解不等式 |x + 1| + |x + 2| > 3。

Step-by-step solution

1. 1

   找出轉折點。 每個絕對值都在裡面等於零的地方換公式：

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2$

   這兩點把數線切成三個區間：$x<-2$、$-2\le x<-1$、$x\ge-1$。在每一段上，兩個絕對值都能換成單純的一次式。

2. 2

   情形 1：x < −2（兩個絕對值裡面都是負的）。 此時 $|x+1|=-x-1$、$|x+2|=-x-2$，所以

   $-2x-3>3\Rightarrow -2x>6\Rightarrow x<-3$

   除以 $-2$ 會讓不等號反向。把 $x<-3$ 與情形的條件 $x<-2$ 取交集，剩下 $x<-3$。

3. 3

   情形 2：−2 ≤ x < −1（正負號混合）。 此時 $|x+1|=-x-1$，但 $|x+2|=x+2$，含 $x$ 的項互相抵消：

   $(-x-1)+(x+2)=1>3$

   這對區間裡的每個 $x$ 都不成立，所以中間這一段沒有任何貢獻。從幾何上看，兩個距離的和在兩個轉折點之間恆為 $1$。

4. 4

   情形 3：x ≥ −1（兩個絕對值裡面都非負）。 此時

   $(x+1)+(x+2)=2x+3>3\Rightarrow 2x>0\Rightarrow x>0$

   與 $x\ge-1$ 取交集，剩下 $x>0$。

5. 5

   把各情形取聯集。

   $x<-3\quad\text{或}\quad x>0,\qquad\text{也就是}\qquad(-\infty,-3)\cup(0,\infty)$

6. 6

   用距離讀答案，再驗算。 $|x+1|+|x+2|$ 是 $x$ 到 $-1$ 與到 $-2$ 的距離總和；最小值是間距 $1$，在整個中間區間上都達成，往外每一單位增加 $2$——所以它恰好在每個轉折點外一單位處達到 $3$，也就是 $x=-3$ 與 $x=0$。檢查：$x=-3$ 時 $|{-2}|+|{-1}|=3$ ✓，$x=0$ 時 $|1|+|2|=3$ ✓；再從 $-8$ 到 $8$ 掃描 $1601$ 個測試點，每一點都與上述解集合相符 ✓。