解方程式：(1 + x) 的 10 次方減去 10.7347x 等於 1。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有項移到同一邊，並找出那個現成的根。 令

   $f(x)=(1+x)^{10}-10.7347x-1$

   則 $f(0)=1-0-1=0$，所以 $x=0$ 是精確解——完全不必用到數值方法。這種形狀的方程式（成長率的期數次方，再減掉一個線性的支付項）一定有這個平凡根，真正有趣的是另一個交點。

2. 2

   微分，看清楚函數的形狀。

   $f'(x)=10(1+x)^9-10.7347,\qquad f''(x)=90(1+x)^8>0\ \ (x>-1)$

   因為 $f''>0$，$f$ 在 $(-1,\infty)$ 上嚴格凸，所以最多只能穿過零兩次。又 $f'(0)=10-10.7347=-0.7347<0$：曲線通過原點時還在下降。

3. 3

   找出唯一的極小點。 解 $f'(x)=0$：

   $(1+x)^9=1.07347\quad\Rightarrow\quad x=1.07347^{1/9}-1=0.0079085$

   那裡的函數值是 $f(0.0079085)=-0.0029357$，確實在零以下。（常有人把這個極小值寫成 $-0.000291$，那小了一個數量級。）

4. 4

   數一數根的個數。 在 $(-1,\,0.0079085)$ 上函數從 $f(-1^{+})=9.7347$ 一路下降到 $-0.0029357$，恰好穿越零一次——那就是 $x=0$。在 $(0.0079085,\infty)$ 上它從 $-0.0029357$ 上升到 $+\infty$，又恰好穿越一次。所以實根恰好是兩個，而且沒有負根（$f(-0.01)=+0.0117$ 印證了 $0$ 左邊的正負號）。

5. 5

   把第二個根夾住再逼近。 $f(0.015)=-0.00048$，$f(0.016)=+0.00027$，所以根落在兩者之間。用二分法或牛頓法可得

   $x=0.01565489$

   準到小數第八位——不是 $0.015845$，在那裡 $f=+1.5\times 10^{-4}$，明顯還是正的。

6. 6

   直接代回去驗算。 $(1.0156549)^{10}=1.16805066$，而 $1+10.7347(0.0156549)=1.16805066$。兩者到小數第八位都一致，所以解集合是 $x=0$ 與 $x\approx 0.0156549$。