已知不等式 m − x² ≤ 1 − x 存在正數解，求 m 的範圍。

Step-by-step solution

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   要分離出來的是參數，不是變數。 既然問的是 $m$，那就把不等式對 $m$ 解出來：

   $m-x^{2}\le 1-x\ \Longleftrightarrow\ m\le x^{2}-x+1$

   現在條件讀作：存在 $x>0$ 使得 $m\le f(x)$，其中 $f(x)=x^{2}-x+1$。

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   把「存在」翻成對值域的一個界。 一個 $m$ 可行，當且僅當 $m$ 小於等於 $f$ 在 $x>0$ 上的某個取值——也就是當且僅當

   $m\le \sup_{x>0}f(x)$

   整道題的勝負手就在這一步，也正是在這裡千萬不能把「有解」（存在量詞）當成「對一切 $x>0$ 都成立」（全稱量詞）。全稱的版本要求的會是 $m\le\min_{x>0}f(x)$。

3. 3

   分析 $f$ 在正半軸上的表現。 配方得

   $f(x)=x^{2}-x+1=\left(x-\frac12\right)^{2}+\frac34$

   所以 $f$ 在 $x=\tfrac12$（落在 $x>0$ 內）處取到最小值 $\tfrac34$，而當 $x\to+\infty$ 時 $f(x)\to+\infty$。因此它在 $x>0$ 上的值域是 $\left[\tfrac34,+\infty\right)$——上方沒有界。

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   套用剛才的判準。 既然 $\sup_{x>0}f(x)=+\infty$，條件 $m\le f(x)$ 總能被滿足：不管 $m$ 是多少，取一個夠大的 $x$ 使 $x^{2}-x+1\ge m$ 即可。

   $m\in\mathbb{R}$

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   給出一個具體的見證，把話說實。 對任意給定的 $m$，取 $x=\max(1,m)$。此時 $f(x)=x^{2}-x+1=x(x-1)+1\ge 1$，且只要 $x\ge 1$ 就有 $f(x)\ge x\ge m$，所以這個 $x$ 就是一個正數解。例如 $m=100$ 時取 $x=100$ 即可，因為 $100^{2}-100+1=9901\ge 100$。

6. 6

   與「恆成立」的版本對照一下。 如果題目說的是這個不等式對每一個 $x>0$ 都成立，答案就會變成 $m\le\tfrac34$——取的是最小值，而不是上確界。把量詞讀對，就是這道題的全部難點。