若 N − (30u²v − 15uv² + v³) = 12u²v + 2v³ − 10uv²，求 N。

Step-by-step solution

1. 1

   把被減掉的多項式加回兩邊，讓 $N$ 獨立出來。 把整個三項式當成一個整體，不要先急著拆括號：

   $N=\left(12u^2v+2v^3-10uv^2\right)+\left(30u^2v-15uv^2+v^3\right)$

   這比一項一項搬過去安全，因為括號前的負號已經在這個加法裡處理掉了。

2. 2

   把兩個多項式按同類項排好。 依 $u^2v$、$uv^2$、$v^3$ 的順序各寫一次：

   $12u^2v-10uv^2+2v^3\qquad\text{與}\qquad 30u^2v-15uv^2+v^3$

   注意 $u^2v$ 與 $uv^2$ 不是同類項——它們平方的變數不同，把兩者搞混是這一題的標準錯誤。

3. 3

   把每一類的係數相加。

   $u^2v:\;12+30=42,\qquad uv^2:\;-10+(-15)=-25,\qquad v^3:\;2+1=3$

4. 4

   寫出答案。

   $N=42u^2v-25uv^2+3v^3$

5. 5

   代回原方程式檢查。 取 $u=1$、$v=2$：則 $N=42(2)-25(4)+3(8)=84-100+24=8$。被減的三項式是 $30(2)-15(4)+8=60-60+8=8$，所以左邊是 $8-8=0$。右邊是 $12(2)+2(8)-10(4)=24+16-40=0\;\checkmark$。再測一組 $u=2$、$v=1$：$N=168-50+3=121$，被減的三項式是 $120-30+1=91$，左邊是 $30$；右邊是 $48+2-20=30\;\checkmark$。