解四次方程式 u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先假設它能拆成兩個二次式。 與其一次找一個根，不如假設這個四次式可以拆成兩個首項係數為 1、係數皆為整數的二次式：

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 + au + b\right)\left(u^2 + cu + d\right)$

   值得先試這條路，因為一旦拆成功，四個根會一次全部到手。

2. 2

   展開後比對係數。 把右邊乘開：

   $u^4 + (a+c)u^3 + (ac+b+d)u^2 + (ad+bc)u + bd$

   於是四個未知數滿足

   $a + c = -6, \quad ac + b + d = 8, \quad ad + bc = 6, \quad bd = -9$

3. 3

   在小整數範圍內搜尋 b 與 d。 因為 $bd = -9$，候選的組合是 $(\pm1, \mp9)$、$(\pm3, \mp3)$、$(\pm9, \mp1)$。試 $b = -1$、$d = 9$ 會讓第二條式子塌縮：

   $ac - 1 + 9 = 8 \quad \Longrightarrow \quad ac = 0$

   所以 $a, c$ 之中有一個是零——這是很大的簡化，也是先試這一組的理由。

4. 4

   把係數解完，並檢查四條式子全部成立。 由 $ac = 0$ 取 $a = 0$，於是 $c = -6$。接著

   $ad + bc = 0 \cdot 9 + (-1)(-6) = 6 \ \checkmark$

   四個條件都成立，所以

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 - 1\right)\left(u^2 - 6u + 9\right)$

   再展開回去得到 $u^4 - 6u^3 + 9u^2 - u^2 + 6u - 9$，正是原來的多項式。

5. 5

   把每個二次式徹底分解。 一個是平方差，另一個是完全平方：

   $u^2 - 1 = (u-1)(u+1), \qquad u^2 - 6u + 9 = (u-3)^2$

   $\Longrightarrow \quad (u-1)(u+1)(u-3)^2 = 0$

6. 6

   讀出根與它們的重數。

   $u = 1, \qquad u = -1, \qquad u = 3 \ \text{（二重根）}$

   代回去逐一確認：$u=1$ 得 $1-6+8+6-9=0$，$u=-1$ 得 $1+6+8-6-9=0$，$u=3$ 得 $81-162+72+18-9=0$。由於 $u = 3$ 的重數是 2，圖形在該處與 $u$ 軸相切而不穿過；四個根連重數一起相加得 $1 - 1 + 3 + 3 = 6$，與 $-(-6)/1$ 相符。