把 a 與 b 視為參數，解不等式 a(x − 4)² + b < 10 求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方項孤立出來。 兩邊同減 $b$：

   $a(x-4)^2<10-b$

   現在還不能除以 $a$，因為 $a$ 可能是零、也可能是負的——這正是必須分類討論的原因。

2. 2

   先處理 $a=0$，因為它會讓 $x$ 整個消失。 不等式塌縮成一個只跟參數有關的敘述 $b<10$，完全不含 $x$：

   $b<10\Rightarrow x\in\mathbb{R};\qquad b\ge 10\Rightarrow x\in\varnothing$

3. 3

   情形 $a>0$：除法不變號。

   $(x-4)^2<\frac{10-b}{a}$

   若 $b\ge 10$，右邊 $\le 0$，而平方永遠不可能嚴格小於一個非正數，所以解集合是空的。若 $b<10$，右邊是正的，於是 $|x-4|<\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$，得到有界區間

   $4-\sqrt{\frac{10-b}{a}}<x<4+\sqrt{\frac{10-b}{a}}$

4. 4

   情形 $a<0$：除法要變號。

   $(x-4)^2>\frac{10-b}{a}$

   注意商的正負：當 $a<0$ 時，$b<10$ 會讓 $\tfrac{10-b}{a}$ 變成負的，所以不等式對每個 $x$ 都成立，答案是 $\mathbb{R}$。若 $b=10$，右邊是 $0$，而 $(x-4)^2>0$ 只排除 $x=4$。

5. 5

   情形 $a<0$ 且 $b>10$：兩條射線。 此時 $\tfrac{10-b}{a}>0$（負除以負），所以令 $c=\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$，得 $|x-4|>c$：

   $x<4-c\quad\text{或}\quad x>4+c$

6. 6

   在七個分支中挑兩個做數值抽查。 取 $a=2$、$b=2$：區間應該是 $4\pm\sqrt{4}=(2,6)$；果然在 $x=3$ 時 $2(1)+2=4<10$ $\checkmark$，而在 $x=7$ 時 $2(9)+2=20\not<10$ $\checkmark$。取 $a=-1$、$b=19$：$c=\sqrt{9}=3$，預測 $x<1$ 或 $x>7$；在 $x=0$ 時 $-16+19=3<10$ $\checkmark$，在 $x=4$ 時 $19\not<10$ $\checkmark$。