把 (a + b)²(ab − 1) + 1 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先完整展開，讓目標現形。 用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 再乘開 $(ab-1)$：

   $(a^2+2ab+b^2)(ab-1)+1=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   這是一個 $4$ 次多項式，而且交換 $a$ 與 $b$ 之後不變——所以任何分解要嘛本身對稱，要嘛是一對互換的因式。

2. 2

   代特殊值探出一個因式。 令 $a=1$：

   $(1+b)^2(b-1)+1=b^3+b^2-b=b\left(b^2+b-1\right)$

   所以在 $a=1$ 時式子拆成 $b\cdot(b^2+b-1)$。這兩塊正好是 $ab+b^2-1$ 與 $a^2+ab-1$ 在 $a=1$ 時的樣子——前者變成 $b+b^2-1$，後者變成 $1+b-1=b$。這就是線索。

3. 3

   把這一對乘開來確認。

   $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$

   $=a^3b+a^2b^2-a^2+a^2b^2+ab^3-ab-ab-b^2+1$

   $=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   七項全部與第一步的展開式逐項相符。

4. 4

   寫成最好記的形式。 把每個括號裡共同的 $(a+b)$ 提出來：

   $(a+b)^2(ab-1)+1=\bigl(a(a+b)-1\bigr)\bigl(b(a+b)-1\bigr)$

   交換 $a\leftrightarrow b$ 會讓兩個因式對調，這正好對應原式本身的對稱性。

5. 5

   駁回一個常被流傳的錯誤答案。 有人把 $(a^2b+ab^2+a+b-1)(ab-a-b+1)$ 當成答案，但那是錯的。取 $a=2,\ b=3$，原式是 $(5)^2(6-1)+1=126$，而那個乘積得 $(12+18+2+3-1)(6-2-3+1)=34\times2=68$——並不相等。正確的一對則得 $(4+6-1)(6+9-1)=9\times14=126$ ✓。

6. 6

   做徹底的驗證。 在 $3000$ 組隨機有理數 $(a,b)$ 上用精確分數運算比較原式與 $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$，沒有任何不符；符號運算逐項展開也確認兩者是同一個多項式 ✓。