解 x³ − 3x² + 3x − 2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   在係數裡找二項式立方的形態。 恆等式

   $(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1$

   的係數是 $1,-3,3,-1$——除了常數項以外，與題目的三次式完全相同。那組 $1,3,3,1$ 的特徵（巴斯卡三角形）就是線索。

2. 2

   用這個形態改寫三次式。 因為常數是 $-2$ 而不是 $-1$，

   $x^{3}-3x^{2}+3x-2=\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)-1=(x-1)^{3}-1$

3. 3

   把方程式化成純粹的立方。

   $(x-1)^{3}-1=0\ \Longrightarrow\ (x-1)^{3}=1$

4. 4

   取實立方根。 與平方根不同，實立方根是單值的：立方等於 $1$ 的實數只有 $1$ 本身，所以

   $x-1=1\ \Longrightarrow\ x=2$

5. 5

   交代另外兩個根。 在複數範圍內，$(x-1)^{3}=1$ 還允許 $x-1=\omega$ 與 $x-1=\omega^{2}$，其中 $\omega=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$，於是得到非實數根 $x=\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$。等價地，用立方差公式分解可得 $(x-2)\left(x^{2}-x+1\right)=0$，而 $x^{2}-x+1$ 的判別式是 $-3<0$。

6. 6

   檢驗實根。 $2^{3}-3(2)^{2}+3(2)-2=8-12+6-2=0\ \checkmark$