化簡 f(x) = (−x² − 289)/x 並寫出它的定義域。

Step-by-step solution

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   先看分子能不能因式分解。 $-x^2-289 = -(x^2+289)$。因為 $x^2+289$ 是平方和，在實數範圍內沒有因式，所以整塊約不掉——把分式拆開是唯一可行的化簡。

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   把單一分式拆成兩個。 除法可以分配到分子的各項上： $\frac{-x^2-289}{x} = \frac{-x^2}{x} - \frac{289}{x}.$ 這樣做合法，因為兩塊的分母仍然都是 $x$。

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   在第一項約掉一個 x。 $\dfrac{-x^2}{x} = \dfrac{-x\cdot x}{x} = -x$，之所以合法是因為我們本來就假設了 $x \neq 0$。第二項的分子沒有 $x$，所以維持 $-\dfrac{289}{x}$。

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   組出化簡後的形式。 $f(x) = -x - \frac{289}{x} = -\left(x + \frac{289}{x}\right).$ 括號的寫法讓結構一目了然：$f$ 是「一個數加上它的倒數倍數」再乘上 $-1$。

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   寫出定義域。 原本的分母是 $x$，所以必須排除 $x=0$；定義域是 $x \in (-\infty,0)\cup(0,\infty)$。注意化簡後的形式帶著同樣的限制，所以沒有多出、也沒有消掉任何一個洞。

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   順便讀出它的結構。 因為 $f(-x) = x + \dfrac{289}{x} = -f(x)$，這個函數是奇函數；$x = 0$ 是鉛直漸近線，而 $y = -x$ 是斜漸近線。