已知 (x² + y² + z²)² = 8z，z 能不能寫成單一函數 f(x, y)？請描述這個曲面。

Step-by-step solution

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   先注意立刻可見的正負號限制。 左邊是一個平方，因此非負，所以 $8z\ge 0$，也就是 $z\ge 0$。整個曲面都落在上半空間內。

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   代原點就能把問題定案。 令 $x=y=0$ 得

   $\left(z^{2}\right)^{2}=8z\ \Longrightarrow\ z^{4}-8z=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z=0\ \text{或}\ z=2$

   單一個輸入 $(0,0)$ 對應到兩個 $z$ 值，所以沒有任何單值函數 $f$ 能描述整個曲面 —— 它通不過鉛直線檢驗。

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   改成解出徑向距離。 兩邊取非負的平方根（之所以合法，是因為左邊是平方且 $z\ge 0$）：

   $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\sqrt{8z}\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=\sqrt{8z}-z^{2}$

   這樣就把曲面寫得很乾淨：在每個高度 $z$ 上都是一個半徑算得出來的圓。

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   求出高度的範圍。 左邊的 $x^{2}+y^{2}$ 不可能是負的，所以必須

   $\sqrt{8z}\ge z^{2}\ \Longrightarrow\ 8z\ge z^{4}\ \Longrightarrow\ z\left(8-z^{3}\right)\ge 0\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 2$

   因此曲面是有界的，夾在平面 $z=0$ 與 $z=2$ 之間。

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   描述形狀。 在每個高度 $z\in[0,2]$ 處，截面是半徑 $\sqrt{\sqrt{8z}-z^{2}}$ 的圓。這個半徑在 $z=0$ 與 $z=2$ 兩處都是 $0$，中間則為正（在 $z=2^{-1/3}\approx 0.7937$ 處達到最大，半徑約為 $\approx 1.3747$），所以整個曲面是一個繞 $z$ 軸旋轉、上下兩端收成尖點的封閉蘋果狀旋轉體。

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   寫出結論。 不存在單一的函數 $z=f(x,y)$；這個曲面只能用隱式方程式表示，或是在圓盤 $x^{2}+y^{2}\le\max\left(\sqrt{8z}-z^{2}\right)$ 上拆成上下兩支。在這裡硬給出單一的封閉形式 $f$，等於默默丟掉了半個曲面。