以完全沒有實根，只有一對共軛複數根。

解 x² + 4x − 21 = 0：兩因數異號，根為 −7 與 3

答案是 x = −7 與 x = 3。常數項為負代表那一對因數異號；7 乘 −3 得 −21，7 加 −3 得 4，正好符合。

因式分解解 x² + 5x + 6 = 0：(x+2)(x+3)，根為 −2 與 −3

答案是 x = −2 或 x = −3。乘積為 6、和為 5 的兩數是 2 與 3，所以二次式可以分解，再用零因子性質得到兩個根。

解 x² + x = 210：分解成 (x+15)(x−14)，根為 14 與 −15

答案是 x = 14 或 x = −15。把 210 移項得 x² + x − 210 = 0，而 15 與 −14 相乘得 −210、相加得 1，正是一次項係數。

解 x² + x − 1 ≥ 0：邊界正是黃金比例的兩個共軛值

答案是 x ≤ (−1 − √5)/2 ≈ −1.6180 或 x ≥ (−1 + √5)/2 ≈ 0.6180，而這兩個邊界值恰好是黃金比例與其共軛值的相反數。

解 x(1 + 10%) = 518：漲價前的金額是 5180/11 ≈ 470.9091

答案是 x = 5180/11 = 470.909091，不是整數 470。518 除以 1.10 除不盡，而 1.1 × 470 = 517，比 518 整整少了一個單位。

解 60x = 35：約分後得 x = 7/12 ≈ 0.5833

答案是 x = 7/12，約等於 0.5833。兩邊同除以 60 得 35/60，再把分子分母的公因數 5 約掉，就是最簡分數。

為什麼 x(75 − 2x − 1) = 690 沒有實數解：判別式為 −11

沒有實數解：x² − 37x + 345 的判別式是 −11。複數解為 (37 ± i√11)/2，所以不存在面積剛好等於這個目標值的長方形。

精確解 x × 75 × 365 ÷ 1000 = 137.1：x = 1828/365 ≈ 5.0082

答案是 x = 1828/365 ≈ 5.00822，不是剛好 5。把常數併成 27.375 後得 27.375x = 137.1，而 27.375 × 5 只有 136.875，差了 0.225。

提出 −5 解 x(−5x + 250) = 2625：兩根為 x = 15 與 x = 35

答案是 x = 15 與 x = 35。兩邊同除以 −5，方程式變成 x² − 50x + 525 = 0，剛好可以分解成 (x − 15)(x − 35)。

用 u = x² 解 x⁴ − 6x² + 8 = 0：四個實根 ±√2 與 ±2

四個根是 x = −2、−√2、√2 與 2。變數代換 u = x² 把四次式變成 u² − 6u + 8 = 0，可分解成 (u − 2)(u − 4)，兩個 u 值都是正的。

用 y = log x 解 x^√(log x) = 10^125：答案是 x = 10^25

答案是 x = 10^25。令 y = log x，方程式化成 y^(3/2) = 125，於是 y = 125^(2/3) = 25，代回得 x = 10^25。

用勘根與二分法解 x⁷ + x⁵ + x³ + x = 4.66：x ≈ 1.038016

唯一的實根是 x ≈ 1.038016。左邊是嚴格遞增函數，所以恰有一個根；f(1) = 4 與 f(1.1) = 5.990 把它夾住，再二分逼近即可。

把 (3x² − 15x + 5)/(−3x) 拆成 −x + 5 − 5/(3x)

除以 −3x 會讓每一項都變號：3x² 變成 −x，−15x 變成 +5，常數 5 則變成 −5/(3x)，最後留下一個分式項。

把 (4x¹⁰ − 5x⁹ − 20x⁴)/(4x²) 拆成 x⁸ − (5/4)x⁷ − 5x²

把分子每一項分別除以 4x²：係數相除、指數相減。只有中間那一項除不盡，留下係數 5/4，其餘兩項都是整齊的單項式。

改寫分子拆解 x/(x − 2)²：等於 1/(x − 2) + 2/(x − 2)²

部分分式的結果是 1/(x − 2) + 2/(x − 2)²。把分子 x 寫成 (x − 2) + 2，每一塊就能直接和分母約分，完全不必解聯立方程式。

為什麼 √(−19) × √(−19) 等於 −19 而不是 +19

乘積是 −19。必須先寫成 √(−19) = i√19，因為根號相乘的公式 √a·√b = √(ab) 在被開方數為負時並不成立。

展開 (4√3a + √3a²)²：結果是 3a⁴ + 24a³ + 48a²

展開結果是 3a⁴ + 24a³ + 48a²。先把 √3a 提出來，題目變成 3a²(a + 4)²，平方之後根號就完全消失了。

先相加再平方求 3×3 矩陣的 (A + C)²：第一列為 379、183、75

A + C 的三列是 (19,3,3)、(3,5,3)、(3,37,3)，其平方的三列是 (379,183,75)、(81,145,33)、(177,305,129)。先逐元素相加，再讓這個和自乘。

解 x²((8.9−x)²−64) = (631.9−79x)²：只有兩個實根，不是四個

這個四次方程式只有兩個實根：x ≈ −78.5149849 與 x ≈ 80.4985052。在兩根之間，四次式的值從未超過約 −3992，所以 [0, 80] 內不可能藏著根。

兩個三次多項式相減：結果 −3x³ + 6x² + 7x − 18，次數為 3

差是 −3x³ + 6x² + 7x − 18，次數為 3。先把減號分配到第二個括號的每一項，再合併同類項；三次項沒有抵消，所以次數仍是 3。

(6x + 5)/(x² − 8x + 12) 減 6/(x − 2)：結果是 41/((x − 2)(x − 6))

差是 41/((x − 2)(x − 6))。把二次分母分解就看得出公分母，通分之後含 x 的項互相抵消，分子只剩常數 41。

從 −2x³y² + 4x²y³ − 3xy⁴ 減去 (6x⁴y − 5x²y³ − y⁵) 的結果

差是 −6x⁴y − 2x³y² + 9x²y³ − 3xy⁴ + y⁵。重點在於第二個括號每一項都要變號，以及雙變數時哪些項才算得上是同類項。

把 (−2+8i) − (2−7i) 寫成標準式 a + bi：答案是 −4 + 15i

答案是 −4 + 15i。先把減號分配到第二個複數的實部與虛部，再把實部與實部相加、虛部與虛部相加，兩者永遠不會混在一起。

16xy³ 的立方根減 y 倍 128x 的立方根：結果為 −2y 倍 2x 的立方根

差等於 −2y 乘以 2x 的立方根。把每個根號裡的完全立方數 8 與 y³ 提出來，兩項就都變成含 2x 立方根的同類根式，係數相減即可。

逐項相減 (9n³ − n⁷ − 9) − (8n³ − n⁷ − 11)：答案是 n³ + 2

差是 n³ + 2。把減號分配到整個第二個括號，兩個 n⁷ 項恰好互相抵消，剩下的同類項合併後只留下三次項與常數。

f = 2 − x²、g = x² + 4x − 60 求 (f − g)(x) = −2x² − 4x + 62

答案是 −2x² − 4x + 62。整題的難處只在把減號分配到 g 的三項上：4x 變成 −4x、−60 變成 +60，再依次數合併同類項。

(2x+1)/(x+5) − (3x−2)/(x+4) 通分化簡為 (−x²−4x+14)/((x+5)(x+4))

答案是 (−x² − 4x + 14)/((x+5)(x+4))。交叉相乘通分到公分母，把兩個乘積展開，再把減號分配到第二個括號的三項上。

兩個二元多項式相減：x⁴y² − 15x³y − 14y + 8x，次數為 6

差是 x⁴y² − 15x³y − 14y + 8x，次數為 6。先把減號分配給第二個括號的全部四項，合併同類項，再把每一項的指數相加取最大值。

減去 (2x³ + 3xy − 7y²) 得 −x³ − 10xy − 2y²，次數為 3

差是 −x³ − 10xy − 2y²，是一個 3 次多項式。先把負號分配進去，再把 x³、xy、y² 三類同類項分別配對，最後讀出最高的總次數。

6s²t − 2st² 與 4s²t − 3st² 之和：3 次二項式 10s²t − 5st²

和是 10s²t − 5st²，是一個次數為 3 的二項式。只有同類項才能合併，而每一項的次數是各指數之和 2 + 1 = 3，不是 2。

等差數列偶數項之和 u2 + u4 + … + u2020 = 5101510

由 u3 + u5 − u6 = 6 與 u8 + u4 = 52 解得 d = 5、u1 = 1。偶數項自成公差為 10 的等差數列，共 1010 項，求和得 5101510。

聯立不等式無解且方程式有非負整數解，整數 m 之和為 6

答案是 6（m = 0、2、4）。聯立不等式無解要求 m ≥ −1，而 x + m − 2 = 2 − x 有非負整數根要求 m 為偶數且 m ≤ 4，三者取交集即得。

九個角成等差數列，首項 n1 所有可能值之和為 60

答案是 60，來自兩個合法首項 24 與 36。九個角總和 540，所以中間項是 60；由 78 得 (k − 5)d = 18，公差 d 必須整除 18。

解 (x²+4x−12)·√(x+5) = 0 並求根之和

根之和為 −3。定義域 x ≥ −5 把 x = −6 排除，而根號那個因式本身又貢獻了額外的根 x = −5，所以兩根是 2 與 −5。

(x² + 4x − 12)·√(x + 5) = 0 的根之和是 −3

根之和是 −3。定義域 x ≥ −5 把二次因式的根 x = −6 排除掉，只剩二次因式給的 x = 2 與根號因式給的 x = −5。

(x² − 5x)·√(4 + 3x − x²) = 0 的解之和是 3

解之和為 3。定義域是 [−1, 4]，所以候選值 x = 5 被排除，只有 x = −1、x = 0 與 x = 4 通過兩個因式的乘積為零檢驗。

解 (1+x)²⁷ + … + (1+x)³⁶ = 70/3：化成等比級數求根

兩個實根是 x ≈ 0.027167 與 x ≈ −2.122636。令 y = 1 + x，左邊變成等比級數 y²⁷(y¹⁰ − 1)/(y − 1)，它只在 y > 0 時嚴格遞增——負半邊還藏著第二個根。

分三段討論解 |x+1| + |x−1| ≤ 3，解集為 −3/2 ≤ x ≤ 3/2

解集是區間 −3/2 ≤ x ≤ 3/2。在 x = −1 與 x = 1 處分段，左邊依序化為 −2x、常數 2、2x，只有兩側那兩段才真正產生限制。

x = (√3+1)/(√3−1)：快速求 x + y、xy 與 x³ + y³

分母有理化後得 x = 2 + √3、y = 2 − √3，於是 x + y = 4、xy = 1；再用對稱式公式得 x² + y² = 14、x³ + y³ = 52、4x² + 7xy + 4y² = 63。

x = 1/(√5−2)、y = 1/(√5+2) 時 x + y = 2√5、xy = 1、x² + y² = 18

分母有理化後 x = √5 + 2、y = √5 − 2，所以和為 2√5、積為 1。再用 x² + y² = (x+y)² − 2xy 得到 20 − 2 = 18。

x³ − 7x + 6 除以 −2x + 1 的綜合除法：商 −x²/2 − x/4 + 27/8，餘式 21/8

相除得到商 −x²/2 − x/4 + 27/8、餘式 21/8。先把除式寫成 −2(x − 1/2)，用綜合除法除以 x − 1/2，再把商除以 −2，餘式保持不變。

用綜合除法算 2t³ − t − 15 除以 t − 1：商 2t²+2t+1，餘式 −14

商是 2t² + 2t + 1，餘式是 −14。缺少的 t² 項必須補一個 0 佔位，係數列才是 2、0、−1、−15，否則整道題就算成了別的式子。

2t² − t − 15 除以 t − 1 的綜合除法：商 2t + 1，餘式 −14

商是 2t + 1，餘式是 −14，所以 2t² − t − 15 = (t − 1)(2t + 1) − 14。首項係數是 2 完全沒關係，綜合除法只要求除式首一。

綜合除法把 2x³ + 2x² + 2x − 1 除以 x − 1：商 2x² + 4x + 6，餘式 5

商是 2x² + 4x + 6，餘式是 5。除式 x − 1 對應 c = 1，符號要翻轉；最後再用餘式定理獨立驗證這個 5。

綜合除法算 x³ − 2x + 3 除以 x − 2：商 x² + 2x + 2，餘 7

綜合除法得到商 x² + 2x + 2、餘式 7。重點在缺少的 x² 項要補一個 0 佔位，以及每一列的落下、乘、加是怎麼走的。

綜合除法：x³ − 2x² − 4x + 8 除以 x − 2，商 x² − 4、餘式 0

商是 x² − 4，餘式為 0，代表 x − 2 能整除這個三次式。取 c = 2，先把首項係數 1 落下來，再沿係數逐個「乘一次、加一次」。

綜合除法算 x³ − 4x + 5 除以 x − 2：商 x²+2x，餘式 5

商是 x² + 2x，餘式是 5，也就是原式等於 (x − 2)(x² + 2x) + 5。缺少的 x² 項要補 0 佔位，表頭取 c = 2。

x³ − 4x² + x + 6 除以 x + 1：商 x² − 5x + 6，分解為 (x+1)(x−2)(x−3)

商是 x² − 5x + 6，餘式為 0，所以這個三次式分解成 (x + 1)(x − 2)(x − 3)。注意表格角落要填的是 c = −1，不是 c = 1。

缺一次項的綜合除法：x³ − x² − 4 除以 x − 2，商 x² + x + 2、餘式 0

商是 x² + x + 2，餘式是 0。這個三次式沒有一次項，列係數時必須在那一欄補一個 0 佔位，否則後面各欄全部錯位。

綜合除法算 x³ + 3x² − 6x − 8 除以 x − 1，餘式 −10

商是 x² + 4x − 2，餘式是 −10，所以這個三次式等於 (x − 1)(x² + 4x − 2) − 10。餘式不為零，代表 x − 1 不是它的因式。

用加減消去法解 8(x+y) = 3520、6x + 12y = 3480，得 x = 300、y = 140

解是 x = 300、y = 140。兩個式子分別除以 8 與 6，化成 x + y = 440 與 x + 2y = 580，兩式相減立刻解出 y。

用代入消去法解 2(x−y)+x=95 與 (x−y)+3(x+y)=150，得 x=35、y=5

答案是 x = 35、y = 5。先去括號化成 3x − 2y = 95 與 2x + y = 75，再從第二式解出 y 代入，一步得到 7x = 245。

x² + x − 6 < 0 與 x² + 4x − 12 > 0 聯立：解集合為空集合

這組不等式沒有實數解。第一個不等式給出 −3 < x < 2，第二個給出 x < −6 或 x > 2，兩個解集合完全不重疊。

解 x + y − 3z = 0 與兩個二次條件：z = 14/13，x、y 含 √595

z = 14/13，兩組解為 ((28 ∓ √595)/13, (14 ± √595)/13)。訣竅是看出第二式的二次部分恰好是第三式的 2 倍，代入後 z 立刻被定死。

為什麼 x² + y = 2 與 −x² + y = 10 聯立起來沒有實數解

兩式相加得 2y = 12，即 y = 6；代回去便得 x² = −4，沒有實數滿足它。所以這組聯立方程式沒有實數解。

含銅 40% 與 55% 的合金熔成 45%，第三種合金質量為 150 kg

第三種合金重 150 kg。依銅的質量守恆列式 0.40(100) + 0.55m = 0.45(100 + m)，解得第二種合金 m = 50 kg，再加上第一種的 100 kg。

三個連續整數的和是 51：這三個數是 16、17、18

這三個整數是 16、17 與 18。把它們設成 n−1、n、n+1，求和恰好是 3n，於是 n = 51/3 = 17，中間那個數立刻就出來了。

三元一次聯立：三種玫瑰各一朵要多少錢

各買一朵共 6.00 英鎊。兩朵白加一朵黃是 5、兩朵白加三朵紅是 10.50、三朵黃加兩朵紅是 11，用代入法解出單價。

為什麼 a+b+c=100、600a+c=1200、600b+599c=0 無解

這組聯立方程式是矛盾的。消去 b 與 c 之後 a 全部抵消，只剩下 2 = 100 這個假命題，所以沒有任何三元組 (a, b, c) 能同時滿足三式。

解含小數係數的三元聯立方程式：x≈0.21936、y≈−0.14766、z≈0.07169

解為 x ≈ 0.21936、y ≈ −0.14766、z ≈ 0.07169。先把 z = x + y 代入，三個式子化成兩個；再把 25.33333 認成 76/3，就能得到精確的分數解。

首排 15 座、每排多 4 座的 30 排看台共有 2190 個座位

每排座位數構成等差數列，u₁ = 15、d = 4、n = 30，所以末排有 131 個座位，總數為 (30/2)(15 + 131) = 2190。

底面放大 3 倍的兩個水池共需 16.6xy 立方公尺水，代入得 249

兩池合計體積是 16.6xy 立方公尺，當 x = 5、y = 3 時為 249 立方公尺。底面長寬同時乘以 3，底面積就變成原來的 9 倍，而不是 3 倍。

由晚 6 分鐘到站求火車原速：答案是 77 km/h

答案是 77 km/h。把全程寫成 10v，剩下那一段恰好是 v 公里，於是誤點的式子化簡成 v/(v − 7) = 11/10。

把 f(x) = 2|x + 6| − 1 右移 1、下移 7，得到 2|x + 5| − 8

結果是 f(x) = 2|x + 5| − 8。右移 1 單位要把 x 換成 x − 1，頂點從 (−6, −1) 移到 (−5, −1)；再下移 7 單位，頂點落到 (−5, −8)。

f(x) = |x − 1| + 5 右移 2、上移 4 後變成 |x − 3| + 9

結果是 f(x) = |x − 3| + 9，頂點從 (1, 5) 移到 (3, 9)。兩個常數都要變：絕對值內的 1 變成 3，外面的 5 變成 9。

把 f(x) = |x − 4| − 3 右移 2、上移 6：新式子是 f(x) = |x − 6| + 3

結果是 f(x) = |x − 6| + 3，頂點從 (4, −3) 移到 (6, 3)。左右平移寫在絕對值裡面且要變號，上下平移寫在外面且符號不變。

把 f(x) = |x − 4| 右移 2、上移 6 得到 |x − 6| + 6

結果是 f(x) = |x − 6| + 6，頂點從 (4, 0) 移到 (6, 6)。原式外面本來沒有常數項，所以上移量直接就成了括號外的那個常數。

把 f(x) = |x − 5| 向左平移 4 單位，得到的函數是 |x − 1|

把 x 換成 x + 4，得 |(x + 4) − 5| = |x − 1|，頂點從 x = 5 移到 x = 1。向左平移在函數內部用的是加號。

把 f(x) = |x + 2| 向下平移 3 單位，得到 |x + 2| − 3

鉛直平移是在絕對值外面做減法，結果為 |x + 2| − 3。頂點從 (−2, 0) 降到 (−2, −3)，圖形因此與 x 軸有了兩個交點。

把 f(x) = |x| + 10 左移 8、下移 2：新式子是 f(x) = |x + 8| + 8

結果是 f(x) = |x + 8| + 8。水平平移寫進絕對值裡面且符號相反，鉛直平移寫在外面且符號相同，頂點由 (0, 10) 移到 (−8, 8)。

把最基本的 |x| 右移 2、上移 4：一步步得到 |x − 2| + 4

結果是 f(x) = |x − 2| + 4，頂點為 (2, 4)。從最基本的 |x| 出發，規則一目了然：h 寫在絕對值裡面且帶減號，k 寫在外面且帶加號。

p = 1 時沒有任何 q、r、s 能讓 (p → ((¬p∨r)∧¬s)) ∧ (¬s → (¬r∧p)) 為真

q、r、s 怎麼取都不行。p = 1 時第一個連言項化為 r ∧ ¬s，第二個化為 s ∨ ¬r，這兩個要求互相矛盾，所以這個式子在任何選項下都為假。

兩名單車騎士各騎 120 km，速差 3 km/h、時差 2 小時：速度為 12 與 15 km/h

兩人的速度分別是 12 km/h 與 15 km/h。列出 120/x − 120/(x+3) = 2，去分母化成 x² + 3x − 180 = 0，正根是 x = 12。

用代入法精確解 x + 3y = 6 與 x − y/3 = 0：x = 3/5、y = 9/5

答案是 x = 3/5、y = 9/5。第二式直接給出 x = y/3，連分母都不用去，代進第一式一步就化成 (10/3)y = 6。

為什麼 0.055x − 570 對任何 x 都不等於 0.055(x − 78000) + 1280

這個方程式無解。兩個式子的斜率都是 0.055，所以對任意 x，它們的差恆為常數 2440——圖形是兩條永不相交的平行線。

一人先單獨刷 2 天再合作的工作問題：全部刷完一共要 4 天

答案是 4 天。單獨做 2 天後還剩 3/5 的房子，兩人合起來每天 3/10，正好再用 2 天刷完。

把 (y + 397)/(−12) = (x − 362)/4 化成斜截式 y = −3x + 689

直線是 y = −3x + 689。這個式子是通過 (362, −397) 與 (366, −409) 的兩點式；交叉相乘後除以 4，斜率就是 −3。

由三組總價求一紅一白一黃玫瑰共多少錢：6 英鎊

各一朵共 6 英鎊：白玫瑰 1.50、黃玫瑰 2.00、紅玫瑰 2.50。把 y = 5 − 2w 代進第三式，整組聯立就化成只含 w 的一個方程式。

由 144 美元的找補款反推單價：每罐 18 美元

每罐 18 美元。三人出錢相同，公平份額就是平均數；第一個人比份額多拿了 8 罐，144 除以 8 就是單價。

用根與係數關係求 x² + 3x − 5 = 0 的 x₁ + x₂ − x₁x₂，答案是 2

結果是 2。由根與係數關係得 x₁ + x₂ = −3、x₁x₂ = −5，所以原式等於 −3 − (−5) = 2，全程不必求出那兩個無理根。

m − x² ≤ 1 − x 有正數解時 m 的範圍：全體實數

任何實數 m 都可以。移項得 m ≤ x² − x + 1，而這個式子在 x > 0 上沒有上界，所以取一個夠大的正數 x 總能讓不等式成立。

首週存 42 元、每週再加 8 元，第 46 週首次存夠 400 元

第 n 週末的餘額是 42 + 8(n − 1) = 8n + 34。解 8n + 34 ≥ 400 得 n ≥ 45.75，所以第 46 週（402 元）是第一次足夠的時候。

(a+bi)²⁰²⁵ = (a−bi)²⁰²⁵ 代表什麼：z 的 2025 次方必須是實數

這個條件說的是 z²⁰²⁵ 等於它自己的共軛，因此 z²⁰²⁵ 是實數。化成極式就得到 arg(z) = kπ/2025（k 為整數）或 z = 0，而模長不受任何限制。

a^n + b^n 何時能因式分解：n 為奇數時 a + b 一定是因式

n 為奇數時 a + b 永遠是因式，另一個因式的正負號交替出現。n 為偶數時沒有通用分解式，但 n = 6 可借立方和拆開。

(2 − 3x)/(x(x − 1)) 何時為正：在 x < 0 與 2/3 < x < 1 上

臨界點 0、2/3、1 把數線切成四段；每段各取一點代入檢驗，可知這個分式在 (−∞, 0) 與 (2/3, 1) 上為正。

四個算幾不等式結論哪個對：只有 √x + 1/√x ≥ 2 成立

只有選項 C 正確。A 給的「最小值」不是常數，B 的最小值在 x > 1 上取不到，D 的 1 是最大值而非最小值，因為 4x − 5 為負。

郵資該用哪種函數模型：答案是階梯函數，不是一次函數

要用階梯函數。因為每多一盎司或不足一盎司的部分都收整整 0.20，總費用在整盎司處往上跳，區間內則保持水平不變。

由 −2 < a < 1 與 1 < b < 2 只推得 −4 < a − b < 0 和 −2 < a/b < 1

正確的是 A 與 C。乘積 ab 的範圍是 (−4, 2) 而非 (−2, 2)；D 移項後等價於 (a + 2)(b − 1) < 0，但兩個因式都為正，所以不成立。

哪條直線與 y = 4x − 5 平行：斜率同為 4 的 y = 4x + 7

平行的條件是斜率相等。從 y = mx + b 讀出斜率，只有 y = 4x + 7 的斜率是 4；斜率 −1/4 的那條是垂直而非平行。

四個差集等式哪個成立：只有 (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C)

只有第 2 個正確。把每個差集改寫成 A − B = A ∩ B′，再套狄摩根定律逐一比對：另外三個之所以不成立，是因為聯集與補集不能那樣交換。

x、y 為正且 x + y = 1 時：只有 1/x + 1/y ≥ 4 與 x² + y² ≥ 1/2 成立

正確的是 B 與 C。xy 的 1/4 是最大值而非最小值；√x + √y 的最大值是 √2 不是 2，因為它的平方為 1 + 2√(xy) ≤ 2。

u₂ = 1、u₅ = 19 的等差數列中，103 是第 19 項

由 u₅ − u₂ = 3d 得公差 d = 6、首項 u₁ = −5。解 −5 + 6(n − 1) = 103 得 n = 19，再以 u₁₉ = −5 + 108 = 103 驗證無誤。

285a + 315b + 590c = 21806 為什麼沒有整數解

三個係數都是 5 的倍數，所以左式恆為 5 的倍數，但 21806 除以 5 餘 1。在實數範圍內，解集是一個平面。

為什麼 5x² − 2x + 1 在實數範圍內不能因式分解：判別式是 −16

判別式等於 −16，是負的，所以沒有實根，也就沒有實係數的一次因式。在複數範圍內它可分解成 5(x − r)(x − r 的共軛)。

證明等差數列中 uₙ − uₙ₋₁ = d，以及這個等式何時失效

成立：把 uₙ₋₁ = u₁ + (n−2)d 從 uₙ = u₁ + (n−1)d 減掉，剩下的正好是 d。這個等式反過來也刻畫了等差數列，換成別的數列就不成立。

為什麼 x³ − 3x² + 5x + 1 恰好只有一個實根：導數恆正

1 與 −1 都不是根，所以它在有理數上不可分解。導數 3x² − 6x + 5 恆為正，因此這個三次函數嚴格遞增，實根只有一個。

x³ − 5x² + 3x + 2 為什麼沒有有理因式：三個實根都是無理數

有理根定理給的四個候選全部落空，所以它在有理數上不可分解 —— 但它仍有三個實根，分別約為 −0.391、1.227 與 4.164。

為什麼 (x² − 4x + 3)/(x² − 9) 要排除 x = 3：那裡是一個空心點

x = 3 要排除，是因為它讓分母 (x − 3)(x + 3) 等於零，代進去得到沒有意義的 0/0。約掉 x − 3 之後，x = 3 處留下的是一個洞，而不是可取的值。

為什麼 x² − 4xy + 4y 在整數範圍內不能因式分解

它分解不了。把它看成 x 的二次式，判別式是 16y(y − 1)，並不是完全平方多項式，這一點和熟悉的 x² − 4xy + 4y² 不同。

把 256/625 寫成次方：湊出相同指數，得到 (4/5)⁴

256/625 = (4/5)⁴，因為 256 = 4⁴、625 = 5⁴。兩部分共用指數 4，整個分數就能收成 4/5 的一個次方，也可寫成 2⁸/5⁴。

把 81/16 寫成次方：分子分母各自分解後得 (3/2)⁴

答案是 81/16 = (3/2)⁴。先分解 81 = 3⁴、16 = 2⁴，再用 aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ。化成小數是 5.0625，它不是任何整數的整數次方。

把 |x + 66| 寫成分段函數：以 x = −66 為分界點

答案是：x ≥ −66 時取 x + 66，x < −66 時取 −x − 66。分界點就是絕對值內部變號的地方，由 x + 66 = 0 解出。

把 |x| 乘 x 寫成分段函數：x ≥ 0 時為 x²，x < 0 時為 −x²

答案是 x ≥ 0 時取 x²，x < 0 時取 −x²。在零點分段就能去掉絕對值，得到的是一個處處遞增的奇函數。

長比寬的 2 倍多 2 公尺、周長 64 公尺的長方形：寬 10 公尺、長 22 公尺

方程式是 2((2w + 2) + w) = 64，解得寬 10 公尺、長 22 公尺。關鍵是把「比寬的兩倍多 2」寫成 2w + 2，而不是 2(w + 2)。

長比寬的 3 倍多 4 公尺、周長 96 公尺的長方形：寬 11 公尺、長 37 公尺

方程式是 2((3w + 4) + w) = 96，解得寬 11 公尺、長 37 公尺。翻譯的套路和 2w + 2 那一題完全相同，只是倍數與常數換了。

把 −(4x − 4y − 5) 去括號：結果是 −4x + 4y + 5

答案是 −4x + 4y + 5。括號前面的負號等於把括號裡每一項都乘以 −1，所以三項的正負號全都翻轉，最後一項也不例外。

y = 2x² − 21x + 64 與直線恰好交於一點時，x = 6

答案是 x = 6。令兩式相等得 2x² − 24x + 64 − a = 0，「恰有一個交點」代表判別式為零，於是 x = 24/4 = 6。