將 x³ + 3x² + 7x + 5 完全因式分解，並求出它所有的根。

Step-by-step solution

1. 1

   列出有理根的候選值。 常數項是 $5$，最高次項係數是 $1$，所以由有理根定理，候選值是

   $x=\pm1,\ \pm5$

2. 2

   從小的開始試。

   $f(-1)=-1+3-7+5=0\ \checkmark$

   所以 $x=-1$ 是根，$(x+1)$ 是因式。（補充完整性：$f(1)=16$、$f(5)=240$、$f(-5)=-80$，所以 $-1$ 是唯一的有理根。）當所有係數都是正的時候，先試負的候選值一定比較划算，因為正的 $x$ 不可能讓總和為零。

3. 3

   用綜合除法除以 (x + 1)。 以根 $-1$ 作用在係數 $1,\ 3,\ 7,\ 5$ 上：

   $1\ \to\ 3-1=2\ \to\ 7-2=5\ \to\ 5-5=0$

   餘式為零確認了這個根，商式是 $x^2+2x+5$：

   $x^3+3x^2+7x+5=(x+1)\left(x^2+2x+5\right)$

4. 4

   檢查二次式還能不能再分解。 它的判別式是

   $2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0$

   判別式為負，所以 $x^2+2x+5$ 在實數範圍不可分解，因式分解在 $\mathbb{Q}$ 與 $\mathbb{R}$ 上都已經完成。

5. 5

   求出全部三個根。 由公式解，$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$。所以

   $x=-1,\qquad x=-1+2i,\qquad x=-1-2i$

   有趣的是三個根的實部都是 $-1$。配方可以解釋這件事：$x^2+2x+5=(x+1)^2+4$，所以那一對共軛複數根就落在實根的正上方與正下方。

6. 6

   驗算。 這個因式分解在 $-30$ 到 $29$ 的每個整數上都與原式相符 ✓；代入 $x=-1$ 恰好得到 $0$ ✓；三根之和為 $-3=-b/a$ ✓，三根之積為 $-\left((-1)^2+2^2\right)=-5=-d/a$ ✓。