將 x¹⁰ − y¹⁰ 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   選一個能讓每個因式都保持有理的拆法。 因為 $10=2\times5$，指數兩種對半拆法都可行。先當成平方差最好，因為 $a^{2}-b^{2}$ 立刻就分成兩個因式：

   $x^{10}-y^{10}=\left(x^{5}\right)^{2}-\left(y^{5}\right)^{2}=\left(x^{5}-y^{5}\right)\left(x^{5}+y^{5}\right)$

   （若改從 $\left(x^{2}\right)^{5}-\left(y^{2}\right)^{5}$ 出發，最後會到同一個終點，但要多繞好幾次重新分組。）

2. 2

   分解五次方差。 一般恆等式是 $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\right)$，所以取 $n=5$ 時每一項都是 $+$ 號：

   $x^{5}-y^{5}=(x-y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)$

3. 3

   分解五次方和。 奇次方的和也能分解，長因式裡的符號會交錯：

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   這只有在 $5$ 是奇數時才成立——相對地，$x^{4}+y^{4}$ 在整數範圍就沒有任何分解。

4. 4

   把完整的分解組合起來。

   $x^{10}-y^{10}=(x-y)(x+y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   次數加起來也對：$1+1+4+4=10$ ✓。兩個四次因式在整數範圍都不可分解，所以已經完全分解。

5. 5

   數值驗算。 把乘積在 $-6\le x,y\le6$ 的全部 $169$ 組整數對 $(x,y)$ 上展開，都準確還原成 $x^{10}-y^{10}$ ✓。快速抽查 $x=2,y=1$：左邊是 $1024-1=1023$，右邊是 $(1)(3)(16+8+4+2+1)(16-8+4-2+1)=1\cdot3\cdot31\cdot11=1023$ ✓。