解不等式 (2x − 1)/3 > (3x − 5)/4，並寫出解集合。

Step-by-step solution

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   用最小公分母把分數清掉。 分母是 $3$ 和 $4$，所以最小公分母是 $12$。不等式兩邊同乘一個正數，方向不變，而 $12>0$，因此什麼都不必翻：

   $12\cdot\frac{2x-1}{3}>12\cdot\frac{3x-5}{4}\;\Longrightarrow\;4(2x-1)>3(3x-5).$

   正因為有這一步，分式不等式並不比整數係數的難——先把分母清掉，再去碰 $x$ 的項。

2. 2

   兩邊各自展開。 把乘積展開：

   $4(2x-1)=8x-4,\qquad 3(3x-5)=9x-15,$

   於是不等式變成

   $8x-4>9x-15.$

   注意 $-3\times(-5)=+15$ 這個符號：漏掉那個負號是這一步最常見的錯誤，會把最後的邊界從 $11$ 變成 $-19$。

3. 3

   把 $x$ 的項移到能保持係數為正的那一邊。 兩邊同減 $8x$，$x$ 就留在右邊：

   $-4>x-15.$

   你也可以改減 $9x$，得到 $-x-4>-15$，但那樣就得除以 $-1$，還要記得反轉不等號。移動係數較小的那一項，可以完全避開這個陷阱。

4. 4

   孤立 $x$，讀出解。 兩邊同加 $15$：

   $11>x,\qquad\text{也就是}\qquad x<11.$

   用區間表示，解集合是 $(-\infty,11)$。注意 $11$ 本身被排除，因為原不等式是嚴格的。

5. 5

   內外各取一個值檢驗。 取 $x=10.9$：左邊 $=\frac{20.8}{3}\approx 6.933$，右邊 $=\frac{27.7}{4}=6.925$，$6.933>6.925$ ✓。取 $x=11.1$：左邊 $\approx 7.067$，右邊 $=7.075$，不等式不成立 ✓。邊界 $x=11$ 讓兩邊都等於 $7$，確認它正是分界點。