解一元二次方程式 x² + 17x - 120 = 0。

Step-by-step solution

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   先試整數分解，並看著它失敗。 分解需要兩個整數，乘積為 $-120$、和為 $+17$。把 $120$ 的因數對跑一遍：$(24,-5)$ 和是 $19$、$(30,-4)$ 和是 $26$、$(20,-6)$ 和是 $14$、$(40,-3)$ 和是 $37$、$(15,-8)$ 和是 $7$。沒有一組落在 $17$ 上，所以整數分解並不存在。這裡一個常被重複的錯誤答案是 $(x+24)(x-5)$——但它展開是 $x^2+19x-120$，不是 $x^2+17x-120$。

2. 2

   用判別式確認這個失敗。 對 $ax^2+bx+c$，其中 $a=1$、$b=17$、$c=-120$，

   $\Delta=b^2-4ac=17^2-4(1)(-120)=289+480=769$

   因為 $27^2=729$ 而 $28^2=784$，$769$ 嚴格夾在兩個連續平方數之間，所以不是完全平方數。這正是上面的整數搜尋注定失敗的代數理由：有理根需要判別式是完全平方數。

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   套公式解。 由於 $\Delta=769>0$，有兩個相異的無理根：

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-17\pm\sqrt{769}}{2}$

   這就是精確答案；$769$ 是質數，因此不含平方因數，$\sqrt{769}$ 無法再化簡。

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   換算成小數。 $\sqrt{769}\approx 27.7308$，所以

   $x_1=\frac{-17+27.7308}{2}\approx 5.3654,\qquad x_2=\frac{-17-27.7308}{2}\approx -22.3654$

   注意 $x_2$ 離看起來很順的 $-24$ 有多遠：兩者不能互換。

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   用根與係數關係檢查。 兩根之和必須是 $-b/a=-17$、乘積必須是 $c/a=-120$。的確 $5.3654+(-22.3654)=-17$，而且精確地說，

   $x_1x_2=\frac{(-17)^2-769}{4}=\frac{289-769}{4}=\frac{-480}{4}=-120$

   兩個條件都成立，所以兩根是對的。