求同時滿足 x² + x − 6 < 0 與 x² + 4x − 12 > 0 這兩個不等式的實數 x 範圍。

Step-by-step solution

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   先各解各的，再合起來。 聯立不等式求的是交集，所以思路是：先把每一式的解集合求出來，再只保留同時落在兩者之中的 $x$。從第一式的因式分解開始：

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

   兩個根是 $x=-3$ 與 $x=2$。

2. 2

   從拋物線的開口讀出第一個解集合。 首項係數是 $+1$，拋物線開口向上，只在兩根之間才落到橫軸下方：

   $(x+3)(x-2)<0\quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<2$

3. 3

   分解並解第二個不等式。 找一對數，乘積為 $-12$、和為 $4$，也就是 $6$ 與 $-2$：

   $x^{2}+4x-12=(x+6)(x-2)$

   兩個根是 $x=-6$ 與 $x=2$。這次要的是式子落在橫軸上方，對開口向上的拋物線來說，那是兩根之外的部分：

   $x<-6\quad\text{或}\quad x>2$

4. 4

   把兩個集合取交集。 候選值既要落在 $(-3,2)$ 裡，又要落在 $(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$ 裡：

   $(-3,2)\cap(-\infty,-6)=\varnothing$

   因為凡是小於 $-6$ 的數早就小於 $-3$ 了。另外

   $(-3,2)\cap(2,\infty)=\varnothing$

   因為 $(-3,2)$ 恰好在 $2$ 之前止住，而另一個集合從它之後才開始。共同的那個根 $x=2$ 被兩個嚴格不等號同時排除，所以它也救不了這個交集。

5. 5

   寫出結論。 沒有任何實數能同時滿足這兩個不等式，因此解集合是空集合：

   $x\in\varnothing$

   把 $-10$ 到 $10$ 之間以 $0.001$ 為間距的 $x$ 全部掃一遍，也找不到一個能同時通過兩項檢驗的值，與這個結論一致。