展開並化簡 (1 + x + x² + x³) 的平方，再減去 x 的三次方。

Step-by-step solution

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   **用指標配對計數求平方，不必乘開 16 個項。**在 $(1+x+x^2+x^3)^2$ 中，$x^k$ 的係數就是滿足 $i+j=k$ 且 $0\le i,j\le 3$ 的有序數對 $(i,j)$ 的個數。數一數：$k=0$ 有 $1$ 組，$k=1$ 有 $2$ 組，$k=2$ 有 $3$ 組，$k=3$ 有 $4$ 組（即 $0{+}3,1{+}2,2{+}1,3{+}0$），$k=4$ 有 $3$ 組，$k=5$ 有 $2$ 組，$k=6$ 有 $1$ 組。

2. 2

   寫出平方的結果。

   $(1+x+x^2+x^3)^2=1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5+x^6$

   係數正著讀與倒著讀相同，這在預期之中：回文多項式的平方仍然是回文的。

3. 3

   **在 $x=1$ 檢查平方是否正確。**原式變成 $1+1+1+1=4$，所以平方必須是 $16$；而 $1+2+3+4+3+2+1=16$。第 1 步只要數錯，這裡就會露餡。（順帶一提，當 $x\neq 1$ 時 $1+x+x^2+x^3=\frac{x^4-1}{x-1}$，所以這個平方也等於 $\frac{(x^4-1)^2}{(x-1)^2}$。）

4. 4

   **減去 $x^3$。**只有一個係數受影響 —— 三次項從 $4$ 降到 $3$：

   $1+2x+3x^2+(4-1)x^3+3x^4+2x^5+x^6$

5. 5

   **寫出結果並在 $x=2$ 驗算。**按次數遞減排列，

   $x^6+2x^5+3x^4+3x^3+3x^2+2x+1$

   在 $x=2$ 時原式是 $(1+2+4+8)^2-8=15^2-8=217$，展開式給出 $64+64+48+24+12+4+1=217$。兩者一致，所以展開正確。