若 (2, +∞) 是 x² + x − b > 0 的一個解區間，另一個解區間是什麼？

Step-by-step solution

1. 1

   利用開口向上的拋物線形狀。 由於 $x^2$ 的係數是 $+1$，$y=x^2+x-b$ 的圖形開口向上，因此 $y>0$ 發生在兩根之外。解集合的形式必為 $(-\infty,r_1)\cup(r_2,+\infty)$，其中 $r_1<r_2$。

2. 2

   把已知區間的端點讀成根。 題目給的 $(2,+\infty)$ 必定是右邊那一支，所以端點 $x=2$ 就是較大的根。嚴格二次不等式解集合的端點，恰好就是對應方程式的根。

3. 3

   解出 b。 把 $x=2$ 代入 $x^2+x-b=0$：$4+2-b=0$，得 $b=6$。於是不等式是 $x^2+x-6>0$。

4. 4

   因式分解，找出第二個根。 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$，兩根為 $-3$ 與 $2$。乘積 $(x+3)(x-2)$ 為正，代表兩個因式同號。

5. 5

   寫出漏掉的那一支。 當 $x<-3$ 時兩個因式都是負的，所以另一個解區間是 $(-\infty,-3)$，完整解集合為 $(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$。

6. 6

   用 x = −4 與 x = 0 做數值檢查。 當 $x=-4$：$16-4-6=6>0$，故 $-4$ 屬於解集合。當 $x=0$（落在兩根之間）：$0+0-6=-6<0$，正確地被排除。