將 x² + x − 6 因式分解。

Step-by-step solution

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   設定要找的東西。 對首一二次式 $x^{2}+bx+c$，分解結果是 $(x+m)(x+n)$，其中 $mn=c$、$m+n=b$。這裡 $c=-6$、$b=+1$，所以要找兩個數，乘積是 $-6$、和是 $1$。

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   用正負號刪掉一半的可能。 乘積是負的，代表兩個數異號。和是個小的正數，代表正的那個絕對值比較大——而且剛好大 $1$。

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   測試 $-6$ 的異號因數對。

   $(1,-6)\to-5,\quad(6,-1)\to5,\quad(2,-3)\to-1,\quad(3,-2)\to1\ \checkmark$

   $3$ 與 $-2$ 這一對成立：$3\times(-2)=-6$ ✓ 且 $3+(-2)=1$ ✓。

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   寫出因式分解。

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

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   展開驗算。 $(x+3)(x-2)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6$ ✓，在 $-30$ 到 $29$ 的每個整數上都確認過 ✓。判別式 $1+24=25=5^{2}$ 是完全平方，這事先就保證了整數因式一定存在。

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   讀出根與正負變化。 零點是 $x=-3$ 與 $x=2$。因為拋物線開口向上，所以 $x^{2}+x-6<0$ 恰好發生在 $(-3,2)$ 上，區間外則為正。頂點落在中點 $x=-\tfrac12$，該處的值是 $\tfrac14-\tfrac12-6=-\tfrac{25}{4}$——也就是最小值。