解不等式 (2x + 1)/(x − 4) < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清楚什麼時候一個分式為負。 分式為負，恰好是它的分子與分母異號的時候。所以不要去交叉相乘——那樣做並不合法，因為 $x-4$ 會變號——而要分別追蹤每一部分的正負號。

2. 2

   找出臨界點。

   $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{分子為零}),\qquad x-4=0\Rightarrow x=4\quad(\text{分母為零})$

   分式只可能在這兩個值處變號，它們把數線分成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,4\right)$ 與 $(4,\infty)$。

3. 3

   每個區間取一點試算。 取 $x=-1$：$\dfrac{-1}{-5}=0.2>0$（分子分母都為負）。取 $x=0$：$\dfrac{1}{-4}=-0.25<0$（正負號相反）。取 $x=5$：$\dfrac{11}{1}=11>0$（都為正）。只有中間那個區間是負的。

4. 4

   處理兩個端點，它們被排除的理由並不相同。 在 $x=-\tfrac12$ 處分式等於 $0$，而不等號是嚴格的（是 $<0$，不是 $\le0$），所以 $0$ 不合格。在 $x=4$ 處分式根本沒有定義。因此兩端都取開區間。

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   寫出解。

   $-\frac12<x<4,\qquad\left(-\frac12,\ 4\right)$

   與許多分式不等式不同，這裡兩邊的括號恰好都是開的——但理由完全是兩回事，這一點值得留意。

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   用精確運算驗證。 在 $[-10,10]$ 上取 $12001$ 個有理點，用分數（而不是浮點數）計算分式並跳過 $x=4$，不等式恰好在 $\left(-\tfrac12,4\right)$ 內的點上成立，別處一個都不成立 ✓。