用綜合除法計算 x³ − 4x + 5 除以 x − 2，寫出商與餘式。

Step-by-step solution

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   動手之前先把缺項補上。 被除式裡沒有 $x^2$ 項，所以要寫成

   $x^3+0\cdot x^2-4x+5\;\Longrightarrow\; 1,\;0,\;-4,\;5$

   三次式的係數列一定要有四個數。漏掉這個 $0$，表格算的就是另一個多項式的除法了。

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   先用餘式定理預測餘式。 除式是 $x-2$，所以 $c=2$；除法的餘式必然等於多項式在該點的取值：

   $f(2)=2^3-4(2)+5=8-8+5=5$

   可見餘式應該是非零的 $5$，也就是說 $x-2$ 不是因式。

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   取 $c=2$ 列表運算。

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & 0 & -4 & 5\\ & & 2 & 4 & 0\\ \hline & 1 & 2 & 0 & 5\end{array}$

   先把 $1$ 落下來；$1\cdot 2=2$，$0+2=2$；$2\cdot 2=4$，$-4+4=0$；$0\cdot 2=0$，$5+0=5$。預測的餘式 $5$ 果然出現在最後一欄。

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   把末列翻譯成商。 $1,\,2,\,0$ 正是一個二次式的係數：

   $\text{商}=x^2+2x+0=x^2+2x=x(x+2),\qquad \text{餘式}=5$

   末位那個 $0$ 說明商沒有常數項，這也正是它能分解得這麼乾淨的原因。

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   寫出並驗證帶餘除法等式。

   $\frac{x^3-4x+5}{x-2}=x^2+2x+\frac{5}{x-2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^3-4x+5=(x-2)(x^2+2x)+5$

   把乘積展開：$(x-2)(x^2+2x)=x^3+2x^2-2x^2-4x=x^3-4x$，再加上 $5$ 就還原成被除式 $\checkmark$。餘式不為零，說明 $x=2$ 不是 $x^3-4x+5$ 的根。