將 x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把二次的部分拆出來。 如果整個式子能分解成兩個一次因式，那這兩個因式的最高次部分相乘就必須得到 $x^2+5xy+6y^2$。單獨分解這一塊，就能定下答案的形狀。

2. 2

   分解二次部分。

   $x^{2}+5xy+6y^{2}=(x+2y)(x+3y)$

   所以分解結果一定長成 $(x+2y+p)(x+3y+q)$ 的樣子，其中 $p$ 與 $q$ 是常數。

3. 3

   比對常數項。 兩個常數相乘要得到 $pq=-3$，所以 $\{p,q\}$ 不是 $\{1,-3\}$ 就是 $\{3,-1\}$。

4. 4

   比對 x 與 y 的係數，從中挑出正確的一組。 把 $(x+2y+p)(x+3y+q)$ 展開，$x$ 的係數是 $p+q$，$y$ 的係數是 $3p+2q$。我們需要 $p+q=-2$ 且 $3p+2q=-7$。$p=-3$、$q=1$ 這一組兩個條件都滿足：$-3+1=-2$，而 $-9+2=-7$。

5. 5

   寫出答案。

   $\boxed{(x+2y-3)(x+3y+1)}$

6. 6

   展開檢查。

   $(x+2y-3)(x+3y+1)=x^2+3xy+x+2xy+6y^2+2y-3x-9y-3=x^2+5xy+6y^2-2x-7y-3$