Algebra
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
(|x−2|−x)/(x²−4) ≤ 0 的解是 (−2, 1] ∪ (2, +∞)。在 x = 2 拆開絕對值、列出符號表，看懂為什麼 x = 1 要算進去、±2 卻一定得排除。
答案是 x ≤ −9/2，也就是區間 (−∞, −9/2]。把連鎖不等式拆成兩個，看每個 x² 項如何相消，最後取兩組解的交集。
a³ + b³ 永遠大於等於 a²b + ab²，且只有在 a = b 時相等，因為兩者的差可以因式分解成 (a + b)(a − b)²，是非負因式的乘積。
實數解是 x = −33。兩邊同時立方消掉 1/3 次方，解出 2x + 2 = −64，並理解為什麼奇次方根不會產生增根。
解集合是 (−∞, −2) ∪ (1, 3)。先找出三個零點，把數線切成四段，再用符號表逐段判斷乘積的正負。
答案是 f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900。看每個零點如何變成一個一次因式，以及首項係數如何決定整體的倍率。
根之和為 10。先減掉線性規律 4x − 3，把差式分解成 a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)，再用根與係數關係，常數 a 會自己消掉。
差商化簡後是 2x + h − 5。一步步看如何展開 f(x + h)、減掉 f(x)、把分子提出 h 再約掉，最後用導數驗證答案。
f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) 的定義域是 (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞)。繁分式藏了兩個限制：內層分母與外層分母，兩個都要排除。
解是 ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, ∞)。先化成同底，因為底數 2/5 小於 1 所以不等號要反轉，最後用符號表判斷 (x²−3x−2)/x 的正負。
27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²)、x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²)、x³+512=(x+8)(x²−8x+64)。學會看出兩個完全立方項並直接寫出因式。
答案是 ab = −1/4，其中 a = −1/2、b = 1/2。解集合落在兩根之間，代表 a 必須小於 0；而常數項 1 則把倍率固定下來。
答案是 5/4。先除過去把 z−1 的共軛孤立出來、分母有理化，再對兩邊取共軛還原 z，最後用 |z|² = a² + b² 求值。
x = 6。當 y = 2x² − 21x + 64 與 y = 3x + a 恰交於一點時，二次方程式有重根，所以 x = 24/4 = 6、a = −8。附完整判別式解法。
方程式只有一個根 x = −3，因此根之和為 −3。用換底公式把兩個對數的商化成一個以 x + 5 為底的對數，再解二次方程式並檢查定義域。
解是 x ≤ −5/2、x = 0，或 1/6 ≤ x < 1/2。依 x 的正負分情況討論，除以 x 時 x < 0 要反轉不等號，並利用以 1/3 為底的對數是遞減函數。
證明：若一個方陣與所有同階矩陣都可交換，則它必等於 λI。利用矩陣單位 E_ij 逼使每個非對角元素為零，再逼使對角元素全部相等。
取 10 公升的 20% 溶液與 10 公升的 50% 溶液混合，可得 20 公升濃度 35% 的酒精溶液。列出「總體積」與「純酒精量」兩式再解聯立即可。
相減化簡後為 12a²b² − 5ab⁵，是一個六次二項式。看清楚為什麼 a³b 兩項會消掉，以及多變數項的次數為何要把指數相加。
缺少的商項是 A = −3，所以商為 x − 3、餘式為 0。一步步看懂除法表格裡每一格是怎麼算出來的。
兩根為 x = (11 − √29)/2 ≈ 2.807 與 x = (3 + √13)/2 ≈ 3.303。在 x = 3 處拆開絕對值，兩邊各解一個二次方程式，再留下符合條件的根。
答案：2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3。由兩根寫出 f(x) = a(x + 1)(x − 5)，再由頂點 x = 2 處最小值 −18 定出 a = 2，最後解 2x² − 8x − 10 ≤ 6。
實數解為 x = −12 與 x = −13。令 u = x + 4，把「可化為二次式」的方程式變成 u² + 17u + 72 = 0，因式分解後再換回 x。
n 的最大可能值是 14。由 f(x) = a(x − 1)(x + 7) 得 b = 6a，所以 a + b = 7a；a 為大於 1 的整數，最小取 2，得 14。
答案是 7/4 < k < 13/6。用 f(0) > 0、f(1) < 0、f(2) < 0、f(3) > 0 四個正負號條件把參數夾出來，再用兩根之積驗算。
答案是 (2√7 − 2√2) / 5。分子分母同乘共軛根式 √7 − √2，用平方差公式一次消掉兩個根號。
餘式是 26x − 47。若 f(x) 除以 2x² − 3x + 4 的餘式為 2x + 1，只要把這個餘式立方，再用 x² = (3x − 4)/2 降次即可。
用餘式定理一步就能算出 x³ − 2 除以 x − 1 的餘式，完全不必做長除法。文中也說明為什麼餘式一定是常數而不是多項式。
去程速率是每小時 50 公里、回程每小時 60 公里。先把 4 小時 24 分換成 4.4 小時，再把兩段時間各寫成距離除以速率，解 220/v = 4.4。
答案是 3037。特徵方程式 (r − 2)² = 0 給出 a_n = (A + Bn)2^n，所以 a_2025 = 6,149,925 × 2^2025，而 b/c = 6,149,925/2025 = 3037。
第 19 項為 91.66672，整數部分是 91。相鄰差每次減半且正負交替，數列收斂到 (a1 + 2a2)/3 = 275/3，而不是 2a2 − a1。
答案是 m⁸ / (256 n⁴⁴)。先在括號內約分得 −4m⁻²n¹¹，再把每個因式各取 −4 次方；負底數取偶次方會變成正的。
整個式子最後只剩 a⁴b。先從第一個括號提出 ab，套用立方和公式展開，ab⁴ 兩項剛好完全消掉。
整個式子最後只剩 a。先把每個括號通分成單一分數，第二個因為 −1 次方要上下顛倒，約分後再減掉最後的 3b。
答案是 17。把 2log₅(√x + 2) 併成一個平方的對數，因為底數 5 > 1 可直接比較真數，x 項相消後得 28 < 7√x，故 x > 16。
四個根為 x = −1、3/2、2 − √3 與 2 + √3。先用有理根定理配綜合除法把四次式分解，再用公式解處理剩下的二次式。
根之和為 −3。定義域 x ≥ −5 把 x = −6 排除，而根號那個因式本身又貢獻了額外的根 x = −5，所以兩根是 2 與 −5。
分母有理化後得 x = 2 + √3、y = 2 − √3，於是 x + y = 4、xy = 1；再用對稱式公式得 x² + y² = 14、x³ + y³ = 52、4x² + 7xy + 4y² = 63。
各買一朵共 6.00 英鎊。兩朵白加一朵黃是 5、兩朵白加三朵紅是 10.50、三朵黃加兩朵紅是 11，用代入法解出單價。