二次不等式 ax^2 + bx + 1 > 0 的解集合是區間 -1 < x < 2，求 ab 的值。

Step-by-step solution

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   先由解集合的形狀決定 $a$ 的正負。 拋物線只有在開口向下時，函數值才會在兩根之間為正。這裡解集合是有界區間 $(-1,2)$，也就是說式子只在兩個數之間為正，所以

   $a<0,$

   而且 $x=-1$ 與 $x=2$ 必定是 $ax^{2}+bx+1=0$ 的兩根（這兩個端點正是嚴格不等式剛好不成立的地方）。

2. 2

   由兩根反推二次式。 以 $-1$ 與 $2$ 為根的二次式都是 $(x+1)(x-2)$ 的常數倍，所以

   $ax^{2}+bx+1=k(x+1)(x-2)=k\left(x^{2}-x-2\right)=kx^{2}-kx-2k$

   其中 $k<0$（$k$ 的正負就是 $a$ 的正負）。

3. 3

   用常數項把 $k$ 定下來。 這一步才讓題目有唯一解：題目給的二次式常數項恰好是 $1$，正是它消掉了那個自由的倍率。比較常數項：

   $-2k=1\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{2},$

   這確實滿足 $k<0$，與第一步一致。

4. 4

   讀出 $a$ 與 $b$。 代入 $k=-\tfrac12$：

   $ax^{2}+bx+1=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2},\ \ b=\frac{1}{2}.$

5. 5

   算出 $ab$ 並驗證原不等式。

   $ab=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$

   驗算：$-\tfrac12x^{2}+\tfrac12x+1>0$ 兩邊乘 $-2$（不等號反轉）等價於 $x^{2}-x-2<0$，即 $(x+1)(x-2)<0$，解正好是 $-1<x<2$。代幾個值也吻合：$x=0$ 時式子為 $1>0$，在 $x=\pm$ 兩端點時為 $0$，$x=3$ 時為 $-2<0$。