解 x² + 3x + 6 = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   把常數移過去，整理成標準式。 兩邊同減 $1$：

   $x^2+3x+5=0$

   常數項變成 $5$，不是 $7$——跳過這一步是最常見的錯誤，因為公式解要的 $c$ 必須取自等於零的那個形式。

2. 2

   算判別式。 取 $a=1$、$b=3$、$c=5$，

   $\Delta=3^2-4(1)(5)=9-20=-11$

   判別式為負代表拋物線碰不到 $x$ 軸：沒有實數解。（事實上 $x^2+3x+6$ 的最小值是 $6-\frac94=3.75$，遠大於 $1$。）

3. 3

   還是套公式解，只是在複數範圍內。

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{-11}}{2}$

4. 4

   用 $i$ 改寫負數的根號。 因為 $\sqrt{-11}=i\sqrt{11}$，

   $x=\frac{-3\pm i\sqrt{11}}{2}$

   這兩個解互為共軛複數；只要是實係數二次式且 $\Delta<0$，一定都是這樣。

5. 5

   用和與積驗證。 兩根之和應為 $-b/a=-3$：的確 $\frac{-3+i\sqrt{11}}{2}+\frac{-3-i\sqrt{11}}{2}=-3$ ✓。乘積應為 $c/a=5$：

   $\frac{(-3)^2-\left(i\sqrt{11}\right)^2}{4}=\frac{9+11}{4}=5$ ✓