用綜合除法計算 x³ − 2x² − 4x + 8 除以 x − 2，寫出商與餘式。

Step-by-step solution

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   先從除式裡讀出 $c$。 綜合除法只在除式寫成 $x-c$ 時才成立，寫進角落裡的那個數是這個除式的根，而不是式子裡直接看到的那個數。這裡 $x-2=x-(2)$，所以

   $c=2$

   常見的疏忽是因為 $x-2$ 裡印著一個減號就填 $-2$。不妨用餘式定理反過來驗一驗：餘式必須等於 $f(c)$，而 $f(2)=8-8-8+8=0$，表格算出來的也應該是這個數。

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   把係數依降冪寫出來，缺的次方補零。 對 $x^3-2x^2-4x+8$ 來說，從 $x^3$ 一直到 $x^0$ 每個次方都在，所以不用補：

   $1,\;-2,\;-4,\;8$

   大部分錯誤就出在這一步。如果某個次方缺席，你仍然必須用一個 $0$ 幫它佔住位置，否則後面每一次「乘加」都會往左錯一欄。

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   執行「乘一次、加一次」的循環。 把首位的 $1$ 直接落下來，然後反覆地把剛寫下的數乘以 $c=2$，再加到下一個係數上：

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -2 & -4 & 8\\ & & 2 & 0 & -8\\ \hline & 1 & 0 & -4 & 0\end{array}$

   具體地說：$1\cdot 2=2$，$-2+2=0$；接著 $0\cdot 2=0$，$-4+0=-4$；再接著 $-4\cdot 2=-8$，$8+(-8)=0$。

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   讀懂最後一列。 最右邊一項是餘式，它左邊的各項依序是商的係數；因為除的是一次因式，商的次數比原式低一次：

   $\text{商}=1x^2+0x-4=x^2-4,\qquad \text{餘式}=0$

   中間那一欄的 $0$ 不是擺設——它是 $x$ 的係數，正因為它是零，商裡才沒有一次項。

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   乘回去驗算。 餘式為 $0$ 意味著整除，所以除式乘商必須還原出原來的三次式：

   $(x-2)(x^2-4)=x^3-4x-2x^2+8=x^3-2x^2-4x+8\;\checkmark$

   由於餘式為零，你順帶也把這個多項式因式分解了：$x^2-4$ 還能繼續拆成 $(x-2)(x+2)$，於是 $x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)$，根為 $x=2$（二重根）與 $x=-2$。