解聯立方程式 x + 3y = 6 與 x − (1/3)y = 0，求 x 與 y。

Step-by-step solution

1. 1

   挑那個最容易把未知數解出來的式子。 第二式裡 $x$ 的係數是 $1$、又沒有常數項，所以從它解出 $x$ 幾乎不費力氣：

   $x-\frac13y=0\;\Longrightarrow\;x=\frac13y.$

   從另一式入手也行，但這一個給出的代入式最簡單。

2. 2

   代入第一式。 在 $x+3y=6$ 中把 $x$ 換成 $\tfrac13y$：

   $\frac13y+3y=6.$

   現在只剩一個未知數了——代入消去要的正是這個效果。

3. 3

   把 $y$ 的項通分合併。 注意到 $3y=\tfrac93y$：

   $\frac13y+\frac93y=\frac{10}{3}y=6.$

   合併後的係數 $\tfrac{10}{3}$ 不是整數，這正是答案會以五分之幾而不是整數出現的原因。

4. 4

   先求 $y$，再回代求 $x$。 兩邊乘以倒數 $\tfrac{3}{10}$：

   $y=6\cdot\frac{3}{10}=\frac{18}{10}=\frac95,$

   接著

   $x=\frac13\cdot\frac95=\frac{9}{15}=\frac35.$

   兩個分數都要約到最簡：$\tfrac{18}{10}\to\tfrac95$，$\tfrac{9}{15}\to\tfrac35$。

5. 5

   代回兩個原式檢驗。 第一式：$\tfrac35+3\cdot\tfrac95=\tfrac35+\tfrac{27}{5}=\tfrac{30}{5}=6$ ✓。第二式：$\tfrac35-\tfrac13\cdot\tfrac95=\tfrac35-\tfrac35=0$ ✓。寫成小數解就是 $(0.6,\,1.8)$；從幾何上看，這是直線 $x+3y=6$ 與 $y=3x$ 的交點。