解 2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   選一個與式子裡括號相符的代換。 方程式裡出現的是 $x-\tfrac1x$，所以設

   $t=x-\frac1x\qquad(x\neq 0)$

   平方後得 $t^{2}=x^{2}-2+\tfrac{1}{x^{2}}$，因此

   $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

   注意這裡是加 $2$。若改用另一個常見代換 $t=x+\tfrac1x$，常數會變成 $-2$；把兩者搞混是最典型的錯誤。

2. 2

   把方程式改寫成 t 的式子。

   $2\left(t^{2}+2\right)-11t+8=0\quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}-11t+12=0$

3. 3

   解 t 的一元二次方程式。

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{4}=\frac{11\pm 5}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=4\ \text{或}\ t=\frac32$

4. 4

   把 t = 4 還原回 x。

   $x-\frac1x=4\ \Longrightarrow\ x^{2}-4x-1=0\ \Longrightarrow\ x=2\pm\sqrt5$

   兩根都是實數，因為判別式是 $16+4=20>0$。

5. 5

   把 t = 3/2 還原回 x。

   $x-\frac1x=\frac32\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-3x-2=0\ \Longrightarrow\ (2x+1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{或}\ x=-\frac12$

   $\boxed{x=2+\sqrt5,\ 2-\sqrt5,\ 2,\ -\tfrac12}$

6. 6

   說明為何四個根全都保留，並驗算其中一個。 與之對照的是代換 $t=x+\tfrac1x$ 的情形（那裡 $|t|\ge 2$ 會排掉某些分支），而 $t=x-\tfrac1x$ 可以取到每一個實數值，所以兩個分支都不必排除。驗算 $x=2$：$x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$、$x-\tfrac1x=1.5$，得 $2(4.25)-11(1.5)+8=8.5-16.5+8=0$ ✓。