解 −4.6173x² − 0.2906x + 20.029 = 0，求 x。

Step-by-step solution

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   先把負的首項係數處理掉。 方程式兩邊同乘 $-1$ 不會改變任何根，卻能拿掉最容易出錯的那個負號：

   $-4.6173x^2-0.2906x+20.029=0\iff 4.6173x^2+0.2906x-20.029=0$

   現在 $a=4.6173$、$b=0.2906$、$c=-20.029$，公式解裡的分母 $2a$ 也是正的。

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   計算判別式。

   $\Delta=b^2-4ac=0.084448-4(4.6173)(-20.029)=0.084448+369.9196=370.00406$

   $\sqrt{\Delta}=19.23549$

   $c$ 為負保證了 $-4ac>0$，所以還沒往下算就能確定有兩個異號的實根。

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   代入公式解。

   $x=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{2(4.6173)}=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{9.2346}$

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   把兩個根算出來。

   $x_1=\frac{-0.2906-19.23549}{9.2346}=-2.11445,\qquad x_2=\frac{-0.2906+19.23549}{9.2346}=2.05151$

   首項係數變成正的之後，取正號的那一支給出的就是比較大的根，符合直覺。

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   用代入法與根與係數關係驗算。 把 $x=2.05151$ 代回原式：$-4.6173(4.20869)-0.2906(2.05151)+20.029=-19.43278-0.5962+20.029\approx 0\;\checkmark$。根與係數關係：兩根之和應該是 $-\tfrac{0.2906}{4.6173}=-0.06294$，而 $-2.11445+2.05151=-0.06294\;\checkmark$；兩根之積應該是 $\tfrac{-20.029}{4.6173}=-4.33782$，而 $(-2.11445)(2.05151)=-4.33782\;\checkmark$。