若 5 log x − 4 log(x² + 1) + 5 log(x − 1) = log A，求 A。

Step-by-step solution

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   把每個係數搬進去當指數。 次方律 $k\log M=\log\left(M^k\right)$ 對每一項都適用：

   $5\log x=\log\left(x^5\right),\qquad 5\log(x-1)=\log\left((x-1)^5\right),\qquad -4\log\left(x^2+1\right)=\log\left(\left(x^2+1\right)^{-4}\right)$

   係數永遠是變成整個真數的指數，所以是 $(x^2+1)^{-4}$，絕不是 $x^{-8}+1$。

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   相加的對數合併成乘積。 依 $\log M+\log N=\log(MN)$，三項併成一項：

   $\log\left(x^5\left(x^2+1\right)^{-4}(x-1)^5\right)=\log A$

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   把負指數改寫成分母。 因為 $M^{-4}=\dfrac{1}{M^{4}}$，被減掉的那個對數就變成除法——這正是除法律 $\log M-\log N=\log\frac MN$ 反過來看的樣子：

   $A=\frac{x^5(x-1)^5}{\left(x^2+1\right)^4}$

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   合法地把對數消掉。 $\log$ 是一對一的，所以只要兩邊都是正數，$\log P=\log Q$ 就強迫 $P=Q$。這樣直接得到 $A$ 的值，完全不必再取指數。

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   補上定義域——合併的過程悄悄把它放寬了。 原本的左式需要 $x>0$ 而且 $x-1>0$，也就是 $x>1$。合併後的公式卻會照單全收像 $x=0.5$ 這種值：那時 $A>0$，可是 $\log(x-1)$ 根本沒有定義。答案旁邊一定要一併寫上 $x>1$。

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   挑個方便的值檢驗。 取 $x=2$：左式是 $5\log 2-4\log 5+5\log 1=1.50515-2.79588+0=-1.29073$。公式給出 $A=\dfrac{32\cdot 1}{625}=0.0512$，而 $\log 0.0512=-1.29073$ ✓。