證明：若一個方陣與所有同階的矩陣都可交換，則它必為單位矩陣的純量倍。

Step-by-step solution

1. 1

   挑對測試用的矩陣。 與其取任意的 $B$，不如用矩陣單位 $E_{ij}$——第 $i$ 列第 $j$ 行為 $1$、其餘全為 $0$ 的矩陣。既然 $A$ 與所有矩陣都可交換，當然也與每個 $E_{ij}$ 可交換。

2. 2

   把兩個乘積都算出來。 記 $A = (a_{kl})$：

   $AE_{ij} \text{ 的第 }j\text{ 行，等於 }A\text{ 的第 i 行}$
   $E_{ij}A \text{ 的第 }i\text{ 列，等於 }A\text{ 的第 j 列}$

3. 3

   逼使非對角元素全為零。 令 $AE_{ij} = E_{ij}A$ 並比較對應元素，可得對每個 $k \ne i$ 都有 $a_{ki} = 0$。由於 $i$ 與 $j$ 是任取的，$A$ 的每個非對角元素都是零，所以 $A$ 是對角矩陣。

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   逼使對角元素彼此相等。 比較剩下的元素可得對所有 $i, j$ 都有 $a_{ii} = a_{jj}$。因此所有對角元素共用同一個值 $\lambda$。

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   作結論。 對角元素全等於 $\lambda$ 的對角矩陣，正好就是 $\lambda I_n$。（反向立即成立：$\lambda I$ 與任何矩陣都可交換。）這也就是說，矩陣環 $M_n(F)$ 的中心恰好是所有純量矩陣。