將 (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ − 82 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   在中點做代換，讓式子變成對稱的。 兩個底數 $x+1$ 與 $x+3$ 的中心是 $x+2$，所以令 $y=x+2$，它們就變成 $y-1$ 與 $y+1$。直接對 $x$ 展開會得到一個很亂的四次式；選這個代換才會讓奇次項相消：

   $(y-1)^4+(y+1)^4-82$

2. 2

   展開，看奇次方相消。

   $(y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1,\qquad (y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1$

   $(y-1)^4+(y+1)^4=2y^4+12y^2+2$

   於是整個式子成為 $2y^4+12y^2+2-82=2y^4+12y^2-80=2\left(y^4+6y^2-40\right)$。

3. 3

   把括號看成 $t=y^2$ 的二次式。 令 $t=y^2$，

   $t^2+6t-40=(t+10)(t-4)$

   因為 $10\cdot(-4)=-40$ 且 $10+(-4)=6$。換回 $y$：$\left(y^2+10\right)\left(y^2-4\right)$。

4. 4

   拆開平方差，不可分解的部分就停手。 $y^2-4=(y-2)(y+2)$，而 $y^2+10$ 沒有實根，維持原樣：

   $2\left(y^2+10\right)(y-2)(y+2)$

5. 5

   把 $y=x+2$ 代回去。 $y-2=x$、$y+2=x+4$，而 $y^2+10=(x+2)^2+10=x^2+4x+14$：

   $2x(x+4)\left(x^2+4x+14\right)$

6. 6

   代入數個整數驗算。 檢查 $x=-8,\dots,8$，原式 $(x+1)^4+(x+3)^4-82$ 與 $2x(x+4)(x^2+4x+14)$ 在這 $17$ 個點上完全相等——遠多於確定一個四次式所需的 $5$ 個點，所以這個分解是準確的。