求 (x³ + 7x² + 7x − 15) 除以 (x + 3) 的商。

Step-by-step solution

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   先預測餘式再動手除。 由餘式定理，餘式等於被除式在 $x=-3$ 的值：$(-27)+7(9)+7(-3)-15=-27+63-21-15=0$。值是零就代表 $x+3$ 是因式，所以這個除法會整除。

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   第一輪。 $\dfrac{x^3}{x}=x^2$。乘回去：$x^2(x+3)=x^3+3x^2$。相減：$7x^2-3x^2=4x^2$，把 $7x$ 拉下來得到 $4x^2+7x$。

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   第二輪。 $\dfrac{4x^2}{x}=4x$。乘回去：$4x(x+3)=4x^2+12x$。相減：$7x-12x=-5x$，把 $-15$ 拉下來得到 $-5x-15$。

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   第三輪。 $\dfrac{-5x}{x}=-5$。乘回去：$-5(x+3)=-5x-15$。相減得 $0$，和第一步預測的完全一致。

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   讀出商並繼續分解。 商是 $x^2+4x-5$，可再分解為 $(x+5)(x-1)$。所以這個三次式的完全分解是 $(x+3)(x+5)(x-1)$，三個根分別是 $-3$、$-5$ 與 $1$。

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   乘開來驗證。 $(x+3)(x^2+4x-5)=x^3+4x^2-5x+3x^2+12x-15=x^3+7x^2+7x-15$，完全還原被除式。