把 x/(x − 8) + (x − 8)/x 相加並化簡。

Step-by-step solution

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   先找出公分母與定義域。 分母 $x-8$ 與 $x$ 沒有共同因式，所以最簡公分母就是它們的乘積：

   $x(x-8),\qquad x\neq 0,\ x\neq 8$

2. 2

   把兩個分數都改寫到那個分母上。 第一個乘上 $\tfrac{x}{x}$，第二個乘上 $\tfrac{x-8}{x-8}$：

   $\frac{x}{x-8}=\frac{x^2}{x(x-8)},\qquad\frac{x-8}{x}=\frac{(x-8)^2}{x(x-8)}$

3. 3

   把分子相加。

   $\frac{x^2+(x-8)^2}{x(x-8)}$

4. 4

   展開並化簡分子。 $(x-8)^2=x^2-16x+64$，所以

   $x^2+x^2-16x+64=2x^2-16x+64=2\left(x^2-8x+32\right)$

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   檢查還能不能約分。 括號裡的 $x^2-8x+32$ 判別式是 $64-128=-64<0$，所以它沒有實係數的一次因式，尤其和 $x$ 或 $x-8$ 沒有共同因式。因此這個式子已經完全化簡：

   $\frac{2\left(x^2-8x+32\right)}{x(x-8)}$

   在 $x=4$ 做數值檢查：左邊 $=\tfrac{4}{-4}+\tfrac{-4}{4}=-2$；右邊 $=\tfrac{2(16-32+32)}{4(-4)}=\tfrac{32}{-16}=-2$ $\checkmark$。