解 x³ − 0.016875x² + 0.000094921875x − 1.77975547e−7 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先測試前三項是不是一個完全立方。 對 $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$，由 $x^2$ 的係數得 $3a=0.016875$，所以 $a=0.005625$。再檢查 $x$ 的係數：$3a^2=3(0.005625)^2=3(0.000031640625)=0.000094921875$——完全吻合。這不是巧合；這條方程式本來就是用一個平移過的立方造出來的。

2. 2

   把方程式改寫成「純立方加常數」。 因為 $a^3=(0.005625)^3=1.77978515625\times10^{-7}$，

   $x^3-0.016875x^2+0.000094921875x=(x-0.005625)^3+a^3$

   所以方程式變成

   $(x-0.005625)^3=1.77975547\times10^{-7}-1.77978515625\times10^{-7}=-2.968625\times10^{-12}$

3. 3

   取實立方根。 一個實數恰有一個實立方根，所以

   $x-0.005625=-\sqrt[3]{2.968625\times10^{-12}}=-1.4372041\times10^{-4}$

   $x=0.005625-0.00014372=0.00548128$

   負號之所以保留下來，是因為等號右邊是負的。

4. 4

   交代另外兩個根。 其餘的根來自 1 的複立方根，也就是 $x=a+r\,e^{\pm 2\pi i/3}$，其中 $r=-1.4372041\times10^{-4}$：

   $x\approx 0.00569686\pm 0.00012447\,i$

   所以這條三次式有一個實根與一對共軛複根——它並沒有重複的實根；那種說法通不過判別式檢驗，因為 $(x-a)^3=c$ 只有在 $c=0$ 時才會有三重根。

5. 5

   把實根直接代回驗算。 取 $x=0.005481279590$：$x^3=1.6468\times10^{-7}$、$-0.016875x^2=-5.0700\times10^{-7}$、$+0.000094921875x=5.2029\times10^{-7}$、$-1.77975547\times10^{-7}$。加總得 $-1.3\times10^{-20}$，也就是在機器精度下等於零 ✓。若改代常被引用的 $0.0056808311$，殘差會落在 $10^{-12}$ 附近，所以那個值並不是根。